凱利公式--給天台上徘徊的同學寫一篇科普文

11 人贊了文章

今天是2018年7月7日，

世界盃已過去一大半，

上天台跳樓的長隊，

想必已經排到地下車庫了吧。

這漫長無聊的排隊時間，該怎麼打發呢？

玩農藥？還是刷抖音？

要我說，大家都是有點追求的人，

跳樓前還是讀點有深度的東西，

短暫的一生才算沒虛度，對吧？

比如，讀一讀老夫這篇科普文，

學習下投(Du)資(Bo)史上著名的凱利公式。

(英文名 Kelly Formula，記一記有助提高比格)

說不定你看完之後，

就悟得阿耨多羅三藐三菩提，

回頭是岸不想跳了呢。

所以我們趕緊直奔主題吧，

多渡幾個是幾個。

不過，為了便於理解，

我們還是先從天台上那幾位同學

熟悉的足(Du)彩(Qiu)說起。

1) 足(Du)彩(Qiu)必修課：賠率與勝率

隨便打開一個綜合網站的體育頻道，

查看某場比賽的足彩盤口信息，

我們就會看到類似這樣的畫面：

(寫這篇文章的時候兩隊還沒開打)

請看左下角的表格，這裡有三行數據，

每行第一列分別寫著亞盤、歐賠和大小球。

這代表著3種不同的下注方式，

我們先不管另外兩個，

就只挑規則最簡單的歐賠來說。

這一行有三個數字：

3.75(勝) | 3.00(平) | 2.20(負)

天台上排隊的同學們都知道，

這是本場比賽三個可能結果：

俄勝、平局、俄負分別對應的賠率。

(對於淘汰賽而言，平局指的是90分鐘內打平)

