【代數初步02】考試不考的線性代數

07-12

【代數初步02】考試不考的線性代數

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上一篇：【代數初步01】群和等距同構

關於群論暫告一段落。我們現複習本科一年級的線性代數（或高等代數），熟悉的概念首先是有限維的實線性空間 $mathbb R^N$ ，以及空間之間的線性映射 $T:mathbb R^M ightarrow mathbb R^N$ 。由於 $mathbb R^N$ 可以由一組基張成，那麼線性映射就可以用矩陣來表示，從而可以用矩陣的各種性質來描述線性映射的性質，再者可以對線性變換（矩陣）做變換 $X ightarrow T_1XT_2$ 來儘可能地做「對角化」，常見的變換有奇異值分解（對稱矩陣則是譜分解）、Gram-Schimidt正規化、Jordan標準型等。線性代數中還會涉及一些矩陣論的基礎及應用，如解線性方程組等。

以上討論的線性空間一般都是歐氏空間，我們希望通過定義其上的「內積」來推廣成一般的帶「內積」的線性空間，再者聯繫幾何中張量積（tensor product）與外代數（exterior algebra）的概念，研究線性空間上的張量積和外代數。本文的內容與【CFT01】度規初步有重合，但相對更注重數學上的嚴格推導。本文主要參考了M. Artin的代數教材[1]和藍以中的高代教材[2]，如無特別說明，文中涉及到的線性空間均為有限維。

對於線性空間，我們希望定義其上兩點之間的距離 $d(x,y)$ ，或者是等價地其上的一個範數 $|x|$ 。為此我們需要定義兩點之間的「關係」 $langle x,y angle$ ，使得模滿足 $|x|^2=langle x,x angle$ ，這就是雙線性型（bilinear form）：

【雙線性型】 $V$ 是域 $mathbb K$ （注一）上的線性空間，定義雙線性函數 $langlecdot ,cdot angle: V imes V ightarrowmathbb K$ 滿足

$langle kv_1+v_2,w angle=klangle v_1,w angle+langle v_2,w angle$ 和 $langle v,kw_1+w_2 angle=klangle v,w_1 angle+langle v,w_2 angle$ 。

若 $V$ 是有限維的， ${e_i}$ 是 $V$ 上的一組基，設 $x=sum x_ie_i, y=sum y_je_j$ 則 $langle x,y angle=sum_{i,j}x_ilangle e_i,e_j angle y_j$ ，即雙線性型由基處的函數值唯一確定，我們可以令 $a_{ij}=langle e_i,e_j angle$ 則 $langle x,y angle=sum_{i,j}x_ia_{ij}y_j$ ，寫成矩陣的形式即 $x^ op Ay$ 。反之，對於兩個矩陣 $A e B$ ，若它們在不同的基下表示同一雙線性型，則由於 $x^ op Ay=(Tar{x})^ op A(Tar{y})=ar{x}^ op (T^ op AT)ar{y}=ar{x}^ op Bar{y}$ ，得知它們是合同的（congruent）即

【合同矩陣】存在 $T$ 使得 $A, B$ 滿足 $A=T^ op BT$ 則稱 $A, B$ 是合同的。

易知合同關係是一個等價關係，那麼所有 $V$ 上的雙線性型組成的集合可以看作是由 $mathrm{Mat}_n(mathbb K)$ 模掉合同關係形成的商集。自然地我們希望選取一個等價類裡面的矩陣來「代表」其合同等價類，即找一組基使得雙線性型在該基下的矩陣具有最簡形式。

在此之前為了便於分析，我們先把雙線性型推廣到有限維複線性空間後限制為赫米特型（Hermitian form，或在實向量空間上是二次型quadratic form）。雙線性型推廣為 $langle x,y angle=x^dagger A y$ ，實際上對於復向量空間 $mathbb C^n$ 考慮其對應了 $mathbb R^{2n}$ ，則為了讓一個向量 $x$ 的模為實數 $langle x,x angle =sumar{x}_ix_i= ext{Re}(x_i)^2+ ext{Im}(x_i)^2$ ，需要對其中一個輸入做共軛。相應地線性寫成 $langle kv_1+v_2,w angle=ar{k}langle v_1,w angle+langle v_2,w angle$ 和 $langle v,kw_1+w_2 angle=klangle v,w_1 angle+langle v,w_2 angle$ 。對於赫米特型我們要求雙線性型具有對稱性（Hermitian symmetry）即 $langle v,w angle=overline{langle w,v angle}$ ，即對應的矩陣為赫米特矩陣，滿足 $A^dagger=A$ ，在實向量空間上這限制為實對稱矩陣。由於赫米特矩陣可以被對角化，我們可以選擇一組基使得該赫米特型能寫成其標準形式 $langle x,y angle=sum_{i}x_id_{ii}y_i$ ，其中矩陣 $D$ 由譜分解得出 $A=Q^dagger DQ$ ， $Q$ 是酉矩陣（即 $Q^dagger =Q^{-1}$ ）。這裡我們有赫米特型的符號（signature）的定義：

