北師大版數學總複習第九部分 四邊形(2) 菱形

撰稿 錦州市第八中學　 陳樹海　　審稿 楊景森　　錄入 尹航複習目標1.掌握菱形的有關概念、相關性質及判別方法.2.會用菱形的性質及判別條件解決有關問題，了解菱形的實際應用.3.提高學生綜合運用平行四邊形、菱形有關知識的能力及分析問題、解決問題的能力.4.在運用的過程中，培養學生自身的審美情感，體驗菱形的圖形美及在生活中的廣泛應用.知識要點(一)定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(二)性質1.邊：兩組對邊分別平行，四條邊相等.2.角：兩組對角分別相等.3.對角線：互相垂直且平分，每條對角線平分一組對角.4.對稱性：菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，對角線的交點是對稱中心，兩條對角線所在的直線是對稱軸.表達式：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC；AB=BC=CD=DA；∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC；OA=OC=

AC，OB=OD=

BD，AC⊥BD於O；AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.5.菱形的周長=4×邊長.S菱形=邊長×高=

×AC×BD.

(三)判定1.利用定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2.四條邊都相等的四邊形是菱形.AB=BC=CD=DA

四邊形ABCD是菱形.3.兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

典型例題例1 (一組變式題)

(1)已知：如圖，D、E、F分別為△ABC的邊AB、BC、CA中點，四邊形ADEF為菱形.求證：△ABC為等腰三角形.

(2)如圖，△ABC中，AB=AC，D、E、F分別為AB、BC、CA中點.求證：四邊形ADEF為菱形.

(3)如圖△ABC中，AE平分∠BAC，ED∥AC，EF∥AB.求證：四邊形ADEF為菱形.知識考查(1)三角形中位線性質，菱形的性質，等腰三角形的判定.(2)等腰三角形性質，三角形中位線性質，菱形的判定.(3)角平分線定義，菱形的判定.思路分析：(1)小題利用三角形中位線性質和菱形性質證.(2)小題先利用三角形中位線定理證是平行四邊形，再證是菱形.(3)小題先證四邊形ADEF是平行四邊形，再證是菱形.證明：

.

例2 已知：如圖，菱形ABCD的周長為52cm，AC=10cm，求BD長及S菱形ABCD.知識考查：菱形的性質、判定、勾股定理，菱形的周長及面積.思路分析：由已知菱形ABCD的周長52cm，可求邊長為13cm，再由勾股定理得BO=12，則BD=2BO=2×12=24(cm)，最後由

求面積.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=

×52=13，OA=OC=

AC=

×10=5，OB=OD=

BD，∴∠BOA=90°.∴

.∴BD=2×BO=2×12=24(cm).∴

.

例3 已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC於D，BE、AF分別平分∠ABC和∠DAC，BE交AD於M.試判斷四邊形AMFE的形狀，並說明理由.知識考查：角平分線的定義、性質，平行線的性質，菱形的判別.思路分析：欲證四邊形AMFE為菱形，可先證MN=NE，再證AN=NF，故得平行四邊形AMFE，再證四邊形AMFE是菱形.證明：四邊形AMFE為菱形.設AF與BE交於點N.∵BE、AF分別平分∠ABC和∠DAC，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AD⊥BC於D，∴∠ADB=90°.∴∠2+∠7=90°.又∠BAC=90°，∴∠1+∠6=90°.∴∠6=∠7.又∠5=∠7，∴∠5=∠6.∴AM=AE.∴AF⊥ME，MN=NE.∴∠BNA=∠BNF=90°.又BN=BN，∴△BNA≌△BNF.∴AN=NF.∴四邊形AMFE為平行四邊形.又AM=AE，∴平行四邊形AMFE為菱形.例4 （例3變式）若將題中的AF平分∠DAC去掉，加上條件EF⊥BC於F，則結論還成立嗎？為什麼？思路分析：先證AE=EF，再證AM=AE，將

