《數學大迷思》摘錄

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受三千推薦去看了《數學大迷思》，本來只想把其中一些啟發性的觀念摘錄下來的，沒想到此片全程高能，裡面啟發性的觀念真的非常多，隨便一兩句都能踩到點。既然如此，我只好把整部片子的語句（幾乎）都摘錄下來了。以下內容皆摘錄於《數學大迷思》：

我們生活在一個快速發展的時代，工程師們可以讓一個汽車大小的飛行器在火星上著陸，物理學家探索所有事物的本質。我們在一個巨大的網路里，通過無線電交流，但在這些現代奇蹟背後，是一深刻而且神秘強大的事物，它被稱為宇宙的語言，它可能是人類文明最偉大的成就，它的名字叫做數學。但是數學從何而來？為什麼數學在科學領域很適用？阿爾伯特·愛因斯坦好奇，為什麼數學在解釋我們所見的宇宙時，如此適用？數學是人類的嗎？動物的數字能力似乎並沒有一個上限。數學是宇宙的關鍵嗎？

我們的物理世界，不是有一些數學特質，而是由數學構建的。

人類一直在觀察自然，尋找萬物運行的模式。億萬年前，人類觀測星星，發現了星辰排列的規律，稱其為星座，甚至開始相信星座可能控制著我們的命運。我們看到斗轉星移、日夜交替、四季交換，我們把這個模式稱之為時間。我們發現了人體內和虎紋的對稱圖案，我們把這類圖案運用到了人類的創作之中，從藝術作品到城市建築。但是這些圖案告訴了些什麼？為什麼鸚鵡螺殼的螺旋和銀河系的漩渦如此之像，和切開的捲心菜的漩渦如此之像？

當科學家們想了解，世界上的各種圖案的時候，他們都是尋求數學這個強大的工具的幫忙。他們量化觀察到的結果，運用數學公式去檢驗這些結果，希望能夠發現這些自然規律的深層原因，數學果真為我們揭示了謎底。從揭露星球的橢圓形軌道的秘密，到聯絡著手機的電磁波，數學甚至有著指導作用，引領我們深入了解物質的亞原子構造。這就引出了一個問題，為什麼數學適用於所有的事物？真實存在的事物是否本身就有數學特質，還是數學都存在於人類的大腦中。

Mario Livio是一位天體物理學家，他一直在探索這些問題，他一直痴迷於數學和自然之間深刻而又常常神秘難懂的聯繫。「如果你觀察自然，你會發現我們周圍有著很多數字。比如你看這些花，花的種類非常之多，有三片花瓣的也有五片花瓣的，有的是34片或者55片，這些花瓣的片數很常見。」這些數字看起來很隨機，但是它們全是斐波那契數列中的數字，這是十三世紀的一個數學家發明的一連串數字。

近百年後的今天，這些看似隨機的數列，吸引著許多人，他們發現斐波那契數列出現在所有事物中，從人體美學到股票市場，但是這些說法大多數沒有得到證實。為什麼生物進化好像很鍾情於這些數字？事實證明，斐波那契數列經常出現在自然里。斐波那契數列出現在花瓣數里，尤其是雛菊花瓣里，但這僅僅是個開始。從統計學來看，斐波那契數列經常出現在植物中。比如，如果你有看松果的底部，你會發現許多排列規律的螺紋，如果你最後數這些螺紋的話，你會發現一個斐波那契數字。如果你從另外一個方向再數螺紋，你會發現另一個臨近的斐波那契數字。向日葵的種子也是這樣，兩個方向的螺紋，如果你從兩個方向數這些螺線，兩個都是斐波那契數字。

儘管有些理論，能夠解釋斐波那契數列和植物學的關係，但依然提出了有趣的問題。「植物會數學嗎？答案顯然是不會。它們不需要會數學。用很簡單的幾何方法，它們建造了一個小的機器，能夠在很多情況下，創造出斐波那契數列。」

物理世界和數學之間的神秘關係非常之深刻，我們都知道幾何學中的π，π是一個圓形的周長和直徑的比率，π的小數點後面的數字，永遠是無規律不循環的。到2013年，人們計算出它後面的12.1萬億位數，但是π遠不止這些。