【符號】對於實向量空間，二次型對應的矩陣分別具有 $(p,q,r)$ 個正的、負的、和為零的對角元素，則稱 $(p,q,r)$ 為其符號。若考慮非退化的（non-degenerate）二次型（即 $r=0$ ），則符號為 $(p,q)$ 。注意到 $N=p+q+r$ ，這裡 $N$ 是維數。

根據Sylvesters law，符號不取決於基的選擇——此結論是顯然的，因為譜分解唯一。進一步通過做變換 $x_i ightarrow sqrt{|lambda_i|}x_i$ 我們可以將（實）二次型型寫成 $u_1^2+cdots+u_p^2-v_1^2-cdots-v_q^2$ 的形式，對應的矩陣為 $mathrm{diag}(1,cdots ,1,-1,cdots,-1,0cdots,0)$ ，而對於赫米特型 $lambda_i$ 可以被開平方，即 $u_1+cdots+u_{p+q}^2$ 對應矩陣 $mathrm{diag}(1,cdots,1,0,cdots,0)$ ，這些被稱為二次型（或赫米特型）的規範形（canonical form），其由符號唯一決定。另外這裡還有一些小定義比如正定性（positive definite），指矩陣的特徵值全部為正（即 $p= ext{rank} (A)=N$ ），類似地還有負定性、半正定、半負定、非退化性（即 $r=0$ ）等等。

有了雙線性型我們就可以將其附屬在線性空間上，來定義其上的模 $|x|^2={langle x,x angle}$ 。下面是幾個常見的空間：

對實線性空間和正定的二次型（對應的矩陣對稱、特徵值皆正），我們有熟悉的歐氏空間（Euclidean space），其上的內積即該雙線性型，保持內積不變的線性映射（即 $langle Ax,Ay angle=langle x,y angle$ ）叫正交線性映射，可以由正交矩陣表示，它們組成了正交群（orthogonal group） $mathrm O_N={Xinmathrm{Mat}_N(mathbb R):X^ op X=1}$ ，運算為矩陣的乘法（映射的複合）。
自然地我們希望將上述討論推廣到複線性空間上，這裡需要非退化的赫米特型來定義內積。同樣地酉空間（unitary space） $mathbb C^N$ 上保持內積的線性變換，稱酉變換（unitary transformation），可以由酉矩陣表示，它們組成了酉群（unitary group） $mathrm U_N={Xinmathrm{Mat}_N(mathbb C): U^dagger U=1}$ 。
我們繼續考慮實線性空間，另一種推廣是考慮非正定、非退化的雙線性型。對線性型 $langlecdot ,cdot angle$ 有符號 $(p,q)$ ，我們說線性空間 $mathbb R^N$ 為偽歐幾里得空間（pseudo-Euclidean space），並表示為 $mathbb R^{p,q}$ 。那麼其上的保持雙線性型的線性變換稱洛倫茲變換（Lorentz transformation），它們組成了洛倫茲群（Lorentz group），記作 $mathrm{O}_{p,q}$ 。另外 $mathbb R^{p,q}$ 上的等距同構組成龐加萊群（Poincare group），洛倫茲群是它的一個子群。考慮二維的洛倫茲群 $mathrm{O}_{1,1}$ ，雙線性型對應的矩陣為 $G=mathrm{diag}(1,-1)$ ，洛倫茲變換滿足 $A^ op GA=G$ ，參數化後即可表示成 $egin{bmatrix}cosh x&sinh x\sinh x&cosh xend{bmatrix}$ ，一般稱此矩陣為度量矩陣（metric tensor）。另外，正交矩陣中列向量具有正交性，類似地對洛倫茲矩陣的列向量 $q_i$ 和 $q_j$ 有 $langle q_i,q_j angle=delta_{ij}(chi_{i=jle p}-chi_{i=j>p})$ ，其中 $chi$ 是示性函數。
我們還可以定義反對稱（anti-symmetric）的雙線性函數 $langle x,y angle=-langle x,y angle$ ，其對應的矩陣也是反對稱的。注意到當 $det A=det A^{ op}=det (-A)=(-1)^ndet A$ ，故奇數維的反對稱雙線性函數總是退化的。考慮 $2M$ 維的複線性空間 $mathbb C^{2M}$ 和一個非退化的反對稱雙線性函數，這樣的空間叫辛空間（symplectic space）。可以用歸納法證明辛空間存在一組基使得度量矩陣能表示成 $mathrm{diag}(A,cdots, A)$ 的形式，其中 $A=egin{bmatrix}0&1\-1&0end{bmatrix}$ ，這組基被稱為第一類辛基；重排這組基可以使辛矩陣變成 $egin{bmatrix}0&1_{M}\-1_M&0end{bmatrix}$ 的形式，這時基稱為第二類辛基。類似地，保持內積的線性變換叫辛變換，對應了辛矩陣滿足 $M^dagger G M=G$ ，組成辛群 $mathrm{SP}_{2M}$ 。注意到辛矩陣的行列式必然為1，故此字母S的使用不會引起歧義。

