有限元方法

　　求解微分方程，特別是橢圓型邊值問題的一種離散化方法，其基礎是變分原理和剖分逼近。有限元方法是傳統的里茨－加廖金方法的發展，並融會了差分法的優點，處理上統一，適應能力強，已廣泛應用於科學與工程中龐大複雜的計算問題。

　　作為有限元方法出發點的變分原理，是表達物理基本定律的一種普遍形式。其表述可概括如下：給出一個依賴物理狀態v的變數J(v)（v是函數,J(v)在數學上稱為泛函），同時給出J(v)的容許函數集V,即一切可能的物理狀態,則真實的狀態是V中使J(v)達到極小值的函數。剖分逼近是有限元離散化的手段，把問題的整體（即求解域）剖分為有限個基本塊，稱為「單元」，然後通過單元上的插值逼近，得到一個結構簡單的函數集，稱為「有限元空間」,它一般是容許函數集V的子集或有某種聯繫。有限元方法就是在這個有限元空間中尋找J(v)的極小解作為近似解。

　　典型問題　為具體說明有限元方法，討論二維有界域Ω上的橢圓型方程

, 　　　(1) 變係數 β表示介質不均勻。物理學中許多平衡態或定常態問題都可歸結為這個典型方程。與方程(1)相配的有如下三類邊界條件：

　　第一類：

；

　　第二類：

；

　　第三類：

。這裡的φ、g及α均為定義在邊界дΩ上的已知函數，

表示外法嚮導數，第二類邊界條件是第三類當 α=0時的特例。

　　為說明有限元方法能統一處理複雜的情況，假定討論的問題是混合邊值，並且介質有間斷,即дΩ分成Г0和Г1兩部分，分別有邊界條件

, 　　　(2)

,　　　(3)β（x,y)有間斷線，把Ω分為Ω-,Ω+兩部分，在間斷線上微分方程(1)無定義，而代之以接觸條件

, 　　　(4)

及

表示間斷線上分別指向Ω+及Ω-的法嚮導數。

　　變分原理　與微分方程(1)及附加條件(2)、(3)、(4)的邊值問題相對應的是物理學中的極小能量原理。構造「能量積分」

並取J(v)的容許函數集V為一切滿足邊界條件(2)且一階偏導數平方可積的函數,則使J(v)達到極小值的u,即

,　　　(6)也必滿足方程(1)及(2)、(3)、(4)。事實上，極小能量原理之類的變分原理是物理問題的原始形式，微分方程是數學推導的結果。在變分問題中,只有邊界條件(2)是強加到容許函數集上的,邊界條件(3)及間斷介質的接觸條件(4)都是極小解u自然滿足的，這種情況有利於離散化的統一處理。

　　剖分逼近　幾何剖分的基本單元可取為三角形、矩形、四邊形、曲邊形等等，其中三角形最基本常用。

　　假定問題的求解區域為多邊形，介質間斷線為折線，作三角剖分如圖

所示。在剖分中需注意介質間斷線與某些三角形的邊重合，不同類邊界條件的交點與某些三角形的頂點重合。單元的頂點稱為網格結點，在дΩ上稱邊界結點，在Ω內稱內結點。

　　幾何剖分之後考慮插值逼近。對三角形單元最簡單的是線性插值，即利用每個單元Δk三頂點的函數值確定線性函數αkx+bky+сk的三個係數。 把所有單元{Δk}確定的{αkx+bky+сk}合在一起,就得到Ω上的一個分片線性插值函數。Г0上的邊界結點取值為零的分片線性插值函數都屬於問題(5)、(6)的容許函數集V,全體這樣的函數構成一個有限維線性空間

，稱為有限元空間。假定內結點和Г1上的邊界結點共有N個，以pj(j=1,…,N)表示,則

的維數就是No 令φi表示

中滿足條件

　　　(7)的成員，則{φi}構成線性空間

的一組基。

中任意函數v，都可表為

, 　　　(8)Vj是結點pj上的函數值v(pj)。

　　單元上的插值方式除了用一次函數外，還可以用二次、三次或更高次的多項式，也可用非多項式函數。插值數據除了用函數值的拉格朗日型外，還可以是包括導數的埃爾米特型插值。種種的幾何剖分加上種種的插值方式,就產生眾多形式的有限元空間,使有限元方法可有眾多的選擇。

　　有限元的離散化　有限元離散化的出發點是與微分方程等價的變分問題。對於典型問題來說，就是從(5)、(6)出發,用剖分逼近的方法構造有限元空間

（也稱試探函數空間），然後求泛函J(v)在

中的極小解堚 作為近似解,即堚滿足

, 　　　(9)把(8)的表達公式

代入(5)中的J(v)，得

,　　　(10)式中

,　　　(11)

