氣泡聲學：流水為什麼會有聲音？

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1933年，荷蘭科學家Marcel Minnaert 發表了一篇著名的題為「氣泡的聲音及流水的響聲來源」（On musical air bubbles and the sound of running water）的論文（Ref1）。在論文中，他說道「物理學家幾乎從未對流水的聲音有過深入的研究，以至於我們目前對小溪的潺潺聲，瀑布的咆哮聲和大海的吟唱聲的起源一無所知」。於是他對流水發聲的原理做了深入的研究。在1930年以前，Paget就提出，當小液滴落入水中的響聲來源是在這個過程中產生了很多的空氣微腔，這些微型氣泡的界面可以像剛性壁一樣發生振動而發出聲音(Ref2)。Minnaert 指出了這種理論的缺陷，依據是，根據剛性振動理論，氣泡尺寸為3 mm到6 mm的氣泡發出聲音的頻率遠遠超出了人類的聽覺範圍。他由此提出了氣泡的脈動理論（Pulsating theory），其理論模型如圖1.8a所示，

即假設氣泡的邊界可以像彈簧一樣可以發生周期性地振動。Minneart假設單個氣泡連同周圍無窮多的水整體為一個彈簧單擺諧振子，此單擺的質量跟整個水的質量有關，而彈簧的振動是由氣液界面的移動完成的，即跟空氣的可壓縮性有關。當氣泡諧振子振動時，氣體體積最大時體系的彈性勢能與氣泡處於平衡位置時的動能是相等的，由此建立關係計算出了這個諧振子的振動頻率f。即

式中a為氣泡的半徑，pA為氣泡外室溫壓強，ρ為液體密度，γ為氣體等壓熱容與等容熱容之比。這個公式就是單個氣泡在無窮多的液體中的振動頻率公式，這種共振也被命名為Minnaert 共振。

為了驗證模型的正確性，Minnaert使用圖1.8b的裝置進行了定量測量。通過向漏斗A中慢慢加入水，水由於重力作用通過管道B而替換CD中的空氣，在E的開口處形成氣泡。 Minnaert 發現的第一個現象是，氣泡從E處開始鼓出來的時候是沒有聲音的，只有氣泡脫離E的開口，界面閉合的時候的才會出現響聲，這和人們的直觀想法是不一致的。Minnaert通過使用M和L裝置精確測定了產生氣泡的體積，測出這個尺寸下發出聲音的頻率，發現跟公式吻合的很好。這證明了公式的正確性，也說明了流水的聲音是原因由內部產生氣泡時氣泡發生振動而產生的。根據公式1.3算出的半徑為1 mm的氣泡在常壓下的振動頻率為3 kHz，而這正處於人類的聽覺範圍內。這個公式計算的頻率比Paget的剛性振動理論預測的頻率小了80倍。

Minnaert共振的著名不只是其解釋了流水聲音的真正來源。還在於它解釋了氣泡對聲波的共振特性，即根據上面可計算，對於水中的單個氣泡，其與聲波共振的聲波的波長λ與其半徑的關係為，

即氣泡的共振特性是可以以小尺寸控制大波長聲波的特點。在傳統的聲學研究中，低頻率的聲波的調控是一個難題，因為傳統理論要求固體的尺寸必須和聲波的波長相當。因而氣泡這種共振特點，也使它作為一種最簡單的聲學超材料得到了廣泛的研究(Ref3-5)。

註：本內容摘自本人博士畢業論文前言部分。

參考文獻：

1. Minnaert, M. XVI. On musical air-bubbles and the sounds of running
   water. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 16, 235-248 (1933).

2. Devaud, M., Hocquet, T., Bacri, J. C. & Leroy, V. The Minnaert Bubble: An Acoustic Approach. Eur. J. Phys. 29, 1263 (2008).

3. Kushwaha, M., Djafari-Rouhani, B. & Dobrzynski, L. Sound isolation from cubic arrays of air bubbles in water. Phys. Lett. A 248, 252-256 (1998).

4. Kafesaki, M., Penciu, R. & Economou, E. Air bubbles in water: a strongly multiple scattering medium for acoustic waves. Phys. Rev. Lett. 84,

5. Goffaux, C. & Vigneron, J. Spatial trapping of acoustic waves in bubbly liquids. Physica B: Condensed Matter 296, 195-200 (2001).

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