隨機序列（下）

07-15

隨機序列（下）

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對應課程：《應用隨機過程》

（註：若無特殊聲明，本文考慮的狀態空間為歐式空間 $({f R}^d,{cal B}^d )$ ，隨機過程均為離散時間參數隨機過程 ${X_n}_{nin {f Z}_+}$ ！）

在上一篇中，我們了解了離散時間參數的隨機過程：馬氏鏈和平穩序列。這一篇中，我們將給出時齊馬氏鏈的一個重要應用——隨機遊走（Random Walk）。

【一】隨機遊走

1. 隨機遊走

我們考慮這樣一個例子：某個醉漢走在回家路上，由於其分不清方向，故向東走一步和向西走的概率各為 $frac{1}{2}$ 。現設家在醉漢此時位置東面 $n$ 步位置，則該醉漢是否總能再有限步內回到家？這個時候，我們就需要用如下的（簡單對稱）隨機遊走模型來考慮。

隨機遊走

給定概率空間 $(Omega,{cal F},{f P},{{cal F}_n})$ 上取值於歐式空間 $({f R}^d,{cal B}^d )$ 的獨立同分布隨機過程 ${X_n}$ ，令 $S_n:=sum_{k=1}^{n}{X_k}$ ， $S_0=0$ ，則稱 ${S_n}$ 為（從 $0$ 出發的） $d$ 維隨機遊走，以 $mu$ 表示 ${X_n}$ 的共同分布。

註：一般令 ${{cal F}_n}:=sigma(X_1,cdots,X_n)=sigma(S_1,cdots,S_n)$ 。

簡單隨機遊走

對於 $d$ 維隨機遊走 ${S_n}$ ，若其增量 $X_n$ 服從分布 $egin{pmatrix} E_1 & cdots & E_{2d} \ p_1 & cdots & p_{2d} end{pmatrix}$ ，其中 $E_{2k}$ 表示第 $k$ 個單位向量， $E_{2k-1}=-E_{2k}$ ，則稱 ${S_n}$ 為 $d$ 維簡單隨機遊走。

簡單對稱隨機遊走

對於 $d$ 維隨機遊走 ${S_n}$ ，若 $mu(B)=mu(-B)$ ， $forall Bin {cal B}^d$ ，則稱 ${S_n}$ 為 $d$ 維對稱隨機遊走。若其還為簡單隨機遊走，則稱之為 $d$ 維簡單對稱隨機遊走。

2. 時齊馬氏鏈：常返性

顯然，隨機遊走 ${S_n}$ 是一個時齊馬氏鏈。但由於其狀態空間不僅限於可數狀態空間，故我們需要推廣一些定義：

（1）可達點集 ${cal U}$ ： ${cal U}:={xin{f R}^d:forall varepsilon >0,exists nge 1, ext{s.t.}{f P}(Vert S_n-xVert <varepsilon)>0}$ ；

（2）常返點集 ${cal V}$ ： ${cal V}:={xin{f R}^d:forall varepsilon >0,{f P}(Vert S_n-xVert <varepsilon, ext{i.o.})=1}$ 。

顯然， ${cal V}subseteq {cal U}$ 。且若 $0$ 為常返點，則 ${cal U}={cal V}$ 為 ${f R}^d$ 中的閉子群。

【總結】若 $0$ 為常返點，則 ${S_n}$ 的狀態空間為一個常返類；若 $0$ 非常返，則 ${S_n}$ 的狀態空間點點暫留。故我們只需判斷 $0$ 是否常返即可。

狀態空間為 ${f Z}^d$ 時的常返性

當隨機遊走 ${S_n}$ 的狀態空間為可數狀態空間，即 ${f Z}^d$ 時，上一篇中的時齊馬氏鏈的性質均可運用於隨機遊走模型。

（1） $0$ 為常返點的判斷

「 $0$ 為常返點」 $Leftrightarrow$ 「 ${f P}( au_0<infty)=1$ 」 $Leftrightarrow$ 「 $sum_{n=1}^infty {{f P}(S_n=0)}=infty$ 」

（2）例：簡單對稱隨機遊走

當 $dle2$ 時，簡單對稱隨機遊走 ${S_n}$ 常返；

當 $dge 3$ 時，簡單對稱隨機遊走 ${S_n}$ 暫留。

註： $d=1$ 時， $muequiv1$ 為平穩測度。

狀態空間為 ${f R}^d$ 時的常返性

當隨機遊走 ${S_n}$ 的狀態空間為一般的歐式空間，即 ${f R}^d$ 時，以下結論需要重新驗證。

（1） $0$ 為常返點的判斷

「 $0$ 為常返點」 $Leftrightarrow$ 「 $existsvarepsilon >0$ ，使得 $sum_{n=1}^infty{{f P}(Vert S_n Vert<varepsilon})=infty$ 」

$Leftrightarrow$ 「 $forall delta>0$ ， $int_{B_0(delta)} ext{Re}frac{1}{1-varphi(t)}mathbb{d}t=infty$ （ $varphi(t)$ 為 $X_1$ 的特徵函數）」

（2）例：隨機遊走

當 $d=1$ 時，若 $frac{S_n}{n}xrightarrow{{f P}} 0$ ，則隨機遊走 ${S_n}$ 常返；

當 $d=2$ 時，若 $frac{S_n}{sqrt{n}}xrightarrow{{f P}} Z$ （ $Z$ 為二維非退化正態隨機變數），則隨機遊走 ${S_n}$ 常返；

當 $dge 3$ 時，隨機遊走 ${S_n}$ 暫留。

3. 其他結論

帶吸收壁的隨機遊走

設 ${S_n}$ 為一維簡單對稱隨機遊走，對 $i<0<j$ ，定義停時 $N_{i,j}:= au_i wedge au_j$ ，稱 ${S_{nwedge N_{i,j}}}$ 為以 $i$ 和 $j$ 為吸收壁的隨機遊走，則有如下結論：

（1） ${f P}(S_{N_{i,j}}=i)=frac{j}{j-i}$ ； ${f P}(S_{N_{i,j}}=j)=frac{-i}{j-i}$ ；

（2）推論： ${f P}( au_i<infty)={f P}( au_j<infty)=1$ 。

Wald等式

設 ${S_n}$ 為一維隨機遊走， $au$ 為一停時，若滿足以下三者之一：

（1） $au$ 與 ${X_n}$ 獨立，

（2） ${X_n}$ 非負，

（3） ${f E}|X_1|<infty$ 且 ${f E} au<infty$ ，

則有 ${f E}S_ au={f E}X_1cdot{f E} au$ 。

H-S 0-1律

設 ${S_n}$ 為一維隨機遊走， $mu eq 0$ ，則： $varlimsup_{n} S_n$ 與 $varliminf_{n} S_n$ 皆為無窮。

反射原理

設 ${S_n}$ 為隨機遊走， $au$ 為一停時，令 $ilde{S}_n:=$ $ilde{S}_n left{ egin{aligned} &S_n &,n< au \ &2S_ au-S_n &,nge au end{aligned} ight.$ ，則 ${ ilde{S}_n}$ 也為隨機徘徊。