,　　　(12)把(9)的極小解表為

,則(U1,U2,…,UN)使二次函數(10)達到極小,由微分學知滿足線性方程組

。　　　(13)方程組(13)來自正定二次函數的極小解問題，故係數矩陣一定對稱正定。由於基函數φi只在以pi為頂點的單元上不為零，故係數αij=

只當結點pi與pj連成三角形一邊時才不為零。係數矩陣這種稀疏性質，加上對稱正定，對方程的求解很有利。

　　係數

以及自由項

的實際計算，通常按所謂單元分析與總體合成的方式進行。即逐個分析Ω內的單元和Г1上的單元邊對有關的 αiz及?i的貢獻，然後往上迭加。當Ω內所有單元及Г1上所有單元邊都分析之後，方程組(13)的係數矩陣及自由項也就合成出來。間斷介質的影響反映在單元分析中被積函數的β在Ω+及Ω-取不同的表達式。單元分析通常都採用某種數值積分公式計算。

　　從虛功原理出發的離散化　微分方程邊值問題 (1)、(2)、(3)、(4)的解u還同時滿足:對容許函數集V中任一函數v，成立

,　　　(14)這裡α(u，v)及F(v)即表達式(11)、(12)。在物理學中，方程（14）是另一變分原理的數學形式，稱為虛功原理或虛位移原理。有限元方法更一般的形式是從虛功方程(14)出發用剖分插值的方式構造一個試探函數空間

，並同時構造一個檢驗函數空間徰;在

中尋找近似解堚,使之對徰中的任一函數ψ，成立

,　　　(15)當選取徰與

相同時, (15)中的ψ可選為基函數φi，同時用

代入，就得到方程組(13)。

　　對於非自共軛橢圓運算元L,微分方程邊值問題Lu=?不存在等價的極小值問題，但這時仍可建立虛功方程(14)，其中α(u,v)=(Lu，v)F)=(?，v),(·,·)表示L2(Ω)的內積。因此，有限元方法仍然有效。

　　從極小能量原理出發進行離散化又常稱為里茨法，從虛功原理出發稱為加廖金法。後者是前者的推廣。

　　評價 傳統的里茨－加廖金方法,採取解析函數作為試探函數,不能滿足任意多邊形區域的邊界條件,也不適應間斷介質的要求，對現在的典型例子無能為力。差分方法雖然能夠對付,但由於它對方程(1)及條件(2)、(3)、(4)在處理上不統一,在計算效果及理論分析兩方面都帶來不利。有限元方法正好對這兩者揚長避短，一方面保持了里茨－加廖金方法從變分原理出發的優點,在提法上有極大的概括性，給離散化帶來統一處理的方便；另一方面又吸收了差分法剖分逼近的優點，能靈活適應各種幾何形狀和間斷介質等複雜情況。有限元方法除了解題效能高強外，還有牢靠的理論基礎，是計算數學理論一大成就。

　　回顧與展望　有限元方法在中國與西方從不同的實踐背景，沿著不同的學術道路、各自獨立平行地發展起來。在西方，有限元思想在R.庫朗1943年的一篇論文中明確地提出過，但一直沒有受到重視。20世紀50年代中期，歐美工程界J.H.阿吉里斯、R.W.克拉夫等以航空工程為背景，在結構分析和矩陣方法基礎上提出了結構有限元的雛形。60年代初期，引進連續體的單元剖分；60年代中期，逐漸明確有限元法是變分原理加剖分逼近的思想。1968年，西方數學家對有限元法進行數學的理論分析，開始了有限元法在計算數學中的黃金時代。

　　在中國，60年代初期，馮康、黃鴻慈等結合解決一系列大型水壩建設的應力分析問題，開展了橢圓型邊值問題數值解的系統研究，為克服問題傳統提法中的幾何複雜性和材料複雜性,把能量法與差分法結合在一起,於1964年建立了求解橢圓型邊值問題一套普遍有效的方法，命名為基於變分原理的差分方法，即通稱的有限元方法。與此同時,建立了方法的數學理論基礎。而後20年中,周天孝、唐立民對混合元擬協調元的發展，應隆安等對無限元的發展，馮康等對邊界有限元的發展，石鍾慈對非協調元的發展，林群對有限元外推理論的發展，都作了重要貢獻。

　　有限元方法對於定常態問題的計算已經獲得公認的巨大成功，對不定常態問題也有良好開展。有限元方法是一個發展著的體系，在前述的基本原則下可有種種變化和發展，特別是可和其他方法結合起來，進一步解決更困難更複雜的數學問題。

　　參考書目

　馮康、石鍾慈著：《彈性結構的數學理論》，科學出版社，北京，1981。

　G.斯特朗、G.J.菲克斯同著,崔俊芝、宮著銘譯:《有限元分析》，科學出版社，北京，1983。(G.Strang and G.J.Fix,An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1973.)

　P.G.Ciarlet,The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.

　O.C.Zienkiewicz,The Finite Element Method,3rded.,McGraw-Hill, London, 1977.