四年級數學思維訓練精講

四年級數學思維訓練精講

１.圖形周長與圖形面積綜合問題　　主要講解不規則圖形周長計算以及組合圖形的面積問題。不規則圖形周長問題主要通過添加輔助線，運用平移、分解等方法，將不規則圖形轉化成規則圖形來進行計算，主要是利用將不規則問題轉化為規則問題的思想進行計算。對於圖形面積，主要通過分割或者添補的方法進行將不規則的圖形轉化為規則圖形，通過計算規則圖形面積，進行求整體圖形面積。 　　

　　【例】如圖所示，有兩個正方形，大小兩個正方形對應邊的距離均為1厘米。如果兩個正方形之間部分的面積是20平方厘米，那麼，小正方形的面積是多少平方厘米？（北京市第三屆「迎春杯」小學生數學競賽試題）

　　　【解】如圖，把兩個正方形中間的部分，分割成4個一樣大小的長方形，每個小長方形的寬是1厘米，面積是20÷4=5（平方厘米），那麼小長方形的長是5÷1=5（厘米）。　　由此可以求出，小正方形的邊長是5-1=4（厘米），所以，小正方形的面積是4×4=16（平方厘米）　　綜合算式：（20÷4÷1-1）×（20÷4÷1-1）=16（平方厘米）　　答：小正方形的面積是16平方厘米。　　２.盈虧問題　　在分配過程中，通常有兩種分配方案，一種分配有餘（盈），一種分配不足（虧），最後求參加分配的數量及被分配的總量。這種類型的應用題稱為盈虧問題。解答盈虧問題，常常採用比較的方法，比較兩次分配中因為每次分配的差異而影響總量的差異，先求出參加分配的數量，再求出被分配的總量。在對盈虧問題進行細緻總結歸納的基礎上，加深講解盈虧應用問題。 　　【例】有一個班的同學去划船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個人。問：這個班共有多少名同學？ 　　【解】分析：增加一條和減少一條，前後相差2條，也就是說，每條船坐6人正好，每條船坐9人則空出兩條船。這樣就是一個盈虧問題的標準形式了。　　增加一條船後的船數=9×2÷（9-6）=6（條），這個班共有6×6=36名同學。　　３.巧填算符&數字謎　　巧填算符以及數字謎問題主要幫助學生養成尋找「突破口」的解題思想。巧填算符問題是一類數字推理題，通常綜合使用湊數法和逆推法進行推理求解。數字謎問題也是一類數字推理問題，主要方法是需要找到題目中明顯或者暗藏的突破口，填寫數字，從而解決問題。巧填算符和數字謎都需要挖掘題目中的隱含信息，找到解決的突破口，尋找解決問題的關鍵點，培養學生分析能力、推理能力。　　【例】在下面算式的空格內各填入一個合適的數字，使算式成立　　

　　【解】由於□1□×3=□2□5，所以被乘數的個位數字為5。又由於□15×2的積還是三位數，所以被乘數的百位數字為1、2、3或4，因為□15×3的積為四位數，所以被乘數的百位數字為4。　　最後確定乘數的十位數字。由於415×□=3□2□，所以乘數的十位數字為8或9，經試驗，乘數的十位數字為8。被乘數和乘數確定了，其他方框中的數字也就容易確定了。　　解出：　　

　　４.和差倍綜合問題　　包括年齡在和差倍基本問題的基礎上，講解和差倍綜合問題，包含年齡問題等。和差倍問題最主要、最常用的解題方法是畫出線段圖，通過分析線段圖中數量和份數的對應關係，求出份數所代表的數量關係，進行求出相應的數量關係，從而解決問題。年齡問題是將實際問題與和差倍問題結合起來，解決年齡問題的關鍵是把握年齡差不變的思路，進而分析求解。　　【例】小明、小紅、小玲共有73塊糖（sweet）。如果小玲吃掉3塊，那麼小紅與小玲的糖就一樣多；如果小紅給小明2塊糖，那麼小明的糖就是小紅的糖的2倍。問小紅有多少塊糖？　　【解】設想如果條件中小玲與小紅的糖果一樣多，而且小明的糖果是小紅糖果的2倍，那麼，要求每人有多少糖就容易了。由此得到啟示：是否可以通過假設小玲與小紅的糖果一樣多及小明的糖果數是小紅的2倍來分析求解？　　結合圖可以想：假設小玲和小紅的糖果數一樣，以小紅為1個標準單位，那麼小玲的糖果要比實際少3個。同時假設小明的糖果是小紅的2倍，那麼小明的糖果數比實際多2+2×2=6（個）。　　

　　綜合算式：小紅的糖果數為：[73-3+（2+2×2）]÷4=76÷4=19（塊）。　　５.等差數列（一）　　學習等差數列基本問題，對首項、末項、項數、通項、公差等基本概念學習以及求相應量。通過講解高斯求和的故事，進一步教會學生要具有找規律、尋找解題規律的意識。通過舉例，讓學生對等差數列、首項、末項、項數、通項、公差等基本概念進行理解，然後掌握相應的計算公式。初步進行中項定理的學習以及等差數列綜合應用學習。

　　【例】建築工地有一批磚，碼成下圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，已知最下層2106塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？　　【解】如果我們把每層磚的塊數依次記下來，2，6，10，14，…容易知道，這是一個等差數列。　　方法1：　　

　　則

　　　　則中間一項為

　　這堆磚共有

（塊）　　方法2：　　　　則中間一項為

　　這堆磚共有

（塊）。　　６.行程問題（一）　　相遇問題主要講解行程問題中的相遇問題。行程問題是小學乃至中學階段都極為重要的知識點，雖然只有速度、時間、路程三個量，但是形式變化很多。其中最基本的問題形式是相遇問題以及追及問題。解決相遇問題的前提需要明確相遇過程，分析清楚行駛情況，進而通過關係式進行求解。通常需要用輔助線段圖進行求解。　　【例】甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時出發，相向而行，已知甲車到達B城需4小時，乙車到達A城需6小時，問：兩車出發後多長時間相遇？　　【解】題目中並未給出甲乙兩車的速度，因此需要先計算甲乙兩車的速度，然後方可求得相遇時間。　　甲車的速度是：240÷4=60（千米每小時）　　乙車的速度是：240÷6=40（千米每小時）　　相遇時間是：240÷（60+40）=2.4(小時)　　綜合算式為：240÷（240÷4+240÷6）=2.4（小時）　　７.行程問題（二）　　追及問題主要講解行程問題中的追及問題。追及問題是行程問題中另一類比較常見的典型問題。解決行程問題與解決相遇問題的方法相似，需要明確行駛過程，通過線段圖進行輔助求解。　　【例】幸福村小學有一條200米長的環形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6米，晶晶每秒鐘跑4米，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米，第2次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？　　【解】這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時同地起跑，方向一致。因此，當冬冬第一次追上晶晶時，他比晶晶多跑的路程恰是環形跑道的一個周長（200米）。知道冬冬和晶晶的速度，於是，根據追及問題的基本關係就可求出追及時間以及他們各自所走的路程。 　　（1）冬冬第一次追上晶晶所需要的時間：200÷（6-4）=100（秒） 　　冬冬第一次追上晶晶時他所跑的路程應為：6×100=600（米） 　　晶晶第一次被追上時所跑的路程：4×100=400（米） 　　（2）冬冬第二次追上晶晶時所跑的圈數：（600×2）÷200=6（圈） 　　晶晶第2次被追上時所跑的圈數：（400×2）÷200=4（圈）
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