幾何與哲學的三大危機

一. 數學三次危機

1.無理數

公元前580～568年,古希臘數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學於一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸於學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對於無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理髮現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是「荒謬」和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也衝擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。

2.無窮小

十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，從而引發了第二次數學危機。微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到2100年後，牛頓和萊布尼茲開創了微積分之後,無窮小才正式進入數學理論。

牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？

直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變數，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創立了極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。而我自己的理解是一個無窮小量，是不是零要看它是運動的還是靜止的，如果是靜止的，我們當然認為它可以看為零；如果是運動的，比如說1/n，我們說，但n個1/n相乘就為1，這就不是無窮小量了，當我們遇到等情況時，我們可以用洛比達法則反覆求導來考查極限，也可以用Taylor展式展開後，一階一階的比，我們總會在有限階比出大小。

3.羅素悖論

十九世紀下半葉，德國數學家康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。"一切數學成果可建立在集合論基礎上"這一發現使數學家們為之陶醉。

1903年，一個震驚數學界的消息傳出:集合論是有漏洞的!這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗雷格在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道:"一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。"

公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次數學危機。

4.總結

辨證法認為: 世界萬物都包含著矛盾,都是由各種矛盾組合而成,這些矛盾可以區分成為邏輯矛盾與辯證矛盾這兩大類別。所謂邏輯矛盾,是指人們在邏輯思維過程中，對同一個論斷既給予肯定又給予否定的自相矛盾現象；所謂辯證矛盾,是指在客觀現實中，事物自身所包含的對立面的統一關係。

對於這兩種不同的矛盾,前者是一種認識上的邏輯錯誤，應予排除；後者是認識對象所固有的，如自然界中吸引與排斥、正電與負電、化合與分解、遺傳與變異等矛盾,還有人類社會中生產力與生產關係、剝削階級與被剝削階級、戰爭與和平等, 應予正確地反映。

依據辨證法的觀點,本文就可以從哲學的角度出發,來對三次數學危機進行一個總結,其結果是: 第一次危機屬於辨證矛盾,第二次與第三次危機則屬於邏輯矛盾。這種哲學分析指出,三次數學危機的偉大意義,就是在為數學理順了辨證矛盾之同時,又為之避開了邏輯矛盾。

二. 幾何的三危機

數學曾經歷過三次危機,這是一個數學家們共認的事實。為了與數學的三次危機相對應,本文則為幾何學總結出一個觀點: 幾何學也曾經歷過三次危機,它們分別是古埃及幾何危機,第五公設危機,相容性、獨立性與完備性的危機。

1. 古埃及幾何危機

兩千多年前,由於尼羅河水泛濫，經常衝去地界,所以土地的測量就成為人們必需經進行的工作。在長期的測量工作過程中,古埃及人積累了各種幾何圖形的計算技術和規則,這種積累之多,簡直令人眼花繚亂。然而,古埃及人並不打算把這些眾多的技術和規則制訂成一個嚴密的邏輯體系。因為散亂無章,未能構成一個嚴密的邏輯體系,古埃及人的幾何就遭遇到一個挑戰,這個挑戰既是幾何學的第一次危機,也是自然科學的第一次危機。古埃及人只能發現原始的幾何命題,而無法對之進行證明,所以這次危機的表現在於,在於這些眾多的技術和規則進行證明。 打江山者坐江山,槍杆子裡面出政權,崇尚權力中國人,習慣於用權力來證明真理。信為功元道德母,宗教崇拜迷信,宗教經典的語言,就是對真理最權威的證明。而古希臘人則認為,人類文明中的每一個命題,都必須由其它命題來證明。為了解決古埃及幾何的危機,古希臘數學家歐幾里得構建了公理化方法。 歐幾里德將早期許多沒有聯繫和未予嚴謹證明的定理加以整理，寫下<幾何原本>一書，使幾何學變成為一座建立在邏輯推理基礎上的不朽豐碑。這部劃時代的著作共分13卷，465個命題。其中有八卷講述幾何學，包含了現在中學所學的平面幾何和立體幾何的內容。但《幾何原本》的意義卻絕不限於其內容的重要，或者其對定理出色的證明。真正重要的是歐幾里德在書中創造的一種被稱為公理化的方法。

在證明幾何命題時，每一個命題總是從再前一個命題推導出來的，而前一個命題又是從再前一個命題推導出來的。我們不能這樣無限地推導下去，應有一些命題作為起點。這些作為論證起點，具有自明性並被公認下來的命題稱為公理，如同學們所學的「兩點確定一條直線」等即是。同樣對於概念來講也有些不加定義的原始概念，如點、線等。在一個數學理論系統中，我們儘可能少地先取原始概念和不加證明的若干公理，以此為出發點，利用純邏輯推理的方法，把該系統建立成一個演繹系統，這樣的方法就是公理化方法。