「π出現在很多現象中，這些現象表面上和圓之類的沒有任何關係，尤其π還經常出現在概率論裡面。」

因為π將圓形物體，圓和它的直徑聯繫在一起，它可以出現在最奇怪的地方。有人發現它出現在彎曲的河道，一路曲折從源頭到入海口和其直線距離的比率接近π。任何有波紋的模型里，都會有π的出現，比如光波和音波。π告訴我們哪些顏色會出現在彩虹里；告訴我們中C音在鋼琴里發出什麼音；π出現在蘋果里；出現在細胞生長成球形的過程中；出現在一個超級新星的光亮里。一個作家曾經說過，這就像是在一群山峰上面看到了π，捅破濃霧籠罩著的峽谷，我們都知道它們互相關聯著，但是卻不清楚它們是如何關聯的。π只是數學中巨大關係網的一個例子，似乎要向我們的世界揭露，一個總是深不可測的規律。

來自MIT的物理學家Max Tegmark認為他知道原因，他能看到我們的世界和電腦遊戲之間的相似點。

「如果我是一款電腦遊戲里的人物，這款遊戲高級到我這個人物是有自我意識的，我開始探索遊戲世界，這個遊戲世界對我來說就像是，由實物組成的。然而當我以一個物理學家的身份開始研究這個遊戲時，研究物體的特性，研究物體運動的方程式，研究給予物體屬性的方程式，我最終會發現，所有這些特性都是和數學有關的。這些數學特性，實際上是由程序員植入到遊戲軟體中去的，描繪了一切。」

遊戲中的物理規律，比如一個物體如何漂浮、彈跳或者墜落，都是程序員發明的數學規則，最終整個電腦遊戲中那個所謂的宇宙，就只是數字和方程式。

「這和我在現實中發現的一樣，作為一個物理學家，我越是近距離地觀察非數學的東西，比如我的胳膊和我的手，其結果越是數學化。是否有可能我們的世界，事實上和電腦遊戲世界一樣數學化。」

對Max來說，遊戲世界和我們生活其中的物理世界沒有什麼不同，他認為數學能很好地描述現實，因為最終所有一切都可以歸為數學，別的什麼也沒有。

「我有許多物理學家同事，會說數學能描繪我們的物理世界，至少程度近似。我覺得數學不止這樣，它事實上就是我們的物理世界。因為我認為我們的物理世界，不是有一些數學特性，它是由數學構建而成的。」

我們的物理世界有點像一張數碼相片，據Max所說，比如這張湖的圖片，但是當我們不斷放大，我們會看到它事實上是許多個像素點，每個像素點由三個數字代表，這三個數字分別規定了紅綠藍的數量。

雖然宇宙是巨大而複雜的，需要無可計量的數字來描繪它，Max認為其潛在的數學結構，出乎意料地簡單。只有32個數字不變，像是許多基本粒子的集合和幾個數學方程式，基本物理規則，它們全嵌在一面牆上，但是還有有一些疑惑。

「但是儘管我們不知道，這裡究竟發生著什麼，但是我確信這裡發生的事情，可以用數學方程解決，所有的一切最終都是和數學有關的。」

Max Tegmark的矩陣式觀點，認為數學不僅僅能夠描繪現實世界，還能描繪數學本身的本質，這種說法聽起來有些激進，但是它由來已久。

追溯到古希臘時期，追溯到那時候的哲學家，迷一般的畢達哥拉斯，據說他探索了數學和音樂之間的密切關係，這個關係至今仍和Esperanza Spaldin的研究有著共鳴。Esperanza Spaldin是一位很受歡迎的爵士音樂家，她研究音樂理論，探索音樂與數學之間的相似處。

「我喜歡體驗數學，我喜歡數學的地方，我在音樂里也感受到了。一開始，當你在研究所有小的方程式的時候，你本能地與這些方程式的產物有了聯繫，聲音和音樂，和諧音與不和諧音，以及所有美好的事物。所以我更擅長音樂，但是我還是很熱愛數學的。它們都很重要，你必須努力學習它的。」

