假期將至，如果無心上班，做道奧數題燒燒腦吧（18年4月28日）

來自專欄每天來道奧數題4 人贊了文章

家長是孩子最好的老師，

這是奧數君第482天給出奧數題講解。

今天的題目是關於分組問題，

所用知識不超過小學4年級。

題目（5星難度）：

將1-9這9個數分為三組，第一組有2兩個數，第二組有3個數，第三組有4個數。要使第一組的和大於第二組的和，第二組的和大於第三組的和，共有多少種不同的分組法？

答案：9組。

輔導辦法:

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘還不能解答，由家長進行講解。

講解思路：

這道題中分組的核心是各組數字和，

自然想到考慮各組數字和的取值。

假設第一組2個數的和是a,

第二組3個數的和是b,

第三組4個數的和是c。

然後分別進行討論。

步驟1：

先思考第一個問題，

a可能的取值是多少？

由於1到9的9個數的和是45，

因此a+b+c=45，

注意到a>b>c，而45/3=15。

因此a>15，

在1-9的9個數中，

2個數的和最大是9+8=17，

所以a只能是17或16。

步驟2：

再思考第二個問題，

當a=16時，c的值可能是多少？

由於a+b+c=45,

故此時b=29-c,

要滿足a>b,

有16>29-c,

即c>13;

要滿足b>c,

有29-c>c,

即c<14.5。

所以c=14,

此時b=29-14=15。

步驟3：

再思考第三個問題，

對a=16,b=15,c=14有多少種不同分組法？

要使a=16,

第一組中的兩個數只能是9和7。

要使c=14,

第三組中的四個數只能有4種情況：

1、2、3、8或1、2、5、6或1、3、4、6或2、3、4、5。

所以此時有4種不同分組法。

步驟4：

再思考第四個問題，

當a=17時，c的值可能是多少？

由於a+b+c=45,

故此時b=28-c,

要滿足a>b,

有17>28-c,

即c>11;

要滿足b>c,

有28-c>c,

即c<14。

所以c=12或13，

此時b=16或15。

步驟5：

再思考第五個問題，

對a=17,b=16,c=12有多少種不同分組法？

要使a=17,

第一組中的兩個數只能是9和8。

要使c=12,

第三組中的四個數只能有2種情況：

1、2、3、6或1、2、4、5。

所以此時有2種不同分組法。

步驟6：

再思考第六個問題，

對a=17,b=15,c=13有多少種不同分組法？

要使a=17,

第一組中的兩個數只能是9和8。

要使c=13,

第三組中的四個數只能有3種情況：

1、2、3、7或1、2、4、6或1、3、4、5。

所以此時有3種不同分組法。

步驟7：

綜合上述幾個問題，

將步驟3、5、6中的分組法相加就是答案，

所以不同分組法有4+2+3=9種。

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