從概念上理解濾波~

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持續更新中.........會不斷加入模擬結果

濾波器的表示：

時域：一個卷積核向量，

頻域：

時域上，濾波就是用卷積核h(n)去卷積原始信號x(n)，這個卷積核h(n)是要濾波頻率的時域表示，比如要濾8Hz的信號， 。用這個卷積核卷積原始信號時，在每次卷積時，相當於和原函數一段 的向量內積，也就是相關，也就是 在 上的投影。

假設原信號 分解為無數個幅值為1的 的和，則用 與之內積時，只有當 時， ,其餘等於零。這是為什麼濾波器能夠提取出特定頻率的信號。以上是卷積中一次移動的結果。

讓我們再來看，濾波結束的信號為什麼就是8Hz的餘弦信號，也就是多次移動的結果，當你移動 ，去做下一次向量內積時（即卷積），等同於給 移相，即改變 ， 所以每次移動h(n)改變 做內積，形成的序列呈現餘弦。至於為什麼是8Hz, 一個八赫茲的餘弦要移動 相位才能構成周期，對應1/8s周期。

同時從上面也可以看出為什麼濾波會改變原有序列 的相位。原相位是 ，新序列的相位是 。

上面對原信號的假設是幅值不變且為1，相位也不隨時間改變的由很多餘弦疊加而成的信號，讓我們再來看更複雜一點的情況。

這樣的話，濾波器卷積核與原始信號卷積結果是時變的，注意每次卷積的結果是：

表示在 時刻濾波提取 的信號。

所以濾波後的信號每點不能代表幅值 ，而是包含了該處的相位信息以及濾波器本身的相位。往往我們要通過希爾伯特變換獲得其幅值。希爾伯特變換的概念其實很簡單，就是用sin再去與原信號卷積一遍得到

那就等同於把餘弦卷積結果 移動pi/2相位。所以勾股定理就可以得到幅值啦。

總之，理解濾波器本身就是個卷積核，濾波完的結果是：隨時間變化的，原信號在餘弦函數的投影；包含了原信號，在該時間點處，在該頻率下，的幅值信息和相位信息（被濾波器改變的相位）。