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分享一個看起來很美麗但好像沒什麼用的結論

07-12

分享一個看起來很美麗但好像沒什麼用的結論

來自專欄發芽De數學筆記

【結論】設 $F_1,F_2$ 是橢圓 $C_1$ 與雙曲線 $C_2$ 的公共焦點，點 $A$ 是 $C_1,C_2$ 的公共點，設 $C_1,C_2$ 的離心率分別是 $e_1,e_2$ ， $∠F_1AF_2=2 heta$ . 則有 $e_2^2{ m sin^2} heta+e_1^2{ m cos^2} heta=e_1^2e_2^2$ .

【證明1】運用曲線定義，記 $|AF_1|=m,|AF_2|=n$ ，設橢圓的長半軸長為 $a_1$ ，雙曲線的實半軸長為 $a_2$ ，兩曲線的半焦距為 $c$ ，則有

$m+n=2a_1$ ………………………………①

$|m-n|=2a_2$ ……………………………②

$4c^2=m^2+n^2-2mncdot{ m cos}2 heta$ ………③

由①②解得 $m^2+n^2、mn$ ，代入③式即證。

【證明2】運用面積公式，設橢圓的短半軸長為 $b_1$ ，雙曲線的虛半軸長為 $b_2$ ，

$S_{△AF_1F_2}=b_1^2cdot{ m tan} heta$ $S_{△AF_1F_2}=b_2^2cdot{ m cot} heta$ ,

所以 $(a_1^2-c^2)tan^2 heta=(c^2-a_2^2)$ ，整理即證。

參考資料：

《數學通訊》2013年5、6期上半月，共焦點橢圓與雙曲線離心率的一個完美結論，沈良

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