證明辛矩陣的行列式為1：易求得 $G$ 行列式為1（交換行即可），我們對 $M^dagger GM=G$ 兩邊求行列式，則 $M$ 的行列式為 $pm 1$ 。再對上式兩邊取Pfaffian，由Pfaffian性質可知 $mathrm{Pf}(G)=mathrm{Pf} (M^dagger GM)=det(M)mathrm{Pf}(G)$ 且 $mathrm{Pf}(G)=sqrt{det G} e 0$ 得知 $det M$ 一定為 $+1$ 。

以上是關於有內積的線性空間的定義。狹義的內積是指非退化、正定的雙線性函數，即對應歐氏空間 $mathbb R^N$ 和酉空間 $mathbb C^N$ ，它們同構於所有有限維的希爾伯特空間，對應的度量矩陣總可以被化簡為單位陣。在黎曼流形上對於一個小鄰域，其切空間同胚於洛倫茲空間 $mathbb R^{p,q}$ ，此時內積是切空間上定義的度規張量。

關於線性空間，一個在分析、幾何、代數上都占重要地位的概念是對偶空間（dual space）:

【對偶空間】 $V$ 是域 $mathbb K$ 上的線性空間，考慮線性函數 $f:V ightarrowmathbb K$ ，即滿足 $f(kx+y)=kf(x)+f(y)$ ，全體這樣的線性函數構成一個線性空間稱 $V$ 的對偶空間，記作 $V^*$ 。這裡加法定義為 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ，數乘定義為 $(kf)(x)=kf(x)$ 。

考慮有限維的線性空間 $V$ 有一組基 ${e_i}$ ，易知線性函數由其在基上的取值唯一決定，即 $f(x)=f(sum x_ie_i)=sum x_if(e_i)$ ，我們定義 $V^*$ 上的一族元素 ${f_i}$ 滿足 $f_i(e_j)=delta_{ij}$ ，我們發現首先它們是線性無關的：假設它們線性相關即 $forall a, exists k_i ext{ s.t. }sum k_if_i(a)=0$ ，那麼令 $a=e_j$ ，則 $k_jf_j(e_j)=k_j=0$ 矛盾得證，故 $dim V^*ge n$ ；再證明任一線性函數都能用其線性表示：對於任一線性函數 $g(x)=g(sum x_ie_i)=sum x_ig(e_i)=sum f_i(x)g(e_i)$ ，故 $g=sum g(e_i)f_i$ 得證。由此 $dim V=dim V^*$ ，故有限維線性空間與其對偶空間同構，此同構依賴基 ${e_i}$ 的選擇。

再者，如果我們對對偶空間再做對偶得到 $V^{**}$ ，我們定義一族 $V^{**}$ 上的元素 ${Phi_i}$ 滿足 $Phi_i(f_j)=delta_{ij}$ （線性泛函由基上取值唯一決定），則類似地 ${Phi_i}$ 是一組 $V^{**}$ 上的基。我們稱 $sigma({e_i})=Phi_i$ 為 $V$ 到 $V^{**}$ 上的典範同構（canonical homomorphism），這個同構不依賴一開始的基 ${e^i}$ 的選擇。