那麼什麼是賠率？我們舉例科普一下。

假如你下注100元，

押克羅埃西亞勝(也就是俄負)，

對應的賠率是2.20。

而如果克羅埃西亞很爭氣地贏了，

那麼你將連本帶利得到

100*2.20=220元。

也就是說，

賠率=押中結果時的回報(含本金) / 本金

如果克羅埃西亞踢平或者輸了呢？

那不好意思，你的100元就為足彩事業

做了一點微小的貢獻。

如果你押兩隊踢平或者押俄羅斯勝，

也是同樣道理。

而機智的你馬上就發現一個問題：

這場比賽押俄羅斯勝的賠率最高。

那我們還費那事兒幹嘛，

直接押俄羅斯勝，

不就能拿到最高回報了嗎？

事情的確是這樣，

只不過前提是俄羅斯真的能勝克羅埃西亞。

所以我們押完注之後，能做的事情，

就是沐浴更衣焚香齋戒，

然後上天台祈禱俄羅斯贏球了吧？

且慢，各位都是學過數學的人，

別再干這些沒譜兒的事情了行不？

你的數學老師會怎麼想？

同學們是否還依稀記得當年學過一門課，

叫做概率論與數理統計？

對於這場比賽，影響我們下注的，

就是三種結果分別對應的概率，也叫勝率。

【注意】

勝率是指押注的結果(包括平局)發生的概率，

不是僅僅是某支球隊獲勝的概率。

比如，如果克羅埃西亞勝出的概率是50%，

那麼你押注克羅埃西亞勝的勝率就是50%。

而如果兩隊踢平的概率是30%，

那麼你押注平局的勝率就是30%。

而賠率的差異，

可以簡單認為是源自勝率的差異，

並且往往勝率越低的押注賠率越高，

這個事兒我們最後會討論。

所以當你忍不住要押俄羅斯勝的時候，

除了考慮賠率，還得把勝率放進去算一算。

我們現在就動手來算。

我們先假設

克羅埃西亞勝的概率是50%，

平局的概率是30%，

俄羅斯勝的概率是20%。

學過概率論的同學都明白一個常識：

不管概率如何，如果只押一場比賽，

那麼結果只有兩個：中，或不中，

概率不起任何作用。

只有樣本足夠大時，概率才能展現魔力。

對於足(Du)彩(Qiu)而言，

樣本足夠大就意味著投注很多場比賽。

我們先學學物理學家，假設一個理想情況：

俄羅斯和克羅埃西亞

能在相同狀態下連踢100場比賽。

那麼克羅埃西亞勝的50%概率就意味著，

克羅埃西亞有極大可能會贏下其中50場。

有了這個前提，我們就不用聽天由命，

而可以有章法地算算我們的期望收益了。

假設

你是一個純粹的人、一個堅持原則的人，

每次都從私房錢當中固定拿出100元，

堅定不移地押克羅埃西亞勝。

那麼你在這100場押注中投入了10000元。

而那50場勝局帶給你的期望收入就是

50*100*2.20=11000元。

刨去本金，得1000元收益，收益率10%。

而同樣可以算出：

押平局的期望收益率為-10%(凈虧1000元)；

押俄勝的期望收益率為-25%(凈虧2500元)。

現在結論來了：

勝率50%，賠率2.20時，押克羅埃西亞勝。

其實，我們還可以來做一道簡單的概率題，

給出用勝率和賠率計算期望收益的通式：

假設某個押注勝率為 ，賠率為 ，

投注資金為 。

那麼根據剛才的思路，我們知道

押注某個結果的預期收益率就是：

也就是勝率 乘以賠率 ，

得到連本帶利的預期回報 ，

再減去本金 ，得到期望收益率

只要期望收益為正，

那麼通過前面的例子可以知道，

在多場相似比賽中反覆押注同一個結果，

就一定能獲利。

所以，接下來就是敲黑板劃重點的內容了：

決定是否押注某個比賽結果的條件是：

單次押注期望收益率

也就是勝率乘以賠率大於1

(注意：這個式子並不是凱利公式)

說到這裡，請大家做一個隨堂練習：

算一算克羅埃西亞獲勝賠率為2.20的情況下，

期望收益率為正的最低勝率。

好了，似乎穩賺不賠的路子已經找到了，

我們是不是可以不用排隊上天台了？

事情其實並沒有這麼美好，

因為我們還要解決三個問題：

問題一：

俄羅斯和克羅埃西亞能否連續踢100場比賽？

顯然，這只是個物理學家式的假設，

除非你有足夠的錢，請他們來踢100場。

而如果你真有那麼多錢，

還用得著排隊上天台嗎？

所以結論就是概率並沒有什麼egg用？

要麼咱還是直接沐浴更衣焚香齋戒，

然後上天台邊排隊邊祈禱更靠譜一點？

不不不，還不至於那麼悲觀，

不然老夫費勁巴力幾個晚上

不看比賽專門熬夜寫這個幹嘛。

我們要知道，

雖然兩隊不可能連踢100場比賽，

但是歷史上相似的比賽一定不止100場。

所謂相似的比賽，就是參賽兩隊狀況

與俄羅斯-克羅埃西亞的狀況相近的比賽。

這些相似的比賽中，我們假設：

較強一方獲勝概率都是50%，賠率都是2.20。

(所謂較強的一方，

就相當於本場比賽中的克羅埃西亞，

後面我們簡稱強隊)

接下來，我們在這100場相似的比賽中，

執著地押強隊勝，最後也能獲得10%的收益。

現在來說說問題二：

問題二：

怎麼知道克羅埃西亞真有50%獲勝概率呢？

嗯……這個問題其實不是很難，而是相當難，

所以我們還是放到後面再討論。

現在我們就姑且假設勝率真有50%吧，

否則我們真的沒法愉快玩耍了。

有了前面的前提，就要考慮第三個問題了：

問題三：

我們每次下注多少才能賺得最多？

剛才的計算中，我們其實就是手握10000元，

但每次只拿100元、即原始資金的1%下注。

這個資金利用率是不是太低了一點？

如果湊夠100場這樣的比賽需要10年的話，

年收益率也就1%左右，還跑不過通脹。

作為一群

有(cai)所(mi)追(xin)求(qiao)的彩(du)民(gun)

