規範場論初步總結

07-18

規範場論初步總結

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一、經典規範場理論

一個以 $alpha$ 為參數的 $r$ 階李群 $G$ ，設 $G$ 存在一個不可約表示 $S(alpha)$ , $S(alpha)$ 的群表示空間為某個場函數 $psi$ .如果 $alpha$ 是局域參數，即 $alpha=alpha(x)$ , $x$ 是四維時空坐標。則稱 $psi(x)=S(x)psi(x)$

為場函數 $psi$ 對於李群 $G$ 的規範變換

由於 $partial_mupsi(x) e S(x)partial_mupsi$ ,定義規範協變微商 $D_mu(x)psi(x)=partial_mupsi(x)-A_mu(x)psi(x)$ ,

$A_mu$ 稱為規範勢，在數學上對應主叢上的聯絡。要求 $D_mupsi(x)=S(x)D_mupsi(x)$ , $D_mu=partial_mu-A_mu$ 可以證明 $A_mu=SA_mu S^{-1}+partial_mu SS^{-1}$

稱為規範勢 $A_mu$ 的規範變換。

由於規範變換是時空點上的局域變換，不改變四維時空坐標。

在規範場理論中，如果一個函數矩陣服從變換規律 $F(x)=SF(x)S^{-1}$ ,則稱 $F(x)<br/>$ 為規範協變數。定義規範場張量 $F_{mu u}=partial_mu A_ u-partial_ u A_mu-[A_mu,A_ u]$ ,可以證明 $(D_mu D_ u-D_ u D_mu)psi=-F_{mu u}psi$ 且 $F_{mu u}=S F_{mu u}S^{-1}$ 。故 $F_{mu u}$ 是規範協變數， $F_{mu u}$ 又被稱為曲率張量。因為 $Tr(F_{mu u})=Tr(F_{mu u})$ ，故可以用來構造規範不變的拉氏量。

對Abel場， $[A_mu,A_ u]=0$ , $F_{mu u}$ 為 $U(1)$ 規範場張量。

考慮李群 $G$ 的生成元為 $I_a$ ( $a=1,.....,r$ )，則 $A_mu=A^{a}_mu I_a$ ,則 $F_{mu u}$ 也是李代數空間的矢量 $F_{mu u}=F^{a}_{mu u}I_a$ ，且 $F^{a}_{mu u}=partial_mu A^{a}_{ u}-partial_ u A^{a}_{mu}-A^{b}_mu A^{c}_ u C^a_{bc}$ ,其中 $C^a_{bc}$ 為李群結構常數。

二、 $QED$ 的 $U(1)$ 規範理論

在經典電磁理論里，四維正則動量為 $p_mu ightarrow p_mu-eA_mu$ ,量子化之後為 $partial_mu ightarrow D_mu=partial_mu-ieA_mu$ . $A_mu$ 稱為電磁場理論的 $U(1)$ 規範勢。對Dirac場，當進行電磁勢的 $U(1)$ 規範變換 $psi(x)=e^{ialpha(x)}psi(x)$ 時，要求 $D_mupsi(x)=e^{iealpha(x)}D_mupsi$ ,並代入規範協變微商的定義，可得 $A_mu(x)=A_mu(x)+partial_mualpha(x)$ ，因此有 $F_{mu u}=F_{mu u}$ ,故電磁場拉氏量 $L_gamma=-frac{1}{4}F_{mu u}F_{mu u}$ 規範不變。

對於自由Dirac場， $L_{e}=-frac{1}{2}(ar{psi}gamma_mupartial_mupsi-partial_muar{psi}gamma_mupsi )-mar{psi}psi$ ,存在電磁相互作用時，有 $L_e=-frac{1}{2}(ar{psi}gamma_mu D_mupsi-D_muar{psi}gamma_mupsi )-mar{psi}psi=<br/>L_e+L_I$ ,其中 $L_I=iear{psi}gamma_mupsi A_mu$ 對應光子場與旋量場的相互作用。因此對於存在正負電子的電磁場，拉氏量為