上述命題的證明：對線性空間 $V$ 及其對偶 $V^{*}$ 和雙重對偶 $V^{**}$ ，按上述aXX有基 ${e_i},{f_i},{Phi_i}$ ；另有基 ${e_i},{f_i},{Phi_i}$ ，這兩類基可以互相表示 $e_i=sum a_{im}e_m, f_i=sum b_{im}f_m, Phi_i=sum c_{im}Phi_m$ 。現在對於它們的「正交性」，有 $delta_{ij}=f_i(e_j)=sum_{m,n}a_{jm}b_{in}f_n(e_m)=sum_{m}a_{jm}b_{im}$ ，同理對於 $f_i$ 和 $Phi_j$ 有 $sum_{m}c_{jm}b_{im}=delta_{ij}$ 。觀察到由 $a_{ij},b_{ij},c_{ij}$ 組成的三個矩陣 $A,B,C$ 滿足 $AB=CB=1$ ，故有 $A=C$ 。那麼對於任意 $V$ 上的元素 $x=sum x_ie_i=sum_{i,m} x_ia_{im}e_m$ ，則 $sigma(x)=sum x_iPhi_i=sum_{i,m}x_ia_{im}Phi_m=sigma(x)$ 。

進一步，我們發現 $V^*$ 上的元素和雙線性型存在對應關係。若 ${e_i}, {f_i}$ 為 $V, V^*$ 上的基， $V$ 上有雙線性型對應矩陣 $(g_{ij})$ ，其逆矩陣記為 $(g_{ik}^{-1})$ ，則由於 $sum_{k}g^{-1}_{ik}langle e_k,e_j angle=sum_k g^{-1}_{ik}g_{kj}=delta_{ij}=f_{i}(e_j)$ ，我們便說 $f_i=sum_k g^{-1}_{ik}langle e_k,cdot angle$ 。現在考慮和 $x=sum x_ie_iin V$ 對應的線性泛函 $langle x, cdot anglein V^*$ ，有 $langle x,cdot angle=sum x_ilangle e_i,cdot angle=sum x_ig_{ik}g_{ik}^{-1}langle e_i,cdot angle=sum_kleft(sum_i g_{ik}x_i ight)f_k$ ，也就是說它的係數是 $sum g_{ik}x_i$ 。在愛因斯坦求和約定中，我們記 $x_i$ 為 $x^{i}$ ，記 $g_{ij}^{-1}$ 為 $g^{ij}$ ，記 $langle x,cdot angle$ 在 ${f_i}$ 下的係數為 $x_i$ ，並省略求和記號，則上式寫成 $x_i=g^{ij}x_j$ 。現在不妨將 $f_i$ 記為 $mathbf e^i$ ，則在對偶空間上自然地定義了一個雙線性函數： $langle mathbf e^i,mathbf e^j angle=g^{ialpha}g^{jeta}langle mathbf e_alpha,mathbf e_eta angle= g^{ialpha}g^{jeta}g_{alphaeta}=g^{jeta}delta_{,eta}^i=g^{ji}$ ，故此重複上述討論我們可以寫出坐標的逆變換 $x^i=g^{ij}x_j$ ，其中 $x^i$ 是 $V^{**}$ 中元素的坐標（典範同構於 $V$ 中有相同坐標的元素）。一般我們稱呼 $V$ 中的元素為向量（vector）、坐標為反變（contravariant）坐標，標號在上；而稱呼 $V^*$ 中的元素為余向量（covector）、坐標為共變（covariant）坐標，標號在下。

【愛因斯坦求和約定】
在 $V$ 中有向量 $x^imathbf e_i$ ，雙線性型 $langle mathbf e_i,mathbf e_j angle=g_{ij}$ ；
在 $V^*$ 中有餘向量 $y_imathbf e^i$ ，雙線性型 $langle mathbf e^i,mathbf e^j angle=g^{ji}$ ；
向量和余向量之間有坐標變換 $x^imathbf e_i=langle x_imathbf e^i,cdot angle$ 或等價地 $langle x^imathbf e_i,cdot angle=x_imathbf e^i$ ，滿足 $x_i=g_{ij}x^j$ 或等價地 $x^i=g^{ij}x_j$ ；
兩組基之間有關係 $langlemathbf e^i,mathbf e_j angle=mathbf e^i(mathbf e_j)=delta^i_{,j}$ ，故若 $g_{ij}=delta_{ij}$ （黎曼度量），則 $V$ 上的基和其對偶基可被視為相同；
度量矩陣和其逆滿足關係 $g_{ij}g^{jk}=delta_i^{,k}$ 。

注意到愛因斯坦求和約定中，省略掉求和符號的前提是我們涉及的所有函數都是線性的，即 $sum f=fleft(sum ight)$ ，否則不能交換求和與函數的順序。

在多重線性代數（Multilinear algrbra）中，我們考慮雙線性型的推廣——多重線性映射（multilinear map）：

【多重線性映射】 $T:V^* imescdots imes V^* imes V imescdots imes V ightarrow mathbb W$ 滿足在每個元素上都有線性。這裡 $imes$ 是笛卡爾直積，一共有 $m$ 個 $V^*$ 和 $n$ 個 $V$ 。當 $W$ 為 $mathbb K$ 時稱為多重線性函數（multilinear function，或者稱多重線性泛函，multilinear functional）。