就不想有賺錢快一點的方式？

比如……換一個賭法，

每次都把全副身家押上去豪賭一把？

如果克羅埃西亞贏了的話，

我們一次就能獲得120%的收益了。

這樣想的話，您還是繼續排隊上天台吧。

因為，只要克羅埃西亞平一場或者輸一場，

你就一文不剩，徹底沒有翻盤資本了。

所以，

我們怎麼確定每次投多少比例，

讓我們既能保留翻盤的底牌，

又能獲得最大收益呢？

還記得這篇文章的標題是什麼嗎？

對，凱利公式，

這就是我們馬上要祭出的大殺器。

2) 凱利公式

剛才我們用100場定額投注

(每場定額投注100元)的模式，

計算了100場以後的期望收益率。

但我們看到了，

這種定額投注是一種很沒效率的方法……

既然沒效率，我剛才為啥還要講一遍呢？

這還是因為考慮到

排隊上天台的同學們

已無心思考複雜問題，

而定額投注計算上簡單，方便理解。

(老夫真是菩薩心腸啊……)

但現在我們要學習一個

更高效率更低風險的投注方式：

定比例投注

【敲黑板劃重點】

所謂定比例投注，

就是每次拿出所持資金的一定比例押注。

比如，你有10000元用於足(Du)彩(Qiu)。

而為了簡化問題，我們還是假設

克羅埃西亞和俄羅斯連續踢了100場比賽。

按前面的設定，

押克羅埃西亞勝的勝率為50%，賠率為2.20。

假設第一次你拿出20%，也就是2000元，

押克羅埃西亞勝。

結果克羅埃西亞不幸領盒飯回家了，

2000元貢獻給了社會，手裡還剩8000元。

第二次，你仍然拿出剩餘資金的20%，

也就是1600元，繼續押克羅埃西亞勝。

結果這次克羅埃西亞贏了，於是你賺到

1600*(2.20-1)=1920元

手裡資金回到了9920元。

那麼問題來了：

100場比賽結束後，你的期望收益是多少？

這就要進行一些稍微複雜點的推導了。

所以，請直起腰板、豎起耳朵、打起精神，

我們要開始上數學課了。

【友情提醒】

雖然這裡的數學推導並不難，

但還是友情提醒那些對數學過敏的同學：

為了防止你們中途躁狂症發作，

請跳過數學推導部分直接找到結論。

老夫會在背後關愛而憐憫地注視你們……

假設：俄羅斯和克羅埃西亞連踢 場比賽，

我們每次押克羅埃西亞勝，勝率 ，賠率 。

我們把第 次下注前的總資金記為 ，

比賽結束後手裡的總資金記為

每次投注的金額占當時總資金的比例為 ，

這個 就是我們常說的倉位。

於是我們拿出來下注的金額就是。

如果這次押中了，那麼我們除了回收成本，

還額外得到了 的收益。

所以總資金就變成 。

(請結合上文的算例自行推導)

而如果沒押中，那麼這貢獻給了社會，

總資金就變成了

我們把 稱為第 次投注的收益比。

那麼當你押中的時候，

你的收益比為 ，

沒押中的時候，

收益比為

記住這個收益比，我們馬上就能用到。

如果比賽場次 足夠多的話，

那麼這 場比賽中，

極大可能會有 場克羅埃西亞勝，

有 場平局或克羅埃西亞負。

這時候，考驗各位數學功底的時候來了：

場比賽全部結束時你的資金會變成多少？

請自己掏出一支筆一張紙試著推導一下，

再繼續往下看。

什麼？天台上沒紙？

那就把手指咬破蹲在地上寫吧，

反正待會兒就要跳了，也不在乎這點血。

好了，公布推導過程：

根據前面的記號，

你的初始資金記為 ，

比賽全部結束後的資金記為 ，

它們的關係為：

也就是說，你最終的資金等於

初始資金逐項乘以每次投注的收益比 。

( 就是連乘符號，大家回頭複習一下)

由於我們押中的場次有 場，

沒押中的有 場，

而前面說了，

押中時的收益比為

沒押中時為

這就意味著，這一系列 中，

有 項等於 ，

有 項為 。

那麼現在可以給出計算結果了：

【敲黑板劃重點】最終資金的計算式

(注意，這個式子依然不是凱利公式)