古希臘人發現了音調之間的三種關係，尤其是悅耳的音調，如今我們稱之為八度音階、五度音階和四度音階。公元前六世紀，據說希臘哲學家畢達哥拉斯發現了這些美妙的音樂關係，還是迷人的數學關係，他通過測量震動琴弦的長度，在八度音階里震動的弦長是2比1，五度音階里是3比2，四度音階里是4比3。

「通過發現音樂里的這個普遍規律，可以大膽的說，如果這個規律存在於音樂里，如果它存在於所有的聲音裡面，那麼這個比率也可以存在於宇宙上任何地方，是吧。不是這樣嗎？」

畢達哥拉斯崇拜這個數字想法，事實上那些能夠發出和諧音的簡單比率，是這個自然世界裡存在著隱藏規律的證據，這個規律是由數字組成。這是一個深刻的見解，數學家們和科學家們，至今還在研究。

事實上，還有許多其他物理現象，遵從著簡單的比率關係，從水分子中的氫氧2比1；到月球公轉與自傳次數比1比1；到水星自轉3周的同時繞太陽兩周，這個比率3比2。

在古希臘，畢達哥拉斯和他的追隨者們對另一位古希臘哲學家柏拉圖，有著深遠的影響，他的思想在今天仍有迴響，特別是在數學的領域。柏拉圖認為幾何學和數學存在於理想世界中。

「比如我們在紙上畫了一個圓圈，但這不是真的圓，真的圓存在於那個理想世界中，這個圓只是近似於真正的圓圈，其他圖形也是一樣的道理。柏拉圖非常喜歡這五個多面體，我們現在稱之為柏拉圖多面體，而且五個多面體對應了五種元素，共同組成了我們所看到的這個現實世界。」

立方體象徵土；有尖角的正四面體象徵著火；這個看起來易變的正八面體，柏拉圖認為是空氣；有二十條邊的正二十面體象徵水；最後，正十二面體，則象徵著整個宇宙。

因此，柏拉圖的數學形式，就是我們這個世界的理想版本，並且它們存在於自己的領土。不管這聽起來多麼奇怪，數學存在於它自己的世界中，塑造我們所見的世界，這也是至今許多數學家和科學家在談論研究數學時的感受。當他們在解決數學問題時，他們所揭示的，只是本身已存在於世間的客觀存在。

「作為一名數學家，我強烈感受到，數學在我的工作中是被發現的。我感受到，它就在那兒，我只是儘力地去發現它、理解它、觸碰它。」

「作為一個以研究新的數學問題為樂趣的人來說，感覺就好像在你得出結論之前，它就在那兒了。」

「如果要我選擇的話，我認為數學家更多的是去發現，而不是發明。因為數學領域裡的研究，本身就是事實。我們研究數學的過程，就是去發現我們思維在於世界的交互作用中，是如何運作的。」

「我知道那是我做的，我在辦公室坐在白板面前，儘力去了解那些存在著的事物。時常，我會發現一些新事物，這正是我所感受到的。」

對許多數學家而言，數學是需要去發現，而不是發明的。但那僅僅是一種感覺而已嗎？數學有沒有可能完全是人類大腦的產物呢？

「即使沒有接受任何教育，甚至沒有學過任何數字或符號，我們所有人類都仍然會有一種原始的數字感，那是基本的認知數字的能力，似乎是一種非常重要的基礎。如果沒有的話，就有問題了，關係到我們是否能真正欣賞符號數學。」

搭造數學的一磚一瓦，可能被預編在我們大腦中，作為生存的基礎工具。比如我們認知模式和類型的能力，或者時間感。從這個觀點來看，在此基礎上，我們建造了一項人類文明，最偉大的創造，即數學。但是未解之謎依然存在，如果所有的東西就在我們大腦中，那為什麼數學如此有效率？通過科學、科技以及工程技術，它改變著地球的方方面面，甚至讓我們可以去到未知的世界。

