數學分析外篇（二）

07-11

數學分析外篇（二）

來自專欄我的數學臆想

以下內容來自 @噬鯤獸以及《神奇的伽馬函數》，萬分感謝讓我這個渣渣看到這麼有意思的東西哈哈！

今天我們來談點新鮮的東西。

階乘與高階導數是大家所熟悉的，這些都是離散的概念，即只能有整數的階乘如3!或整數階導數如函數y=sinx的三階導數為y=-cosx。

要知道，數學家們往往是不滿足這種局限的，於是，他們就想創造出來一種體系，使得在能夠包容舊有體系的同時，又能將求導與階乘這兩種概念推廣到負數，分數，甚至是虛數上去，當然，你可能會問，這有什麼用嗎？

工業上的用處我就不說了，大家可以自行百度，但是，就算只是單單作為數學的形式出現，他不也是一個很好的思維體操嗎？

所以我們就姑且把它當作一次奇妙的旅行吧！

本篇中我只打算淺要的談一下一個特殊值，即 $(frac{1}{2})!$ ，如果大家有興趣的話會再寫出一篇廣義化的版本推廣開去。

首先作為引理我們引入Wallis公式並給出它的兩個證明。

Wallis公式： $frac{pi}{2}=frac21 cdot frac23 cdot frac43 cdot frac45 cdot frac65 cdot frac67 cdot frac89 cdots$

proof（法一）

我們設 $I(n)=int_0^pi sin^nxdx$

那麼就有

$egin{align} I(n+1)&=int_0^pi sin^{n+1}xdx \ &=-int_0^pi sin^nxd(cosx) \ &=int_0^pi cosxd(sin^nx)-[sin^nxcosx]_0^pi \ &=int_0^pi nsin^{n-1}xcos^2xdx \ &=nint_0^pi sin^{n-1}xdx-nint_0^pi sin^{n+1}xdx \ &=nI(n-1)-nI(n+1) end{align}$

於是 $frac{I(n+1)}{I(n-1)}=frac{n}{n+1}$

這就可以得到

$int_0^pi sin^{2n+1}xdx=frac{2n}{2n+1} cdot frac{2n-2}{2n-1} cdots frac45 frac23 I(1)$

$int_0^pi sin^{2n}xdx=frac{2n-1}{2n} cdot frac{2n-3}{2n-2} cdots frac56 frac34 I(0)$

易知， $I(1)=2,I(0)=pi$

又 $lim_{n ightarrow infty}int_0^pi sin^{2n+1}xdx=lim_{n ightarrow infty}int_0^pi sin^{2n}xdx$

即 $cdots frac{2n}{2n+1} cdot frac{2n-2}{2n-1} cdots frac45 frac23 cdot 2=cdotsfrac{2n-1}{2n} cdot frac{2n-3}{2n-2} cdots frac56 frac34 cdot pi$

整理可得： $frac{pi}{2}=frac21 cdot frac23 cdot frac43 cdot frac45 cdot frac65 cdot frac67 cdot frac89 cdots$

這就證明了Wallis公式

下面我們提供另一種思路。

proof（法二）

我們注意到，任何n次的多項式 $f(x)$ 如果有n個根 $x_1,x_2,cdots,x_n$ （可以有重根），那麼就有

$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)cdots(x-x_n)$

Euler同樣也注意到這個性質，並且提出一個大膽的猜想， $y=sinx$ 有根 $0,pm pi,pm 2pi,pm 3pi,cdots$ ，那麼是否就有 $sinx=xprod_{n=1}^{infty}(1-frac{x^2}{1-npi^2})$ 呢？

這裡我們不給出證明，有興趣的話以後再來填坑。

學過泰勒公式的同學都知道sinx可以展開成冪級數，卻很少有人知道他也同樣可以展開為乘積展開。

現在我們就嘗試通過它來證明Wallis公式。

取 $x=fracpi2$ ，就有

$egin{align} 1&=fracpi2prod_{n=1}^{infty}(1-frac{1}{4n^2}) \ &=fracpi2prod_{n=1}^{infty}(frac{4n^2-1}{4n^2}) \ &=fracpi2prod_{n=1}^{infty}(frac{2n+1}{2n} cdot frac{2n-1}{2n}) \ end{align}$

