馬可的傅立葉空間

來自專欄丹麥洗衣房之宇宙無限大66 人贊了文章

今天的主題又是傅立葉變換……

不過不用擔心，這次不是純科普，所以不用太費腦。今天更多是研究日記加隨筆，我想也記錄一下做科研過程中，非科研的那部分體驗。

本來上次就想寫今天的這些內容了。但是開頭一寫出傅立葉變換的公式，我就覺得必須解釋清楚才能安心。但很快發現這是個兔子洞，掉進去就出不來了，結果沒完沒了地寫了一大堆……只能在內心默默地把文章切成上下篇。

這個就算下篇吧。

兩年前我博士畢業，開始在普林斯頓做博士後。我帶著高昂的鬥志來到了新學校。

這裡有我最敬仰的前輩們：預言了宇宙微波背景的Jim Peebles、太空望遠鏡WMAP的領頭人David Spergel、斯隆數位巡天SDSS的設計者Jim Gunn……

我像是在一個滿是王菲、梁朝偉、張曼玉、麥當娜、Brad Pitt……的樓里工作。我努力剋制粉絲心態不要掏手機偷拍人家。我不是唯一這樣的，HSC的同事黃崧就告訴過我，無論第幾次見Jim Gunn，都會因為過於激動而渾身顫抖。

我默默下決心一定要努力。做出重要貢獻的希望渺茫，盡量不給周圍人拖後腿就好，我想。但同時又不甘心走尋常路（繼續做我以前的拿手工作，宇宙模擬）。我想利用這幾年學一些其他的東西。

我突發奇想，想要按辦公室門牌號，一個接一個地和裡面的人合作，無論他/她的領域是什麼（系外行星！超重黑洞！引力波！！）。我希望由此給我的學習方向增加一些隨機性。

當然，這個理想最終沒能實現，因為很快我就被拉回現實–––大家都知道我是宇宙模擬專業戶，不停地上門討要數據。我於是留在了「宇宙模擬」的舒適區，並沉浸在「被別人需要」的甜蜜里。

為了做之前的中微子宇宙模擬項目，我在Stampede超級計算機上花掉了兩百萬核小時，輸出了400TB的數據。做完模擬，從鍵盤裡抬起頭時，人間已經過了12個月。我驚訝地發現這一年裡除了沒完沒了地修bug，自己什麼都沒做成……越來越覺得自己像一個宇宙奴隸。

我很沮喪，覺得自己被固定在流水線上，騰不出時間去做有趣的事情。深夜騎車回家，我穿過校園空地時仰望星空–––雖然它是我的研究的對象，可我一點都不覺得親切。

我在普林斯頓的時日不多，卻已經不小心耗掉了寶貴的一年。我決定不能再這樣下去了，於是開始和周圍的人聯繫，討論新研究方向的可能性。

我和卡內基曼隆大學（CMU）物理系的Rachel Mandelbaum教授聯繫上，並商量了一個新項目：星系內部耦合（Intrinsic Alignments）。這是我一直想深入了解的星系效應。我也一直想和Rachel合作–––她不僅是一位弱引力透鏡專家，也是非常棒的科學家，我想要學習她的研究方法。簡直就是天時地利人和。於是我去年夏天就定好了11月去CMU所在地匹茲堡的機票，決定在那裡呆上一周，做出點初步結果。

Rachel起初建議用宇宙模擬，被我果斷駁回了–––再模擬我就要吐了！於是我們決定用觀測數據。

一到CMU，我就興奮地寫了一堆代碼，先試圖複製以前的研究結果。在Rachel以及她的前博士生Sukhdeep Singh的幫助下，很快搞定了：

就像所有其他的研究一樣，接下來我需要建立模型，再和觀測到的數據做比較。上圖左邊，圖裡的線條，就是作者Sukhdeep算出來的模型。

模型的公式是這樣的：

雖然看上去有點長，但是每個字母定義都很明確，這個比做模擬輕鬆多了。我於是心情愉悅地一邊剝桔子，一邊把字母一個一個字母敲進代碼。

我嘗試了第一次運算，等了十幾分鐘，聽到電腦在嗡嗡轉，但一直沒有出結果……

運算慢不奇怪，這公式是一個三維的積分（忘記微積分的同學，有幾個∫符號就是幾維的）。一般來說，公式平滑的話，一維用不了幾秒。保守算5秒的話，三維就是5的3次方，125秒，兩分鐘。