歐幾里德採用的正是這種方法。他先擺出公理、公設、定義，然後有條不紊地由簡單到複雜地證明一系列命題。他以公理、公設、定義為要素，作為已知，先證明了第一個命題。然後又以此為基礎，來證明第二個命題，如此下去，證明了大量的命題。其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人嘆為觀止。零散的數學理論被他成功地編織為一個從基本假定到最複雜結論的系統。因而在數學發展史上，歐幾里德被認為是成功而系統地應用公理化方法的第一人，他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數學體系的典範。正是從這層意義上，歐幾里德的《幾何原本》對數學的發展起到了巨大而深遠的影響，在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。

2. 第五公設危機

公理是公理化方法的邏輯起點，這個邏輯起點是不可能予以證明的。既然公理是不可能予以證明的，那麼，它的正當性應當由誰來保證呢? 歐氏幾何有5個公理和5個公設。歐幾里得指出，這些公理與公設的正當性可以用「筒單」來保證。換言之，就是因為這些公理與公設的內容極為簡單，因為極為簡單，所以就必然正確。

歐氏幾何第5公設的內容是: 「若一直線與其他兩直線相交，以致該直線一側的兩內角和小於兩直角，則那兩直線延伸足夠長後必相交與該測。 」作為一個公理,這種表述太複雜了，所以第5公理是歐氏幾何的一個例外。中學幾何教科書第5公設的界定比較簡單，但是，它卻是由一位月光協會會員提出來的，而不是歐幾里得的原始表述。歐幾里得對第5公設的複雜性也產生懷疑，所以就盡量地避免在證明中使用之，在《幾何原本》一書中，直到第二十九個命題中才用到，而且以後再也沒有使用。《幾何原本》可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題，在這個事實的基礎上，一些數學家提出第五公設能不能不作為公設，而作為定理，或者是能不能依靠前四個公設來證明第五公設。這就是幾何發展史上最著名的，長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論。在這場曠日持久的討論過程中,18世紀義大利數學家薩開里的工作特別引人注目,他首先給出了第五公設的所謂反證法證明。薩開里從一個四邊形出發，假定其中兩個角為直角並對其餘兩個角提出了三種可能情況：(1)兩角均為直角；（2）兩角均為銳角、(3)兩角均為鈍角，試圖通過否定後兩種可能性來證明第五公設成立。