這裡讓 $V^*$ 中的元素也是自變數是因為我們希望將對偶空間和原空間聯繫起來，而不加入更多重的對偶是因為我們將 $V^{**}$ 視為原空間（由典範同構）。考慮有限維的 $V$ 上有一組基 $mathbf{e}={mathbf e_i}$ ，誘導出 $V^{*}$ 上的對偶基 ${mathbf e^i}$ ，我們記 $T$ 在基下的取值為 $T^{i_1,cdots i_m}_{j_1,cdots,j_n}[mathbf e]=T(mathbf e^{i_1},cdots,mathbf e^{i_m},mathbf e_{j_1},cdots,mathbf e_{j_n})$ ，這唯一決定了該多重線性函數，此時 $T$ 又稱 $(m,n)$ 形的張量（tensor）。現在注意到余向量是 $(1,0)$ 型的張量（由於是線性泛函）；而向量看成 $V^{**}$ 上的元素則是 $(1,0)$ 型的張量（ $V^{**}$ 上的線性泛函）；雙線性型是 $(0,2)$ 型的張量，可以表示為矩陣 $G=(g_{ij})$ 其中 $g_{ij}=g_{ij}[mathbf e]=langle mathbf e_i,mathbf e_j angle$ ，故張量是向量、矩陣的高維推廣。

我們希望將張量放在一個空間裡面考慮，該空間稱張量積空間（tensor product space），故第一步是先構造該空間，考慮簡單的由兩個線性空間構成的張量積（tensor product）：

【張量積】 $U$ 和 $V$ 是域 $mathbb K$ 上的線性空間， $W$ 也是域 $mathbb K$ 上的線性空間，若存在雙線性映射 $otimes:U imes V ightarrow W$ ，使得對於任意雙線性映射 $f:U imes V ightarrow P$ ，其中 $P$ 是任取得域 $mathbb K$ 上的線性空間，都存在唯一線性映射 $au:W ightarrow P$ ，滿足 $f= aucircotimes$ ，則稱 $W$ （與 $otimes$ ）是 $U,V$ 的一個張量積。

由定義可知張量積空間保持線性泛函不變，下面我們來證明張量積空間在同構意義下的唯一性。假設 $(W,otimes),(W,otimes)$ 是兩個 $U,V$ 的張量積，則由定義存在唯一的線性映射 $au: W ightarrow W$ 滿足 $otimes= aucircotimes$ 和唯一的 $au:W ightarrow W$ 滿足 $otimes= aucircotimes$ ，即 $otimes = aucirc aucircotimes$ ，由定義存在唯一線性映射 $mathrm{id}_W:W ightarrow W$ 滿足 $otimes=mathrm{id}_Wcircotimes$ ，故 $aucirc au=mathrm{id}_W$ ，同理 $aucirc au=mathrm{id}_{W}$ ，故 $au$ 是可逆的線性映射，則 $W,W$ 同構。我們用 $Uotimes V$ 來表示其唯一張量積，用 $mathbf uotimesmathbf v$ 來表示兩個向量在 $otimes$ 下的像，由雙線性：

$(a_1mathbf u_1+mathbf u_2)otimes mathbf v=a_1mathbf u_1otimes mathbf v+mathbf u_2otimes mathbf v$
$mathbf uotimes(b_1mathbf v_1+mathbf v_2)=b_1mathbf uotimes mathbf v_1+mathbf uotimes mathbf v_2$
$a(mathbf u otimes mathbf v)=(amathbf u)otimes mathbf v=mathbf uotimes (amathbf v)$

對於有限維的線性空間，我們通過基來構造其張量積。在 $U$ 中取一組基 ${mathbf u_i}$ 在 $V$ 中取一組基 ${mathbf v_i}$ ，通過雙線性映射 $otimes$ 構造一組基 ${mathbf u_iotimesmathbf v_j}$ ，則我們說該基張成的空間就是 $Uotimes V$ 。證明如下：對於任意雙線性映射 $f:U imes V ightarrow P$ 其由 $f(mathbf u_i,mathbf v_j)$ 的取值唯一決定，我們構造線性映射 $au: W ightarrow P$ 其中 $au(mathbf u_iotimesmathbf v_j)=f(mathbf u_i,mathbf v_j)$ ，則易知 $aucircotimes=f$ ；對於唯一性假設我們知道基上取值唯一決定了線性映射，得證。另外我們有推論 $dim Uotimes V=dim Udim V$ 。