，從而得平行四邊形AMFE，進而得菱形AMFE.證明：∵AD⊥BC於D，∴∠ADB=90°.∴∠2+∠7=90°.又∠BAC=90°，∴∠1+∠6=90°.又BE平分∠ABC，∴∠1=∠2.∴∠6=∠7.又∠7=∠5，∴∠5=∠6.∴AM=AE.又EF⊥BC於F，∴AE=EF.又AD⊥BC，EF⊥BC，∴

.∴四邊形AMFE為平行四邊形.又AM=AE，∴平行四邊形AMFE為菱形.能力訓練一、選擇題1.在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交於點O，則圖中有(　　)對全等的直角三角形A.3　　　　　　B.4　　　　　　C.5　　　　　　D.62.下列命題正確的是(　　)A.對角線互相平分的四邊形是菱形B.對角線互相平分且相等的四邊形是菱形C.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形3.菱形的周長為8cm，一條對角線長為2cm，則另一條對角線的長為(　　)A.4cm　　　　　B.

cm　　　　 C.2

cm　　　D.3cm

4.如圖，在菱形ABCD中，E是AB中點，作EF∥BC，交AC於F點，若EF=4，則CD的長為(　　)A.8　　　　　　B.6　　　　　　C.4　　　　　 D.25.菱形的周長是它的高的8倍，則菱形較小的一個角的度數為(　　)A.15°　　　　 B.30°　　　　 C.45°　　　　D.60°

6.如圖，菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交AC於F點，E為垂足，連接DF，則∠CDF等於(　　)A.80°　　　　 B.70°　　　　 C.65°　　　　D.50°二、填空題1.設菱形的兩條對角線長為4cm和5cm，則菱形的面積為____.2.菱形的一條對角線長與邊長相等，則菱形較小的內角為____度.3.菱形有____條對稱軸，各對稱軸的位置關係是____.4.順次連接菱形四條邊中點，所成的四邊形形狀是____.5.菱形的周長為32cm，一個內角是120°則菱形較短對角線長為____.6.若菱形的面積為50cm2，一個內角為30°，則其邊長為____.7.從菱形的鈍角頂點向對角兩邊作垂線，垂足恰好是該邊中點，則菱形的較小內角的度數為____.8.菱形的一條對角線是另一條對角線的2倍，且菱形的面積為4cm2，則此菱形的周長為____.三、解答題1.已知：如圖，平行四邊形ABCD，EF是AC的中垂線，交AD於E，交BC於F.求證：四邊形AFCE為菱形.

2.在菱形ABCD中，過D作對角線BD的垂線交BC的延長線於點E.求證：BE=2AB.

3.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，M、N分別在BC、CD上，且∠MAN=60°.試判斷△AMN的形狀，並說明理由.

參考答案一、選擇題1.D　　2.C　　3.C　　4.A　　5.B　　6.D二、填空題1.10cm2　　2.60°　　3.兩，互相垂直　　4.矩形　　5.8cm　　6.10cm　　7.60°8.

三、1.證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA.又EF是AC的中垂線，∴EA=EC，EF⊥AC於D，OA=OC.又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∴四邊形AFCE為平行四邊形.又EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形2.證明：在菱形ABCD中，AB=BC=CD，∴∠DBC=∠BDC.又BD⊥DE，∴∠BDC+∠CDE=90°，∠DBE+∠E=90°.∴∠E=∠CDE.∴CD=CE.又CD=BC，∴BE=2CD.又CD=AB，∴BE=2AB.3.△AMN為等邊三角形.連接AC.∵∠BAD=120°，且四邊形ABCD為菱形，∴∠BAC=∠CAD=60°.又∠MAN=60°，∴∠BAM+∠MAC=60°，∠NAC+∠MAC=60°.∴∠BAM=∠NAC.又∠B=60°，∴AB=BC=CA.又∠B=∠CAN=60°，∴△ABM≌△CAN.∴AM=AN.又∠MAN=60°，∴△AMN為等邊三角形.
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