運用正確的邏輯推理，薩開里很快從鈍角假設導出了矛盾，從而鈍角假設被否定了。然而當將同樣的方法用於銳角假設時，他卻推出了一連串「離奇古怪」的命題。例如:「存在相互漸近的兩條直線，它們在無窮遠處有一公垂線」和「對於同一直線存在著不相交的垂線和斜線」等等，類似的古怪命題有30多個。這些命題雖然希奇古性，但它們之間並不存在矛盾。由於這種相容性，它們實際上己經構成了一種非歐幾何。薩開里沒有找到真正的邏輯矛盾，但他卻以「不合情理」為由否定了這些命題，並且認為由此排除了銳角假設。薩開里以為排除了上述銳角假設的結果，是用反證方法證明了歐氏第5公設。其實，排除了上述銳角假設的真正後果，卻是與非歐幾何失之交臂。在談到薩開里的工作時幾乎所有人都為他惋惜。他已經闖進了新幾何學的大門，但他卻對之視而不見，在薩開里那裡直觀的合理性和邏輯上的必然性混為一談了。歐氏幾何將近兩千年得到如此巨大的成就，自然而然地造成了一種極大的思維慣性。薩開里的失誤說明，思維慣性的力量十分強大，一般人是難以超越的。在薩開里的基礎之上，羅巴切夫斯基與黎曼等人開創了非歐幾何。非歐幾何的成功說明，只要有克服思維慣性的能力，才能在學術的道路上開創新的天地。哥侖布發現了新大陸,而自己卻不知道,還以為是到了印度。與此相對應,深入到了非歐幾何領域,發現了一系列的定理之後，薩開里還不知道己經發現非歐幾何，也就是幾何中的新大陸，還以為是用反證法證明了歐氏第5公設。歷史總是驚人地相似，理解了公理的價值定律之後，我們就能避開這種相似誤區。薩開里的工作沒有成為非歐幾何，開創非歐幾何的事業是由後來的數學家完成，這是一個沉重的歷史教訓。我們應當為薩開里感到惋惜，但更加應當接受他的教訓。在接受薩開里教訓的基礎之上，本文把非歐幾何的思想推廣到哲學，從而推導出一個哲學規律，這個規律就是哲學公理的價值定律:一個公理體系的價值, 在於能以它為依據，從而推導出許多不相矛盾的定理。這些不相矛盾的定理越多，就證明這公理體系的價值越高。反之，如果不能以它為依據，從而推導出不相矛盾的定理, 這個公理體系的價值就只能是零。3. 相容性、獨立性與完備性的危機由於歷史條件的限制，上述處理公理的方式，還存在許多不足之處。希爾伯特是德國數學家，在認識到這些缺陷的基礎之上，他以嚴格的公理化方法重新闡述了歐幾里德幾何，為二十世紀數學的公理化開闢了新道路，從而構成了數學史上的又一個里程碑。為了完善歐幾里德幾何的缺陷，就在於希爾伯特認為，幾何公理必須具備相容性、獨立性與完備性。所謂相容性，就是公理之間不能自相矛盾，因為出現自相矛盾，就意味著公理化體系的崩潰，所以相容性就是幾何公理必須具備的第一要素。所謂公理的獨立性，就是為了保證在滿足需要的情況下，公理的數量應當盡量地少。所謂公理的完備性，就是以公理為依據，可以推導出需要的全部定理，而不能有遺漏與缺失。希爾伯特對公理的這種要求，可以稱之為「公理三原則」。希爾伯特幾何以前，人們也意識到「公理三原則」的重要性。例如，要求公理必須簡單，就在某種程度上體現了歐幾里德幾何的獨立性；要求公理必須能推導出一個定理體系，就在某種程度上體現了非歐幾何的完備性。 希爾伯特幾何以前，數學家為什麼不提出「公理三原則」呢?其原因就在於，因為公理是幾何的邏輯開端，所以在幾何學體系之內，「公理三原則」就無法證明之。希爾伯特公理體系的邏輯嚴密，秩序井然，為之付出的代價，則是必須對公理的真實性予以證明。因為幾何學體系之內無法證明之， 就只能寄希望於幾何學體系之外。 希爾伯特幾何證明「公理三原則」的方法，就在於為幾何公理構建算術模型，從而把幾何公理的證明轉化成為算術公理的證明。例如，希爾伯特在構建了算術模型之後，幾何公理的相容性的證明，就轉換成為算術的相容性問題。無法直奔主題，就必須曲線救國。作為邏輯的開端，公理無法直接證明，處理公理的唯一方法，就只能是間接地證明之。為了間接地證明之，古今數學家薪火相傳、前仆後繼。為了間接地證明之，歐幾里得幾何的方案是公理必須簡單，非歐幾何的方案方案是公理必須有價值。為了間接地證明之，希爾伯特幾何的方案，則策劃於幾何學之外，寄希望於算術公理體系之中。希爾伯特幾何的這種思想，不但園滿地完成了公理的間接證明，在幾何歷史上構建了一座豐碑，而且能為構建哲學新體系帶來巨大的啟示。

三. 哲學的三大危機

公理系統如果不能推導出兩個互相矛盾的命題（即互為反命題的命題），這個公理系統就稱為相容的或無矛盾的，也稱和諧的。一個公理體系如果有矛盾，它在邏輯上就不正確，更談不上在現實中的應用，這種公理體系就不能成為一種理論，因此要求任何公理體系必須是相容的。

公理體系的獨立性是指該公理體系中的每條公理都有其存在的必要，即每條公理都不是其餘公理的推論。否則，將此條公理去掉，不會影響該公理體系的結論。所以獨立性的問題就是在保留同樣多的推論的前提下，公理體系中公理個數最少問題。證明某一條公理獨立性問題，即構造一個模型滿足其他所有公理而不滿足該條公理。

公理體系的完備性就是該體系中有足夠個數的公理，以之為依據可推導出該體系的全部結論。例如，歐幾里得在《幾何原本》中所列公理，作為歐氏幾何公理體系是不夠的，而希爾伯特公理體系則是完備的公理體系,即它所刻畫的幾何空間是唯一的。 對任何一個公理體系要求它必須是相容的，最好是獨立的，至於完備性則可根據需要而定。例如，歐幾里得幾何體系是相容的、獨立的並且是完備的，所以歐幾里得幾何有豐富的內容，它刻畫了歐幾里得空間，而絕對幾何體系是不完備的，但它卻既適合歐幾里得幾何也適合羅巴切夫斯基幾何（非歐幾何）。 與幾何一樣,哲學也一直存在著相容的、獨立性與完備性的三大危機。從歐幾里得到希爾伯特,幾何學戰勝了三次危機,成功地構建一個具有相容的、獨立性與完備性的演繹體系。與幾何截然不同,在這三大危機面前,哲學卻一直是無所作為。無所作為的結果,是哲學已形成三大弊端: 第一個弊端是哲學內部矛盾重重,漏洞百出。第二個弊端是哲學著作又臭又長,言之無物。第三個弊端是哲學內容殘缺,因果關係不全面。
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