美國國家航空航天局的噴氣推進實驗室，位於加利福尼亞，帕薩迪那。2012年，在火星上，他們降落了一輛小車大小的探測器。Adam Steltzner首席工程師領導團隊設計了這次著陸系統，他們的研究依靠於文藝復興中的一個開創性發現，此發現將數學變成了科學的語言，自由落體定律。

「伽利略觀察到的數學關係，是我們宇宙物理學的數學表達式。」

伽利略這一經過了幾個世紀的關於下落物體的數學發現，在今天仍然是被認可的。「這個數學表達式一樣可以用於，理解地球上的物體是如何下落的，或是如何在斜坡上的滾動的，甚至可以運用在好奇號探測車在火星表面的著陸，這便是數學的力量。」

伽利略有著深遠的洞察力，數學可以用作一門工具，來揭示並發現世界上潛藏的規則。他後來寫道，宇宙是用數學語言來編寫的。

「數學的確是一種語言，這讓我們能夠理解這個世界，我們不知道為什麼物理和宇宙的規律跟從這數學模式，但這似乎就是這麼回事。」

當伽利略把數學方程式，變成了科學定律時，有一個人，出生於伽利略去世的那年，他帶領數學穿過天空，進入了另一個高度，他的名字叫做艾薩克·牛頓，他在英國劍橋大學三一學院工作。

「牛頓向來以孤獨的天才而聞名於世界，在三一學院的保齡球草地上，據說他邊走路邊冥想，在路上來回走，漫不經心地用碎石子畫出數學圖表。並且據說，他曾吩咐身邊的人，不要打擾他，在經過的時候，不要破壞他的石子，以防會無意地清除一些重大的科學或數學發現。」

1687年，牛頓出版了一本書，此書後來成為了科學史上的一座里程碑。今日，我們將其稱為《自然哲學的數學原理》，在書中，牛頓收集了世界各地的觀察數據，並且運用數學原理解釋這些數據。例如，關於一顆在1680年被廣泛觀察到的彗星，為了構建彗星運行軌道的模型，他收集了世界各地的數據。比如，在十一月十九日凌晨四點半，他開始收集一個年輕人在英國劍橋觀測到的數據，接著，收集當天凌晨五點在新英格蘭的波士頓觀測到的數據。所以牛頓做的是整合了全球觀測者的數據，而他的目的，是為了構建出一個史無前例的精確的這顆偉大彗星在天空的運行的軌跡。

牛頓的突破性見解是，彗星繞著太陽急速運行的力與將炮彈拉回地面的力，是同種性質的力，這正是，伽利略定律中所描述的使得物體掉落的力。同樣也是這種力，使得行星圍繞其固定軌道運行，他將這種力命名為萬有引力，並且將其用令人驚奇的簡潔公示表達了出來。它解釋了兩個具有質量的物體是如何吸引對方的，而不管是在地球上還是太外太空，這條定律都是成立的。

「令人驚嘆且引人矚目的是，一個簡單的數學定律，能讓你在全宇宙活動自如。」

如今，我們甚至能目睹萬有引力定律在銀河之外的運作。幾十年來，科學家利用哈勃望遠鏡觀測到了距離我們太陽系很遙遠的地方，甚至觀測到了銀河系以外的景象。人們觀測到了遙遠的氣狀星雲，以及大量的，數十億光年以外的星系，在宇宙中不停旋轉。而這些圖片揭示了，在望遠鏡能看到的所有範圍內，在整個可見的宇宙空間中，萬有引力定律，仍然是成立的。

「牛頓寫下了這些，有關萬有引力、有關物體運動的定律，雖然這些定律是基於地球和太陽系中物體運行的規律所寫下的，可是，恰恰是這些定律，也適用於非常遙遠的星系，而且星系的形成，以及和星系有關的一切，他們是如何形成、如何移動，都是被那相同的數學定律控制的。」

一些世界上最偉大的天才，被數學滲透整個宇宙的方式深深地震撼了。

「阿爾伯特·愛因斯坦，曾思考過，他說，數學這樣一種人類思想的產物，在解釋我們所觀測的宇宙中一切現象的時候，表現的如此完美，這是怎麼可能的呢？而曾經獲得諾貝爾物理學獎提名的物理學家 Eugene Wigne編了這麼一個短語，數學接近無理的有效性。他認為，數學的語言能夠如此完美的描述整個宇宙，這個事實，特別是物理定律領域，是我們人類既不理解也不配擁有的饋贈。」