現在我們可以把張量放在張量空間中，考慮空間 $(V)^{otimes m}otimes(V^*)^{otimes n}$ （注意張量空間不同），其上的元素 $T$ 在基 $left{igotimes_{sigma=1}^mmathbf e_{i_sigma}otimesigotimes_{ ho=1}^nmathbf e^{j_ ho} ight}$ 下的坐標為 $T^{i_1,cdots,i_m}_{j_1,cdots,j_n}$ ；另一方面對於上述的多重線性泛函 $T:prod^m_{sigma=1}V^*_{i_sigma} imesprod^n_{ ho=1}V_{j_ ho} ightarrow mathbb K$ ，其在基上的取值也為 $T^{i_1,cdots,i_m}_{j_1,cdots,j_n}$ ，我們不區分兩者，且均記 $T=T_{j_1,cdots,j_q}^{i_1,cdots,i_p}mathbf e_{i_1}otimescdotsotimesmathbf e_{i_p}otimesmathbf e^{j_1}otimescdotsotimesmathbf e^{j_q}$ ，這裡用到愛因斯坦求和約定。張量的加法和數乘即一般向量的加法數乘（前提是在同一張量空間），我們還可以定義不同張量空間中的乘法：

【張量乘法】若 $a,b$ 是張量，則定義其乘積為張量積 $ab:=aotimes b=c, c^{i_1,cdots,i_p,k_1,cdots,k_r}_{j_1,cdots,j_q,l_1,cdots,l_s}=a^{i_1,cdots,i_p}_{j_1,cdots,j_q}b^{k_1,cdots,k_r}_{l_1,cdots,l_s}$ 。

張量還可以做縮並運算（contraction）：

【縮並】是一個線性泛函 $C:V^*otimes V ightarrowmathbb K$ 滿足 $C(f,v)=f(v)$ ，或等價地在基上的定義為 $C_{i,j}(mathbf e^i,mathbf e_j)=mathbf e^i(mathbf e_j)=delta^{i}_{,j}$ 。

故此對於張量 $T^i_{j}$ 縮並 $i,j$ 得到 $T_i^i:=sum_{i=1}^NT_{i}^i=mathrm{Tr}(T)$ ，其是矩陣求跡的推廣。在書寫上我們將乘法和縮並寫在一起，若標號不一致則是普通的張量乘法，若標號一致則先做張量乘法再對一致的標號做縮並，即 $A_{ij}B^i:=C_{i,i}(A_{ij}otimes B^{i})=A_{ij}delta_{i}^{i}B^{i}$ 。

在線性空間上並沒有向量之間的「乘法」運算，補全其乘法使其成為一個新的代數系統叫代數（algebra）：

【代數】域 $mathbb K$ 上的代數 $A$ 是一個線性空間和運算 $cdot:A imes A ightarrow A$ 滿足左右分配律和數乘：
$mathbf xcdot(mathbf y+mathbf z)=mathbf xcdotmathbf y+mathbf xcdotmathbf z$
$(mathbf x+mathbf y)cdotmathbf z=mathbf xcdotmathbf y+mathbf xcdotmathbf z$

$(amathbf x)cdot (bmathbf y)=(ab)mathbf xcdotmathbf y$
我們說該代數是交換的如果 $mathbf xcdotmathbf y=mathbf ycdotmathbf x$ 、結合的如果 $mathbf xcdot(mathbf ycdotmathbf z)=(mathbf xcdotmathbf y)cdotmathbf z$ 。

例如，四元數是一個域 $mathbb C$ 上的非交換、結合代數， $mathrm{Mat}_N(mathbb K)$ 是域 $mathbb K$ 上的非交換、結合代數，線性空間和向量叉乘組成非交換、非結合代數。

對於線性空間 $V$ 上的任意向量 $u,v$ ，我們往 $V$ 中「加入」新的元素 $u imes v$ ，使其還是線性空間，其中「乘法」滿足一些給定的性質，這樣加入元素的操作做完以後得到的線性空間自然是一個代數（而且是最大的）。實際上我們把這個操作具體化成以下步驟：首先構造線性空間 ${u_1 imes u_2}, {u_1 imes u_2 imes u_3},cdots$ ，這裡所有 $u_iin V$ ，然後將對所有的這樣的線性空間做直和，仍然得到一個線性空間，且裡面有乘法運算，將兩個「低重數」的向量映射為一個高重數的向量。在這裡我們考慮的乘法要求滿足交錯性（或者稱反對稱性），即 $mathbf xcdotmathbf y=-mathbf ycdotmathbf x$ ，和結合性，則得到的代數被稱為外代數（exterior algebra）。