過了二十分鐘，我的耐心耗盡，把運算掐掉了。

我發現問題出在第二行的J2項上，它是二階貝索函數，如果畫出圖來長這個樣子（橘黃色線）：

X變一點點，J2就變好多，有時候連符號都變。所以程序總是找不到公式答案。

我於是嘗試降低精度，但是結果並不穩定。我問Sukhdeep以前是怎麼算的，他說他把公式切成了1000段，用蠻力算的。我不肯投降。我才不要用蠻力，我要優美地算。

何況蠻力也很慢，要對不同的rp和Pi算幾百次，就必須用到超級計算機。一個這麼清楚的解析公式，被逼得要用並行運算，我覺得也太丟人了，一定能有更好的辦法。

從匹茲堡回到普林斯頓，又開始被追著要模擬數據。我回到時間觀念淡薄的模擬世界。這個項目無意中就被擱淺了好一段時間。

再想起這個公式，是一次喝咖啡，碰到隔壁高等研究所（IAS）來的Marko Simonovic，聊起如何用傅立葉變換快速地解高維方程。

我提到有個公式我搞不定，他叫我發給他讓他試試。

我把公式發給Marko，他當天就發回給我傅立葉變換後的解析式。

我看得有些暈。我對數學公式一直都很無感。但是我對通過聊天而學習知識很有天賦，於是我直接騎上單車，晃蕩到IAS Marko的辦公室。

撞到Marko正要和同事去食堂。我看錶，下午三點才吃中飯嗎？

Marko說，吃了，現在是去吃甜點。他給我打開辦公室，讓我在裡面稍坐一會兒，他買完甜點就回來。

Marko回來，拿了兩盤甜點。他給我一盤，「總感覺自己一個人吃很過意不去」。

我坐在桌邊吃甜點，Marko開始給我解釋他的筆記。其中最重要的一點，就是把物質能譜P(k)做傅立葉變換。

然而Marko的傅立葉變換是有特殊的格式，必須用log k bin，而不是linear（實在翻譯不動成中文了，這一段請湊合看吧……或直接跳過也行）。如果是linear的，傅立葉變換後會變成 exp(ikv)P(v)，但是如果是log的話，就變成了exp[i*log(k)*v]P(v)，直接可以把k拿下來，寫成 k^(iv)P(v)。接著，因為積分是對於k的不是v的，我們可以把P(v)提到積分符號外面。剩下的積分項，就剩一堆k和（令人討厭的）J2。然而，神奇之處在於，k乘J2的積分是有解析解的（也就是筆記里最後一個公式啦）！

綜上所述，Marko用傅立葉變換，幫我把一個難算的三維公式，壓縮成0.001秒就能算出來的簡單公式！

往嘴裡塞完最後一顆草莓，Marko的黑板也寫滿了。

我激動得要往回趕，恨不得邊騎車邊改代碼。但被Marko拉住，「急什麼，現在是咖啡時間」。

做暗物質理論的同事Vera從走廊探頭進來，「咖啡？」我想了想，也不缺這幾分鐘，於是又下樓和他們喝咖啡去了。

回到辦公室，我很快就用Marko的方法算出了模型曲線。把它們附加在數據圖上，非常漂亮地吻合了數據。我心血來潮，把圖的顏色也改成了粉色系。

到現在，這個項目仍然在初期，我也不知道什麼時候能弄完、甚至最終能不能弄完。

從這段沒頭沒尾的小故事，我想記錄一下科研路上最常見的心路：迷失方向，尋求幫助，一點點小成就，更多的問題，繼續尋找解決辦法……幾乎是沒完沒了。

大部分都是沮喪，但一定不要忘記在間中尋找小樂趣！