在物理學中，有著大量的、無理的有效性的例子，大約在兩百年前，天王星似乎從自己的軌道中偏離了出來，而堅信數學的科學家們，計算出了天王星是被另外一個未知的行星的引力所拉動。就這樣，科學家們發現了海王星，數學準確無誤的預測了一個當時未知的行星。

「如果能夠合理的構建出一個等式，數學，會給你答案。這就像擁有一個能力遠遠強於你的僕人，如果你說，請幫我做這件事情好嗎？如果你這樣友好的請求，數學就會做到，並且引領你一路走向真相，走向最終的那個答案。」

數學精準的預測性在我們身邊，是隨處可見的。電視、收音機、你的手機、衛星、嬰兒監控器、WIFI、你的車庫門的遙控器、衛星定位系統、甚至你的電視遙控器，所有這些設備都是利用不可見的光波進行交流。直到蘇格蘭的數學家、物理學家James Maxwel的工作出現之前，沒有人知道不可見波的存在。在十九世紀六十年代，他發表了一系列方程，這些方程解釋了電與磁是如何建立聯繫的，並且解釋了電與磁是如何相互產生的，此方程組同樣起到了驚人的預測效果。電和磁一起，可以以波的形式產生能量，並且能以光速在宇宙中傳播，這種波便是電磁波。

「Maxwell的理論，給我們提供了無限電波、X光波，而這些事物在Maxwell之前是根本不為人們所知的，所以這是極其高瞻遠矚的出色理論。」

幾乎就在理論發表的同時，人們開始發現Maxwel方程組所預言的波的存在，那看起來最為不可能的，想要嘗試駕馭波的實驗就是在這裡發生的，在義大利北部，在一個家庭的閣樓里，由二十歲的Guglielmo Marconi執行的，他的方法是由一系列的電火花開始的，短暫而強烈的電流產生出一個瞬時磁場，而這個磁場反過來又會產生一個瞬時電場，而這電場又會產生磁場，在這兩者之間循環的能量， 會擴散出一個電磁波。Marconi首先在家中讓自己的系統運行，而之後，他將這一系統放大了。幾周後，他在房子旁邊建造了一個巨大的天線，來放大電火花發生器產生的電波。之後，他叫他的弟弟和一名助手，在他的莊園對面，較遠一側的上坡上安放一個接收器，他們兩人一把獵槍，如果他們接收到了信號的話就會鳴搶示意。他們成功了。即使接收器被藏在了山坡後面，他們仍然檢測到了信號，距離超過了一公里，這是當時信號能夠傳輸的最遠距離。在隨後不到十年的時間裡，Marconi使得無線電波橫跨大西洋。事實上，當泰坦尼克號在1912年沉船的時候，他因為拯救了很多的生命被私人授予了獎勵，因為他的船載設備，求救信號才被發射出去。

而正是由於Maxwell方程組的精準預測，Marconi才得以捕獲我們世界裡的一個暗藏部分，帶領我們走進無線交流的時代。自從Maxwell和Marconi以來，數學的預測能力顯得越來越突出，尤其是在物理領域，在一百年前，我們幾乎不知道原子的存在，原子的組成部分需要通過實驗來發現，電子、質子和中子。

當物理學家們想要更加深入的研究時，數學開始引領他們，最終揭示了一個基本粒子的樂園。這些研究至今還在歐洲核子研究組織中進行，歐洲核子研究組織位於瑞士日內瓦，今日，它因為擁有全世界最大的強子對撞機而出名。一個圓形的粒子加速器，周長約為17英里，並且建造在地下。這個花費了一百億美金，數十年建成的設備，有著一個廣為人知的目標，為了尋找組成宇宙最基本的粒子之一，次原子粒子，五十年前，通過數學方法預測出其的存在性，這是由比利時的Robert Brout和Francois Englert和蘇格蘭的Peter Higgs預測出的。

