添輔助線求面積

（一）閱讀思考

例1. 如下圖，已知：在四邊形AECF中，AE和EC垂直，CF和AF垂直。AE＝8，AB＝7，CD＝4，CF＝10。（單位：厘米）

求：陰影部分面積

分析與解答：ABCD是一個任意四邊形，沒有辦法直接求出它的面積。但如果連接A和C，這條輔助線就把四邊形ABCD分成兩個三角形，

和

。

是以AB為底，它的高是CF。所以

的面積是

平方厘米。

同樣，

的底是CD，高是AE，

的面積是

平方厘米

所以四邊形ABCD的面積是

平方厘米

例2. 如下圖，已知ABCD是平行四邊形，AC是對角線，AC＝3CG，AE＝EF＝FB，

的面積是6平方厘米，求：平行四邊形ABCD的面積。

分析與解答：連接GB，因為AE＝EF＝FB，所以

、

、

的面積都相等，都等於6平方厘米，因此

的面積是

平方厘米

因為AC＝3GC，所以AG＝2GC，所以

的面積是

面積的2倍，

的面積是18÷2＝9平方厘米，

的面積是18＋9＝27平方厘米。

因為AC是平行四邊形ABCD的對角線，

和

的面積相等。因此平行四邊形ABCD的面積是

平方厘米

例3. 如下圖，已知ABCD是長方形，A、D、E和F在一條直線上，AB＝7，BC＝5，DG＝3。（單位：厘米），求DE的長。

分析與解答：我們先添上一條輔助線，連接C和E。這樣可以得到一個三角形BCE。

的底是BC，高與AB相等。所以

的面積是

平方厘米。

是由

和

組成。

的底是BC，高是CG，CG的長是7－3＝4厘米。所以

的面積是

平方厘米。那麼

的面積是

平方厘米

而

的底是GC，高與DE相等。所以DE的長是：

厘米

（二）嘗式體驗

1.

的面積是12平方厘米，

，F是CD的中點。求陰影部分的面積。

2. 在

中，D、E和F分別為AC、AB和AD的中點。

的面積是4平方厘米。

厘米，求

以BC為底時，它的高是多少厘米？

3. 求下圖中陰影部分的面積（單位：厘米）

4. 下圖中正方形的面積為18.75平方厘米。在正方形內有兩條平行於對角線的線段把正方形平均分成面積相等的三份。求圖中的平行線段長是多少厘米？

5. 在長方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝10厘米，E、F分別為AD、CD中點，EG＝2FG。求陰影部分面積。

參考答案：

1.

的面積是12平方厘米，

，F是CD的中點。求陰影部分的面積。

答：5平方厘米

2. 在

中，D、E和F分別為AC、AB和AD的中點。

的面積是4平方厘米。

厘米，求

以BC為底時，它的高是多少厘米？

答：12.8厘米

3. 求下圖中陰影部分的面積（單位：厘米）

答：24面積單位

4. 下圖中正方形的面積為18.75平方厘米。在正方形內有兩條平行於對角線的線段把正方形平均分成面積相等的三份。求圖中的平行線段長是多少厘米？

答：5厘米

5. 在長方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝10厘米，E、F分別為AD、CD中點，EG＝2FG。求陰影部分面積。

答：7.5面積單位

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

1、一個正方形，將它的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米（見圖1），剩下的長方形比原來正方形的面積減少了1725平方厘米，求剩下的長方形的面積。

圖1

2、在平行四邊形ABCD中，兩條直線EF、GH分別平行於平行四邊形的兩鄰邊，它們的交點O在對角線BD上（見圖2）。已知小平行四邊形AEOG、GOFD的面積分別為7平方厘米和1平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積是多少？

圖2

3、如圖3所示，梯形ABCD的面積是45平方厘米，高6米，△AED的面積是5平方米，BC＝10米，求陰影部分面積。

圖3

4、如圖4所示，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米。求陰影部分的面積。

圖4

5、如圖5所示，正方形ABCD的邊長為6厘米，△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積。

圖5

【試題答案】

1、解：根據條件畫出答圖1，其中甲、乙、丙為截去的部分。

答圖1

由題可知，丙是長15厘米、寬10厘米的矩形，面積為

15×10＝150（平方厘米）

因為甲、丙形成的矩形的長等於原正方形的邊長，乙、丙形成的矩形的長也等於原正方形的邊長，所以可將兩者拼成答圖1的矩形。答圖1矩形的寬等於10＋15＝25（厘米），長等於原正方形的邊長，面積等於

（甲＋丙）＋（乙＋丙）

＝（甲＋乙＋丙）＋丙

＝1725＋150

＝1875（平方厘米）

所以原正方形的邊長等於1825÷25＝75（厘米）。

剩下的長方形的面積等於75×75－1725＝3900（平方厘米）

2、解：連結BD，可得

那麼，平行四邊形OHCF的面積＝平行四邊形AEOG的面積＝7平方厘米

又因為

分別為7平方厘米和1平方厘米，得其面積的比為7：1，由此也可得出

的面積之比也是7：1。通過計算可求出平行四邊形GHCD的面積是7＋1＝8（平方厘米），根據它與平行四邊形ABHG的面積比，可得出它占整個圖形面積的

。

根據分數乘法的定義，平行四邊形ABCD的面積為

（平方厘米）。

3、解：因為梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2

即

所以

（米）

又

所以△ADE的高是2米，△EBC的高等於梯形的高減去△ADE的高，即6米－2米＝4米

所以

（平方米）

答：陰影部分面積為20平方米。

4、解：陰影部分的面積等於甲、乙兩個正方形面積之和減去三個「空白」三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面積之和。

因為

又因為

所以陰影部分面積＝244－（50＋132＋12）＝50（平方厘米）。

5、解：因為△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，所以四邊形AECF的面積與△ABE、△ADF的面積都等於正方形ABCD面積的三分之一。也就是：

（平方厘米）。

在△ABE中，因為AB＝6，所以BE＝4，同理DF＝4，因此CE＝CF＝2，

∴△ECF的面積為

。

所以

（平方厘米）
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