13.2（2）一致收斂函數項級數的解析性質

07-16

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今天學習的內容，完全建立在13.2.1 一致收斂函數列的解析性質的基礎之上。

Shuxuan LI：13.2（1）一致收斂函數列的解析性質?

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相應定理的證明也是完全類似的。

定理13.12（連續性） 若函數項級數 $sum u_n(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上一致收斂，且每一項都連續，則其和函數在 $[a,b]$ 上也連續。

這個定理保證了，在一致收斂的前提下，求和運算和求極限運算可以交換順序。

定理13.13（逐項求積） 若函數項級數 $sum u_n(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上一致收斂，且每一項都連續，則 $sum int_a^b u_n(x) mathrm dx = int_a^b sum u_n(x)mathrm dx.$

定理13.14（逐項求導） 若函數項級數 $sum u_n(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上每一項都有連續的導函數， $x_0 in [a,b]$ 是它的收斂點，且 $sum u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收斂，則

$sum left( frac{mathrm d}{mathrm dx}u_n(x) ight)=frac{mathrm d}{mathrm dx}(sum u_n(x)).$

定理13.12，定理13.14，即連續性和可微性的條件均可減弱為「內閉一致收斂」。

上述三個性質是一致收斂函數項級數「有用」的集中體現。

例3 設 $u_n(x)=frac{1}{n^3}ln (1+n^2x^2), xin [0,1],|u_n(x)|leq u_n(1)=frac{1}{n^3}ln(1+n^2)$ , 而 $sum_{n=0}^infty frac{1}{n^3}ln(1+n^2)$ 收斂（與 $sum_{n=0}^inftyfrac{1}{n^2}$ 作比較，比較原則的極限形式），由M判別法知 $sum_{n=0}^infty u_n(x)$ 在[0,1]上一致收斂，所以其和函數連續，可逐項積分。

同時， $|u_n(x)|=frac{2x}{n(1+n^2x^2)}leq frac{1}{n^2},$ 再由M判別法知其一致收斂，因而逐項求導也是可行的。

我們以一個著名的函數作為本節內容的結束，即黎曼ζ函數。

例4 黎曼ζ函數 $zeta(x)=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^x}$ 在(1,+∞)上有連續的各階導數。

證明設 $u_n(x)=frac{1}{n^x}, forall [a,b]subset(1,+infty), u_n^{(k)}(x)=frac{ln ^kn}{n^x}leq frac{ln^kn}{n^a}$ ,由M判別法得，它的任意階導數在(1,+∞)都內閉一致收斂，這就是我們需要證明的。 $Box$

13.2（2） 一致收斂函數項級數的解析性質

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