「Peter Higgs從我們目前擁有的最先進的物理方程開始，不斷計算，再計算，之後，做出了一個大膽的假設，如果我們建造出人類有史以來最精密的儀器，並且用它讓兩個粒子，用近乎光速的速度以某種特定形式猛烈對撞，那麼我們將會發現一種全新的粒子，前提是如果計算完全精準正確。」

Higgs粒子的發現，將會證明Higgs場的存在，一種宇宙糖漿能讓所有物體擁有質量，我們通常體驗質量為重量。如果沒有質量，一切物體都會以光速運動，而且沒有物質會結合以形成原子，這使得Higgs場在物理領域，如此基礎而又重要，以至於它得到一個別稱，上帝粒子。

在2012年，歐洲核子研究組織的實驗，證實了Higgs粒子的存在，使得Peter Higgs和他同事們的工作，提前大約幾十年，成為了最偉大的物理預言之一。

「數學理論可以產生非常準確的預測，這些預測是有關自然界中一些可能存在的基本粒子的，而且，信不信由你，那些規模巨大的實驗，可以發現那些數學上精準預測是存在著粒子，這對來說真的是一件令人驚奇的事情。」

「為什麼這樣能夠行得通呢？為什麼數學能夠如此強大？數學的本質是自然的真相呢，還是與我們作為人類所能感知到的自然有著某種不為人知的聯繫？對我來說，這是一個讓人神魂顛倒的謎題，我並不知道答案。」

物理學上，數學確實有著一系列的成果，但是，數學真的是毋庸置疑的有效嗎？

「並不是所有人都這樣認為的，我認為這只是一種幻覺，因為我認為事情是這樣的，舉個例子，人們選擇建造發展的物理學，運用經過了反覆演算，經過歷史歷史性發展的數學，之後，人們放眼萬物，他們選擇去研究那些經得起檢驗的，正好能被其中所呈現的數學問題所解決的容易攻克的問題。但事實上，世界上存在著無窮無盡的其他事物，是不能用數學的方法解決的。」

隨著數學模型在物理領域的成功，人們很容易忽視那些數學表現並不出色的領域。比如在預測天氣這個領域，氣象學家可以預測，一周內的天氣，但沒法預測超過一周的天氣是有原因的，因為在相對時間較長的預測中，小失誤逐漸積累會成為大錯誤，每天的天氣對於精確建模來說，實在過於複雜和凌亂，而且這並不是數學難以解決的唯一問題。比如爐子里燒著的水的運動；比如證券市場；再比如大腦中神經元互動的方式；心理學的很大部分；還有生物學的部分。

「生物學系統、經濟學系統，都非常難用數學的方法來建模，用數學來解決那些問題是極其困難的。所以我不認為數學是毋庸置疑的有效，我認為它無效的完全合乎常理。」

或許沒有人比那些運用數學設計東西的人，更加了解數學的利與弊，他們便是工程師。在他們的工作中，數學的優雅，會與現實的凌亂碰撞，而此時最終的決定因素是實用性。

「數學，或者說數學家，所處理的領域是絕對精確的，而工程師所處理的領域是近似量的領域，我們常常對實用的部分感興趣，所以總是會做出一些近似，有些偷工減料，我們常常為了使得方程變得簡單，而去忽視方程中的一些項，於是得以達到我們的目的和需求。」

許多工程上的偉大成就，都是運用數學上的一些取巧的簡潔方法，化簡的方程得到的是近似的結果，犧牲一些精確來換取實用性。對於工程師而言，一個近似的結果，就足夠了。至少，對把你送上火星這件事情來說足夠了。

「對我們工程師來講，我們不會因為做事情精確而得到報酬，我們因為做到完成任務所需要的精確而得到報酬。」

許多物理學家見識到了數學，在揭示宇宙奧秘時，那不可思議的精確性，並且使得數學看起來是人類天性的一部分。但同時的，工程師們要犧牲一部分數學的精確性，以便於使得數學在實際生活中有用處，這種做法使得數學看起來，更加像是一個我們自己製造的一個不完美的工具。那麼究竟哪一個才是數學呢？是這個宇宙被發現的一部分，還是只是人類自己的發明？或許兩者都是。