首先我們需要定義具有某重數的線性空間，為此先定義線性映射的交錯性（alternativity）：

【交錯性】我們說一個多重線性函數是交錯的，如果交換任意一對輸入，得到的值為相反數，即 $f(cdots,x_i,cdots,x_j,cdots)=-f(cdots,x_j,cdots,x_i,cdots)$ ，我們還說這個多重線性函數是 $p$ 重的如果其有 $p$ 個自變數。

注意到若 $x_1,cdots,x_Ninmathbb R^N$ ，則行列式是一個 $N$ 階交錯多重線性函數。 $p$ 重交錯多重線性函數有以下性質（這裡舉例 $p=2$ ）：

在各個自變數上線性，即 $f(ku_1+u_2, v)=kf(u_1,v)+f(u_2,v)$ ；
滿足交錯性，即 $f(u,v)=-f(v,u)$ ；
$f(u,u)=0$ 。進一步如果自變數是線性相關的，則函數值為0。

對於所有 $p$ 重交錯多重線性函數，其構成一個線性空間，且每個線性函數由其在基上的取值 $f(mathbf e_{i_1},cdots,mathbf e_{i_p})$ 唯一決定。再者由交錯性得知我們可以給定順序 $i_1<cdots<i_p$ 使得對於任意 $i_sigma$ 的重排 $pi$ ，有 $f(mathbf e_{pi(i_1)},cdots,mathbf e_{pi(i_p)})=mathrm{sgn}(pi)f(mathbf e_{i_1},cdots,mathbf e_{i_p})$ 成立，故此我們可以考慮等價類 ${mathbf e_{pi(i_1)}otimescdotsotimesmathbf e_{pi(i_p)}:forall pi}$ 為這個線性空間的基。那麼一種直接的思路是定義這個由 $p$ 重交錯多重線性函數構成的線性空間為張量空間 $igotimes_{i=1}^N V_i$ 的一個商空間，即模掉等價類 $mathrm{Span}{mathbf e_{pi(i_1)}otimescdotsotimesmathbf e_{pi(i_p)}:forall pi}$ 。但在這裡我們採用另一種定義方式，即採用其對偶空間：

【 $p$ 重外代數】考慮所有 $V$ 上的 $p$ 重交錯線性函數組成的線性空間，我們定義 $V$ 的一個 $p$ 重外代數 $Lambda^p V$ 為其對偶空間。

注意我們的目標是把 $Lambda^pV$ 上的任意元素對應到 $V$ 上 $p$ 個向量的乘法。現在我們定義一個 $p$ 個向量之間的乘法運算，用來構造 $p$ 重外代數：

【 $p$ 重楔積】定義 $p$ 重楔積（wedge product） $wedge$ 為一個 $prod_{i=1}^p V_i ightarrow Lambda^p V$ 的線性映射，滿足 $(u_1wedgecdotswedge u_p)(f)=f(u_1,cdots,u_p)$ ，其中 $f$ 是任意 $p$ 重交錯線性函數。

通過 $p$ 重交錯線性函數的性質，容易驗證 $p$ 重楔積的性質（這裡舉例 $p=2$ ）：

在各個自變數上線性，即 $(u_1+u_2)wedge v=u_1wedge v+u_2wedge v$ 和 $(ku)wedge v=k(uwedge v)$ ；
滿足交錯性，即 $uwedge v=-vwedge u$ ；
如果有兩個自變數是一樣的則 $p$ 重楔積為0，即 $uwedge u=0$ 。進一步如果自變數是線性相關的，則楔積為0。

楔積能用來構造外代數的基，我們有下列命題：

若 ${mathbf e_i}$ 是 $V$ 的一組基，則 ${mathbf e_{i_1}wedgecdotswedgemathbf e_{i_p}:i_1<cdots<i_p}$ 組成 $Lambda^pV$ 的一組基。

證明如下：

考慮 $p$ 重交錯線性函數 $f_{i_1,cdots,i_p}$ 其中 $i_1<cdots<i_p$ ，其在基上定義如下： $f_{i_1,cdots,i_p}(mathbf e_{i_1},cdots,mathbf e_{i_p})=1$ 且對於任意 $(j_1,cdots,j_p) e(i_1,cdots,i_p)$ ， $f_{i_1,cdots,i_p}(mathbf e_{j_1},cdots,mathbf e_{j_p})=0$ ，那麼對於任意 $p$ 重交錯線性函數 $f$ ，都可以表示成 ${f_{i_1,cdots,i_p}:forall i_1<cdots<i_p}$ 的一個線性組合，故 ${f_{i_1,cdots,i_p}:forall i_1<cdots<i_p}$ 是該線性空間的一組基。易知 $(mathbf e_{i_1}wedgecdotswedgemathbf e_{i_p})(f_{j_1,cdots,j_p})=delta_{(i_1,cdots,i_p)=(j_1,cdots,j_p)}$ ，則 $mathbf e_{i_1}wedgecdotswedgemathbf e_{i_p}$ 是其一組對偶基，而維數則等於在 $N$ 個基中取 $p$ 個即 $dimLambda^pV={Nchoose p}$ 。