將連乘項乘過來，就是 $frac{pi}{2}=frac21 cdot frac23 cdot frac43 cdot frac45 cdot frac65 cdot frac67 cdot frac89 cdots$

一個有關 $n!$ 的插值公式

實際上關於分數階乘的問題數學家Abraham De Moivre和James Stirling早在十七八世紀就有研究了，那是微積分剛剛出現，極限自然也就成為了他們手中的工具。

他們想通過插值的方法來推廣階乘的概念。

為了講得更清楚，我們先說下啥叫插值。

以下是百度的結果：

在離散數據的基礎上補插連續函數，使得這條連續曲線通過全部給定的離散數據點。插值是離散函數逼近的重要方法，利用它可通過函數在有限個點處的取值狀況，估算出函數在其他點處的近似值。插值:用來填充圖像變換時像素之間的空隙。

翻譯成大白話就是

我們假設有一個函數 $f(x)=x!$ （即可以表示任意數的階乘），現在我們只知道這個函數自變數取整數時的函數值，但是好在有很多，我們就想通過這個函數的一些值（實際上是所有整數點）來確定這個函數。

這就好比三個點可以確定一個二次函數。

這裡我們給出Stirling公式： $n! approx sqrt{2pi n}(frac ne)^n$

或者更精確一點： $lim_{n ightarrow infty}frac{n!}{sqrt{2pi n}(frac{n}{e})^n}=1$

或者化簡一下： $lim_{n ightarrow infty}frac{e^nn!}{n^nsqrt n}=sqrt{2pi}$

同樣地，由於這個公式在這裡並不重要加上我也不會（其實主要是後者……），這個公式的證明我們先不給出，以後有機會再來填坑。，我們這裡的重點是Euler給出的插值公式。

即 $n!=[(frac21)^nfrac1{n+1}][(frac32)^nfrac2{n+2}][(frac43)^nfrac3{n+3}]cdots$

我們給出它的證明。

proof

把它寫成極限形式就是

$n!=lim_{m ightarrow infty}frac{1 cdot 2 cdot 3 cdots m}{(1+n)(2+n)cdots(m+n)}(m+1)^{n}$

而

$egin{align} & quad frac{1 cdot 2 cdot 3 cdots m}{(1+n)(2+n)cdots(m+n)}(m+1)^{n} \ &=frac{1 cdot 2 cdot 3 cdots n(n+1)(n+2) cdots m}{(1+n)(2+n) cdots m(m+1)(m+2) cdots (m+n)}(m+1)^{n} \ &=n! cdot frac{(n+1)(n+2) cdots m}{(1+n)(2+n) cdots m}cdot frac{(m+1)^n}{(m+1)(m+2)cdots(m+n)} \ &=n! prod_{k=1}^n frac{m+1}{m+k} \ & ightarrow n! qquad (m ightarrow infty) end{align}$

這就完成了證明。

我們用這個公式來求 $(frac12)!$ ，將 $n=frac12$ 代入上式，就有

$egin{align} (frac12)!&=sqrt{frac21}cdotfrac23cdotsqrt{frac32}cdotfrac45cdotsqrt{frac43}cdotfrac67cdotsqrt{frac45}cdotfrac89 cdots \ &=sqrt{frac42}cdotfrac23cdotsqrt{frac64}cdotfrac45cdotsqrt{frac86}cdotfrac67cdotsqrt{frac8{10}}cdotfrac89 cdots \ &=sqrt{frac43cdotfrac23}cdotsqrt{frac65cdotfrac45}cdotsqrt{frac87cdotfrac67}cdotsqrt{frac9{10}cdotfrac89} cdots \ &=sqrt{frac23cdotfrac43cdotfrac45cdotfrac65cdotfrac67cdotfrac87cdotfrac89cdotfrac{10}9cdots} \ &=sqrt{fracpi4}=frac{sqrtpi}{2} end{align}$

這就求出了我們想要的結果！

好啦，今天就先說到這，歡迎大家給出一些有趣的補充，我會把它添到本篇筆記中供大家共同欣賞。

任何筆記都具有著作權，未經同意不得剽竊或轉載。

數學分析外篇（二）

Wallis公式：

一個有關 的插值公式

Wallis公式： $frac{pi}{2}=frac21 cdot frac23 cdot frac43 cdot frac45 cdot frac65 cdot frac67 cdot frac89 cdots$

一個有關 $n!$ 的插值公式