「當我思考數學時，我認為數學是一個錯綜複雜的發現與發明的組合體。比如，我們拿自然數來舉例子，1、2、3、4、5等等，我認為事情是這樣的，人們首先觀察了許多事物，人們看到了我們有兩隻眼睛，兩隻手等等，在觀察到這些現象後的一段時間，人們從中抽象出了數字二這個概念。」

按照Mario所說，數字二這個理論是一個被人們發明出來的概念，而其他所有自然數也是同樣的情況。可是，之後人們發現這些數字之間，有著各種各樣錯綜複雜的關係，這些關係，是發現。

「我們發明出各種概念，之後發現了這些概念之間，有著各種各樣的關係。」那麼，到底哪個答案是正確的呢？數學既是發現又是發明。

「這是那些兩個答案都對的問題之一，的確，感覺上像是數學是自然界中已經存在的一部分，可是同時，數學又是我們作為人類，深刻思想的一部分。」

或許我們懂得一些數學運作的原理，但是我們不知道全部的答案。最後，留給我們的是數學大迷思。

是的，當我看完此紀錄片之後，發現裡面的觀點和三千曾經提到過的觀點非常接近。於是，我便去翻找三千曾經提到過關於數學的文字。

引自天涯：

? 數學，這個世界中唯一真實存在的知識，其餘都是虛無。

? 有緣的人記住我這句話：數學是這個宇宙唯一的實在。

? 數學是最基本也是最複雜的學科。學不好除了所受教育方式的影響外，可能也是時機未到。

以下是天涯網友向三千的提問：

梅香如故心皎如月：記住了。樓主可以說說數學可以用來做什麼嗎？

三千年的緣2015：你的問題涉及一個非常重要的機密，很抱歉我不能說出來。

柳如煙云：科技呢，物理呢 難道也是虛無

三千年的緣2015：告訴你真話怕你反而接受不了，還是不說了。

引自知乎：

? 看數學時會發出金色。

? 至於數學，它的重要性再強調也不為多。我在天涯上隱約提過，那也是我能透露的最大程度。

? 有些數學基礎的人可以看看他遺留筆記里的那些公式，用心感受一下如此多的公式（其中一些相當複雜）如何而來。（註：此處的「他」，指的是拉馬努金）

? 書是可以看懂的。他的筆記都是公式，不需要看懂，用心去感受。

? 學數學關鍵是興趣的培養。如果不理解數學能做什麼，而把數學看成枯燥的理論，自然難以下咽。

? 靈魂的天賦包含數學和藝術（包括文學）。

? 我學數學不是為了知識，而是喚醒自己，別人幫不了。

? 我最近在看高斯的《算術探索》。這部著作相當於數學中的《聖經》。即使對當時的數學家來說本書也很難讀懂。可你們知道高斯寫這本書的時候多大嗎？只有20歲。許多愛好數學的人喜歡談論關於高斯的很多傳奇故事，但有人認真考慮過他那無與倫比的數學天賦來自哪裡嗎？這個世界上其實有很多現象都可以揭示一些奧秘，只是有心人太少了。

? 有些人對靈魂數學天賦的理解過於狹隘了，這裡的數學不是數字，也不僅是人類目前理解的數學。

? 我以前用了「數學」這個詞，並不精準，準確的詞是「數理」。因擔心會被想當然的理解成「數學+物理」，所以我迴避了「數理」這個用法。當我用「數學」的時候，它代表的意義比人們正常理解的數學要深遠。有一點你說對了，數學無處不在，它是美的本質。

? 數理是指數之理。

? 你喜歡數學，是好事，我為此祝福你。有些人的靈魂是有數理天賦的。缺乏此天賦的靈魂不可能在現世達到他們能達到的數理成就，哪怕靈魂本身已經進化到很高級（超出我接觸的更高級靈魂可以表現出怎樣的數理能力我不知道）。但是天賦可以在現世被埋沒、荒廢，所以未必一定能表現出人們眼中的「天才」。

? 音樂是流動的數學，數學是凝固的音符。

累壞了。暫完。有什麼新想法再更新吧。