接下來，我們代入具體數值算一算。

還是剛才那個例子，

俄羅斯與克羅埃西亞連踢100場比賽。

你堅持每次都押克羅埃西亞勝，

勝率50%，賠率2.20，

你的初始資金10000元，每次倉位20%。

那麼100場比賽結束之後，

你的資金會大概率地變成……

腫、腫么回這事兒啊？—— 道哥

是不是算錯了？

說好的高效率低風險呢？

咋最後還虧了三分之一呢？

這位大哥，別衝動，

請把你的刀收起來，讓我把話說完。

前面說了，

我們要找到一個最佳倉位尋求最大收益，

顯然這個20%並不是。

所以我們還是想點法子算一算吧。

現在，請大家先去書櫃里翻翻，

看看當年用過的高數課本還在不在？

版本不限，哪本都行。

什麼？考完試就賣了？扔了？

還有你，你特么居然把書燒了？

那你們幾個還是插個隊先跳下去吧。

還能找到課本的同學請留下來，

跟著老夫一起推導。

現在請大家翻開上冊書的目錄，

找到一元函數極值這一節……

這時候你是不是回憶起了

大一上學期的某段美妙時光？

那堂課上，你的女神正好坐在你前面，

你呼吸著她的體香漸漸入睡……

好了，醒醒，開工搬磚了。

剛才說到函數極值那一節，

那一節里教材作者告訴我們：

對於二階可導的函數

且 時

取極大值。

現在我們就用極大值判據來尋找最佳倉位。

根據剛才我們的推導結果，最終資金

於是最終收益率為

以 為變數，

只要找到 且 時的 ，

就能得到最大期望收益。

大家不妨動手算一算 ，

然後解方程

最後你發現解不出來，對吧？

其實這種複雜的冪函數求導再求解

是個操白粉心掙白菜錢的活兒，

我們要想辦法用點巧力。

學過一點金融知識的同學

一定聽說過對數收益率吧，

我們就用它來試試。

所謂對數收益率(我們記為 )，

就是對資金的最終收益比取對數，即：

它是評估收益率的另一種方法，

我們先不管它的含義，只記住一點：

對數收益率 取極大值時，

普通收益率 也取極大值。

而對 求導再求解 ，

對我們來說就熟門熟路了，

比隔壁老王翻個陽台還容易。

我們可以求得：

接下來，請掏出紙筆或者再咬破一根手指，

算一算 時 的取值。

這咬指一算，我們得到了本文的核心內容、

投(Du)資(Bo)界最牛掰閃閃的神器之一：

凱利公式： ，

也就是已知勝率和賠率的情況下

求最佳倉位的公式。

大家有興趣可以驗算一下，

此時

(這裡空白太小寫不下，老夫就不證明了)

