Etale fundamental group of an abelian variety

07-16

來自專欄其岸勢犬牙差互，不可知其源。哩格兒楞。24 人贊了文章

隨手摘抄系列。

For other references of this result, see also Szamuely thm 5.6.10 (but there the proof is incomplete).

為了證明主定理我們還需要以下結果， which is interesting for its own sake：

註：這本書里etale covering means finite etale. 有圖為證：

複習：

semidirect product. Wikipedia:

直接構造:

Given any (even unrelated) two groups N and H and a group homomorphism φ: H → Aut(N), we can construct a new group N ?φ H, called the semidirect product of N and H with respect to φ, defined as follows.

The underlying set is the Cartesian product N × H.
The operation, ?, is determined by the homomorphism, φ: ${displaystyle {egin{aligned}ullet colon (N times _{varphi }H) imes (N times _{varphi }H)& o N times _{varphi }H\(n_{1},h_{1})ullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}varphi (h_{1})(n_{2}),,h_{1}h_{2})=(n_{1}varphi _{h_{1}}(n_{2}),,h_{1}h_{2})end{aligned}}}$

for n1, n2 in N and h1, h2 in H.

常用性質：

Now Given a group G with a subgroup H, and a normal subgroup N ? G. A version of the splitting lemma for groups states that a group G is isomorphic to a semidirect product of the two groups N and H if and only if there exists a short exact sequence

${displaystyle 1longrightarrow N{overset {eta }{longrightarrow }}G{overset {alpha }{longrightarrow }}Hlongrightarrow 1}$

and $alpha$ admits a section.

2. 概形的Galois理論也即覆蓋空間理論（參考文獻例如Szamuely，Lenstra，一篇碩士論文http://algant.eu/documents/theses/yang.pdf，）

下面是概形的有限覆蓋版本（有限Galois；finite etale cover和 continuous $pi_1$ -set的範疇等價；locally constant sheaf / lisse sheaf）

本圖片來自klingler講義

這裡最後一個證明(2)推(1)用到finite etale morphism做某個base change之後總是totally split這個這個神奇性質：

摘自Lenstra

(1)推(2)用到fpqc descent。（另一個descent理論的應用參見我的另一篇筆記：Cartier dual of a finite commutative group scheme（暫未成文），裡面主定理即 $ker widehat f=widehat{ker f}$ 的證明用到fppf descent）。扯太遠了。

純拓撲版本（有限Galois；（無須有限）覆蓋和拓撲 $pi_1$ -set*的範疇等價；locally constant sheaves）：

*：注意拓撲pi one $pi_1^{top}$ 這個東西本身沒有拓撲（笑哭。。。想了好久）etale $pi_1$ 才有拓撲。如果放在復幾何意義下看，etale $pi_1$ 在覆蓋空間上的作用自動連續，這隻需要注意etale $pi_1$ 的定義，它定義為projective limit of 有限覆蓋變換群的極限

有限域擴張版本

另，無限域擴張版本的Galois理論

主定理證明：

（2）由基本群的「幾何-算術-Galois」正合列聯繫上面semidirect product 的性質直接得到。

（幾個名詞：這個短正合列里第一個叫幾何 $pi_1$ ,第二個叫（算術） $pi_1$ ）

注意現在我們有第二個映射s的一個section，因為0是k有理點，有理點的含入映射誘導的基本群之間的映射即為s的一個section（參見[1] 10.31）

（1）幾何 $pi_1$ 的結構問題。故可假設k可分閉。這樣幾何 $pi_1$ 即 $pi_1$ .

下面會用到幾個事實

$pi_1$ 是profinite group （by construction. 但這個構造不顯然，是fiber functor的自同構群. 見Szamuely）
profinite group G等於G商掉open normal subgroup之後取逆向極限： $G=projlim G/U$ where U runs over all open normal subgroups of G （profinite group的拓撲很多地方都有介紹，比如Serre的某本GTM，以及可以搜一些拓撲群的講義. 比如這個結果，在semester thesis: Pronite groups and Galois cohomology, Rosalie Chevalley里可以找到p28, cor 2.6）

Step 1. 拆解成每個有限覆蓋來看

$pi_1=pi_1(X,0)=projlim pi_1/H$ where H runs over all open normal subgroups. 用概形的Galois理論，open normal subgroup H of $pi_1$ 一一地對應於一個finite etale X-scheme $f_H:Y_H ightarrow X$ . 並且Y_H到X的結構映射是商群 $pi_1/H$ . 在這個覆蓋上幾何點的纖維作為 $pi_1$ -set有非典範（跟fiber的基點選取有關）同構 $f_H^{-1}(0)=pi_1/H$ , 所以 $Y_H$ connected。任取lying over 0的Y_H的一個幾何點， $e_H$ 。Pair $(Y_H,e_H)$ is unique up to isomorphism: 關於幾何點的選取部分，注意覆蓋變換群 $pi_1/H$ 在 $f_H^{-1}(0)$ 上的作用是可遷的，即，對任意一個其它的 $f_H^{-1}(0)$ 中的幾何點 $e_H$ ，總存在一個覆蓋變換 $sigmainpi_1/H$ , $sigma:Y_H ightarrow Y_H$ 把 $e_H$ 映成 $e_H$ 。