現在我們有了 $p$ 重外代數，對其做直和得到外代數（或叫Grassman代數）：

【外代數】所有 $p$ 重外代數的直和稱為外代數，記作 $Lambda V=igoplus_{p=0}^NLambda^pV$ 。

這個直和只做到 $p=N$ 因為對於 $p>N$ ， $p$ 重交錯線性函數總是平凡的。我們定義向量的楔積：

【向量的楔積】定義楔積 $wedge$ 為一個 $prod_{p=0}^Nleft(prod_{i=1}^p V_i ight) ightarrow Lambda V$ 的線性映射，滿足 $(u_1wedgecdotswedge u_p)(f)=wedge_p(u_1,cdots,u_p)$ ，其中 $wedge_p$ 是 $p$ 重楔積。

對於 $p$ 重外代數上的元素，我們希望其楔積也能和向量的楔積相容：

【楔積】定義楔積 $wedge$ 為一個二元運算 $Lambda^pV imesLambda^qV ightarrowLambda^{p+q}V$ ，滿足 $awedge b=(u_1wedgecdotswedge u_p)wedge(v_1wedgecdotswedge v_q)=u_1wedgecdotswedge u_pwedge v_1wedgecdotswedge v_q$ 。

我們需要說明這個定義是良好的，即對任意 $a=u_1wedge u_2=u_1wedge u_2$ 都有 $awedge v$ 相等，而事實上我們將楔積在基處展開可知 $u_1wedge u_2=u_1^iu_2^imathbf e_iwedge mathbf e_j=u_1wedge u_2=u_1^iu_2^imathbf e_iwedge mathbf e_j$ ，它們相等的充要條件是 $u_1^iu_2^j=u_1^iu_2^j=:a^{ij}$ ，則對於兩種表示都有 $awedge v=a^{ij}v^kmathbf e_iwedgemathbf e_jwedgemathbf e_k$ 。故此易證得楔積具有結合性，我們容易寫出楔積的性質：

線性，即 $(ka_1+a_2)wedge b=ka_1wedge b+a_2wedge b$ ；
交錯性，即 $awedge b=(-1)^{p+q}bwedge a, ainLambda^pV, binLambda^qV$ ；
結合性，即 $awedge bwedge c$ 是良好定義的；
$awedge a=0$ 。

最後我們考慮坐標變換對外代數的影響。考慮線性變換 $T:V ightarrow W$ 和 $W$ 上的 $p$ 重外代數 $Lambda^pW$ ，由於 $W$ 上的 $p$ 重線性函數 $f:prod^p_{i=1}W_i ightarrow mathbb K$ 可以誘導出 $V$ 上的 $p$ 重線性函數 $f:prod^p_{i=1}V_i ightarrow mathbb K, f(v_1,cdots,v_p)=fcirc T(v_1,cdots,v_p)$ ，故這定義了其對偶空間上的對偶映射 $Lambda^pT:Lambda^pV ightarrowLambda^pW, Lambda^pT(v_1wedgecdotswedge v_p)=T(v_1)wedgecdotswedge T(v_p)$ 。當 $p=N$ 時， $dimLambda^NV=1=dimLambda^NT$ ，故 $Lambda^NT$ 應該給出一個標量。考慮到 $Lambda^NT$ 是線性的我們有 $T(v_1)wedgecdotswedge T(v_N)=sum_{i_1,...,i_N}T_{i_11}cdots T_{i_NN}v_{i_1}∧cdots∧v_{i_n}$ ，對 $i_sigma$ 做置換 $pi$ 我們有 $Lambda^NT(v_1wedgecdots v_N)=sum_{pi}T_{pi(1)1}cdots T_{pi(N)N}v_1wedgecdots v_N$ ，而該係數正是行列式 $det T$ 的（算術）定義，故此從這個角度我們認為行列式是一個線性函數 $det:mathrm{End}(V) ightarrowmathrm{End}(Lambda^NV)$ 滿足 $det T=Lambda^NT$ 。