淺述流體從歐拉到拉格朗日體系的區別與統一

07-12

來自專欄粒子法CFD

首先引用一段維基百科對流體歐拉體系和拉格朗日體系的描述

In classical field theory the Lagrangian specification of the field is a way of looking at fluid motion where the observer follows an individual fluid parcel as it moves through space and time. Plotting the position of an individual parcel through time gives the pathline of the parcel. This can be visualized as sitting in a boat and drifting down a river.
The Eulerian specification of the flow field is a way of looking at fluid motion that focuses on specific locations in the space through which the fluid flows as time passes. This can be visualized by sitting on the bank of a river and watching the water pass the fixed location.

拉格朗日體系是指這樣一種觀察流場的方式，就是觀察者跟隨著流體單元在時間和空間中運動。可以勾畫出流體單元的空間位置隨時間變化的軌跡。可以想像你是坐在船上，而船隨著河水漂流。

歐拉體系觀察流體的方式則是將注意力集中到流體隨時間流過的固定的空間位置上。可以想像為你坐在河邊的長凳上，笑看大江東去。

圖中小黃鴨們攜帶著大家關心的物理量如壓力P，溫度T和速度U等從橋下游過。而穩重的「小喬」（小橋）則將這些物理量標記在自己的木板上。拉格朗日是將流體方程需要求解的物理量綁定到運動的小黃鴨身上，而歐拉方法是將物理量標記在固定不變的空間位置上。

現在大家應該對這兩種流體的描述應該已經有了一個輪廓的概念。那麼這兩種描述是否是統一的呢？接下來我們從描述流體單元運動的牛頓第二定律出發

$vec{F}=mvec{a}=mfrac{Dvec{u}}{Dt}$

在歐拉體系下，這裡的物理量 $vec{u}(x,y,z,t)$ 是空間位置(x,y,z)和時間t的函數，那麼我們可以將這裡的全導寫成偏導的格式

$frac{Dvec{u}}{Dt}=frac{partialvec{u}}{partial t}+frac{partialvec{u}}{partial x}frac{partial x}{partial t}+frac{partialvec{u}}{partial y}frac{partial y}{partial t}+frac{partialvec{u}}{partial z}frac{partial z}{partial t}=frac{partialvec{u}}{partial t}+(vec{u}cdot abla)vec{u}$

全導轉化成偏導後，就出現了大家非常眼熟的對流項。接下來我們對比一下歐拉體系和拉格朗日體系下的動量方程：

歐拉體系： $frac{partialvec{u}}{partial t} + (vec{u}cdot abla)vec{u}=-frac{1}{ ho} abla p + u abla^2vec{u} +frac{1}{ ho}vec{f}$

拉格朗日體系： $frac{Dvec{u}}{Dt}=-frac{1}{ ho} abla p + u abla^2vec{u} +frac{1}{ ho}vec{f}$

大家可以看出，這兩個動量方程的差別只是左側的對流項。所以歐拉與拉格朗日是本質統一的。 $frac{partial vec{u}}{partial t}$ 就是指空間位置固定的某一點，速度隨時間的變化，也可以寫成 $frac{partial vec{u}}{partial t} |_{(x,y,z)}$ 。對於溫度等其它物理量的控制方程，與動量方程相似。

在實際編程的時候，由於歐拉體系將物理量存儲在固定的空間位置上，那麼就需要一套對空間劃分的網格系統，使用有限體積法還要對動量方程進行積分，然後再進行離散。當小編第一次自己動手離散動量方程時，對歐拉體系下的對流項不知所措，對流項有兩個速度u，如何破？兩位高人師兄一語道破天機「第一個u當作已知量即可」。不信的話，你也動手試試離散格式？