現在用Lang-Serre（注意已經假設k可分閉，所以幾何點 $e_H$ 下面就是一個k-有理點）。得到 $(Y_H,e_H)$ 有abelian variety結構，並且結構映射 $f_H$ 是(not only finite etale, but also) separable isogeny。接下來：

f: X→Y is a finite etale separable isogeny between two abelian varieties over k. Suppose k is separably closed. Then f is a Galois cover with covering group
Ker(f)(k).

所以 $pi_1=pi_1(X,0)=projlim pi_1/H=projlim_{H ext{ open normal subgroup}} Ker(f_H)(k)$ .

Step 2. 接下來把open normal subgroups確立的偏序關係轉換成separable isogenies的偏序關係（為什麼這樣做，是因為我們接下來可以對這個偏序找到更好的cofinal子範疇）：

Let $I={ ext{separable isogenies } f:Y ightarrow X }/cong$

定義同構：兩個separable isogeny $f:Y ightarrow X, f:Y ightarrow X$ 被稱為同構，如果存在isomorphism of abelian varieties $g:Y ightarrow Y$ over X.

定義偏序： $fge f$ ，如果f factors through f in the category of abelian varieties $f=fcirc alpha$ , i.e., $alpha$ is a homomorphism of abelian varieties。

這個偏序誘導Ker(f), Ker(f)之間的映射： $fge f$ implies $Ker(f) ightarrow Ker(f)$ （這是嚴格的，因為kernel被定義為0的fiber）。注意

這個映射跟分解 $alpha$ 的選取無關：

進一步誘導k有理點之間的映射 $Ker(f)(k) ightarrow Ker(f)(k)$ 。如此一般我們定義了逆向系統 ${Ker(f)(k)}_{fin I}$ , 並且有 $pi_1(X,0)=projlim_{fin I} Ker(f)(k)$

Step 3. 找cofinal

Let $I={[n]_smid ninmathbb N_{>0}}$ , where $[n]_s$ stands for the separable part in the following decomposition of [n] (乘n映射)：

Let $ninmathbb N_{>0}$ be a positive integer. Then [n] can be decomposed as $Xxrightarrow{f} X/X[n]_{loc}xrightarrow{g} X$ where f is purely inseparable and g is separable.

（不是很確定作者的 $X/X[n]_{loc}$ 是什麼意思。姑且看成一個整體且是個abelian variety。可能有用的引用：10.21, 4.45. 唯一一種非平凡的情形應該是X特徵p ，然後p整除n，然後這個是non-etale part in the decomposition of the p-divisible group.）

I is cofinal (by direct checking more or less).

All in all, let $mathbb N_{>0}$ be the set of positive natural numbers partially ordered by divisibility, we have

$pi_1(X,0)=projlim_{fin I} Ker(f)(k)=projlim_{fin I} Ker(f)(k)=projlim_{ninmathbb N_{>0}} X[n](k)$

按照 $T_{p,et}X$ 定義，上一行等式右邊的就已經完全是要求的了。證完。

作為引理我們用到了

這個證明非常技巧性。先用10.34化成提升滿足條件的乘法映射的問題，然後用三項的diagonal，化為證明向前兩項projection的映射實際是同構。不多說，貼圖

然後10.34在此，

至於具體怎麼證明q_12是iso就不貼圖了，主要是etale+degree 1。只是粗略看了一下，感覺整個證明很講技巧。

參考文獻：

[1] http://gerard.vdgeer.net/AV.pdf

另，本次加引用標識的其實都是沒細想/沒過去但我猜它對的地兒。。。

今日感言：

寫筆記都不咋需要玩手機。雖然也很花時間，但思維強度比給定時間內偏得看懂某個定理低太多。算是意外收穫。所以數學還是早學、在沒啥壓力的情況下學比較好，要麼就得在本校智商拔尖，能輕鬆跟上進度還能有充裕的時間到處翻書，滿足自己時不時冒出來的聯想、問題、好奇心。要是晚起步又不聰明，總被進度拖著，這人生就很艱難了。正好昨天看了https://zhuanlan.zhihu.com/p/33111632（這樣的引用作者會被@不？如果打擾到非常抱歉），裡面說到「沉默的大多數」，略有所感。