現在，讓我們回到

俄羅斯和克羅埃西亞的100場比賽前，

用凱利公式算算我們的最佳倉位。

代入勝率 、賠率 ，

可以算出最佳倉位為：

也就是每次投注當前總資金的8.33%。

這個情況下，

100場比賽後的總資金期望值為15143萬元，

收益率高達51%，驚喜不驚喜？

而如果畫出收益率和倉位的關係曲線，

我們也能確認

最高收益率的確出現在倉位8.33%的點上。

有了這個收益率，

是不是可以心情愉悅地從天台下來了？

兄台且慢，別忘了我們還有個問題沒解決：

我們強行欽定了克羅埃西亞勝的勝率為50%，

但實際上真的有這麼高嗎？

如果勝率太小會發生什麼事情？

如果勝率太小，

以至於勝率乘以賠率小於1，

那就會有好玩的事情發生了。

比如我們取勝率40%、賠率還是2.20，

那麼你會發現此時最佳倉位

你沒看錯，這個最佳倉位，它就是個負數。

負數的意思就是，

想獲得收益，你只能去當賣足彩的那個人，

也就是莊家。

天台上的同學不要激動！

我知道，我曉得，你們提到莊家就很狂躁，

但還是請把刀子收一下，讓我把話說完。

在大家印象里，the definition of「莊家」，

特指機關算盡、讓大家穩賠不賺的那伙人，

對吧？

看起來似乎是這樣，

但其實人家根本不在乎你是不是穩賠不賺，

他只管他自己穩賺不賠。

所以某些時候，

你在理論上還是能找到一些獲利機會的，

而為了找到這種機會，

我們要先搞懂賠率是怎麼來的。

本來，作為一個只玩數學不買足彩的

高(Qiong)冷(Gui)大叔，

老夫講完凱利公式就算完成任務了。

但本著幫人幫到底、送人送上天台的原則，

老夫決定還是再做一點微小的工作，

講講賠率的設定。

3) 番外篇：賠率是怎麼來的

我們再來看一眼剛才看過的賠率信息：

前面我們已經知道，

看起來勝率越低的結果，它的賠率就越高，

這和我們的感覺是一致的。

感覺這個東西很重要，

但這並不是對我們，而是對莊家很重要。

莊家設定賠率，就是要猜測大家的感覺，

他們具體是怎麼玩兒的呢？

我們假設，有100個彩(Du)民(Gun)在投注，

每個人投注100元，總共10000元。

由於克羅埃西亞實力強於俄羅斯，

因此感覺克羅埃西亞肯定會贏的人比較多，

比如有43個人，他們押了克羅埃西亞勝；

而有32個人

感覺兩隊90分鐘內踢平也不是沒有可能，

所以他們押了平局；

剩下25個人

感覺俄羅斯還可以搶救一下，

而且俄羅斯勝的賠率最高，

所以他們押了俄羅斯勝。

而莊家事先做了個摸底，

大概知道了押注各個結果的人數比率。

然後他就帶著陰惻惻的笑容，

撥著算盤算賠率了。

當然，作為一名

忠(Sang)於(Jin)職(Tian)守(Liang)的

職業莊家，

他必須有個原則：

就是無論結果如何，

自己都要旱澇保收穩賺不賠。

比如這次他給自己設定了5%的收益。

那麼收完10000元的投注金後，

莊家就先留了500元給自己(俗稱抽水)。

剩下9500元幹嘛呢？

就拿去打發押中了結果的彩(Du)民(Gun)。

比如說，如果克羅埃西亞贏了，

那麼莊家就把9500元

發給賭克羅埃西亞勝的彩(Du)民(Gun)。

而這些人事先押注了43*100=4300元，

於是克羅埃西亞勝的賠率就是

9500/4300=2.21。

而如果兩隊踢平或者俄羅斯勝，

那麼我們也可以根據同樣的思路，

算出平局的賠率(9500/3200=2.97)，

以及俄羅斯勝的賠率(9500/2500=3.80)。

這和我們實際看到的賠率就八九不離十了。

所以同學們想明白了嗎？

人家莊家算賠率的時候，

從頭到尾就沒考慮過真正的勝率問題，

他只關心彩(Du)民(Gun)們的判斷。

而彩(Du)民(Gun)們的感覺真的準確嗎？

大方向肯定是對的，

這也就是為什麼勝率越高賠率越低了。

但是剛才我們看到了，

有時候百分之幾的概率的差別，

都會讓你從人生巔峰走上大樓巔峰。

所以，這是個很嚴肅的問題。

這個問題其實可以這樣驗證：

根據歷史賠率和勝率的統計數據，

用我們剛才計算賠率的方式，

反算彩民們的下注比例，

然後再和實際勝率做個比較，就知道了。

老夫並沒做過這個統計，

所以有興趣的同學自己去研究研究吧。

現在回頭說說理論上的機會。

假如，我是說假如，

你通過某種計算

(不管是周易還是推背圖還是大數據)，

發現其實克羅埃西亞勝的概率是妥妥的50%，

那你就安心下注吧，

老夫會在背後用慈祥的目光支持你。

當然，

押注前別忘了用凱利公式算算最佳倉位。

而如果實際勝率就是43%，

那單次押注期望收益率

對於這樣的比賽，

你就算賭到宇宙熱寂的那一天，

也是穩虧不賺的。

所以，到底是盈是虧，

還是取決於你對概率的準確把握。

然而，你真相信你能有準確把握嗎？

這裡插播一個行為金融學概念：

「過度自信」

(Overconfidence，記一記又能提高比格了)

同學們可以去認真了解一下，

在你信心爆棚下注之前，

先認真思考一下它的含義再做決定吧。

4) 結束語

是不是覺得

讀完整篇文章也找不到穩賺的套路？

其實，老夫本來就是來上數學課的，

不是教諸君玩足(Du)彩(Qiu)的。

說得再直白一點，

老夫沒有辦法教你怎麼賺錢，

只能讓你知道自己是怎麼上天台的，

其實能搞明白這一點，

也是一件可喜可賀的事情啊。

所以，

還在天台上排隊的那幾個同學，

你們就自己決定下不下來咯。