$L=L_gamma+L_e+L_I=-frac{1}{4}F_{mu u}F_{mu u}-frac{1}{2}(ar{psi}gamma_mu partial_mupsi-partial_muar{psi}gamma_mupsi)-mar{psi}psi+iear{psi}gamma_{mu}psi A_mu$

上述拉氏量對 $A_mu$ 變分，代入拉格朗日方程 $frac{partial L}{partialpsi^{A}}-partial_mufrac{partial L}{partialpartial_mupsi^{A}}=0$ ,得到

$partial_ u F_{mu u}=iear{psi}gamma_mupsi$

即第一對Maxwell方程。

定義電磁場張量的對偶張量 $F^*_{mu u}=frac{1}{2} epsilon_{mu ulambdasigma}F_{lambdasigma}$ ,可以證明

$partial_ u F^*_{mu u}=0$

這是第二對Maxwell方程。該方程表明 $U(1)$ 規範理論中沒有磁荷存在，磁單極是 $SU(2)$ 規範理論的結果。

上述拉氏量對 $ar{psi}$ 與 $psi$ 變分, 可得

$gamma_mu partial_mu psi+mpsi=iegamma_mupsi A_mu$ $partial_muar{psi}gamma_mu-mar{psi}=-ieA_muar{psi}gamma_{mu}$

即Dirac方程。

利用協變微商 $D_mu=partial_mu-ieA_mu$ ，並令 $hat{D}=gamma_mu D_mu$ ,Dirac方程變為

$(hat{D}+m)psi=0$

三、 $SU(2)$ 規範理論

$SU(2)$ 生成元為Pauli矩陣，但為保證無跡與反厄米的要求，令 $I_a=frac{ au_a}{2i}$ （ $a=1,2,3$ ）

$au_a$ 為Clifford代數的基，且 $[ au_a, au_b]=2iepsilon_{abc} au_c$ . 因此 $[I_a,I_b]=epsilon_{abc}I_c$ ,

$SU(2)$ 規範勢為 $A_mu=A^{a}_mu I_a=frac{1}{2i}A^a_{mu} au_{a}$ ,故

$F_{mu u}=partial_{mu}A_{ u}-partial_{ u}A_{mu}-[A_mu, A_ u]=[partial_{mu}A^a_{ u}-partial_{ u}A^a_{mu}]I_a-epsilon_{abc}A^b_{mu}A^c_{ u}I_a=F^a_{mu u}I_a$

拉氏量為 $L=-frac{1}{4}F^a_{mu u}F^a_{mu u}$ ,代入 $F^a_{mu u}$ 且在Lorenz規範 $partial_ u A^a_ u=0$ 下可以得到

$L=L_0+L_1+L_2$

其中 $L_0=-frac{1}{2}(partial_mu A^a_ u)^2$ 為自由規範玻色子的拉氏量

$L_1=-gepsilon_{abc}(partial_mu A^a_ u)A^b_mu A^c_ u$ 為三個規範玻色子的相互作用頂點拉氏量。

$L_2=-frac{1}{4} g^2 epsilon_{abc}A^b_{mu}A^c_{ u}A^l_{mu}A^m_{ u}$ 為四個規範玻色子的拉氏量。

因此非Abel規範場有自相互作用。上述規範理論對於無質量規範玻色子，對於有質量的規範玻色子則必須通過真空自發對稱性破卻引入Higgs機制賦予其質量。這裡僅僅列一下方程。

定義Higgs場的規範不變拉氏量 $L_H=-frac{1}{2}D_muphi^aD_muphi^a$ , $D_muphi^a=partial_muphi^a+gepsilon_{abc}A^b_{mu}phi^c$ ,代入後並且利用真空破卻機制 $partial_muphi^a=0$ ,且對於 $phi^1=phi^2=0,phi^3=lambda$ ,得到引入Higgs機制後的自由規範場拉氏量為

$L=L_0+L_1=-frac{1}{2}[(partial_mu A_ u)^2+g^2 lambda^2 (A^1_mu A^1_mu+A^2_mu A^2_mu)]$

上述拉氏量中自然出現了 $SU(2)$ 規範場的質量項 $m=glambda$ 。