實分析Ⅱ|筆記整理（2）——開集，閉集等集合性質深化

07-11

來自專欄一個大學生的日常筆記

大家好！這幾天趕拓撲的複習，回頭髮現實變已經好久沒有動了。所以趕緊來補上這個坑。

這一節我們會對在之前一系列筆記中一筆帶過的開集，閉集等集合的相關定義和性質做進一步的深化。並且補充大量的相關習題和例子。

提供之前的筆記：

實分析Ⅱ|筆記整理（1）——集合論補充，相關應用習題舉例（1）

我們開始本節的內容。本節的內容範圍為P26-46

極限點（聚點）

極限點的定義就是和數分三中說的聚點是相同的。但是與數分三相比，實分析中的定義更加「集合化」。如下：

Definition 1:
設 $E subset mathbb{R}^n,x in mathbb{R}^n$ ，如果存在 $E$ 中的互異點列 ${x_k}$ 滿足 $lim_{k o infty}|x_k-x|=0$ ，則稱 $x$ 為 $E$ 的極限點。並且將 $E$ 的極限點的全體記為 $E$ ，稱為 $E$ 的導集。

與這個定義直接聯繫的定理是下面這個

Theorem 1:
若 $E subset mathbb{R}^n$ ，則 $x in E$ 當且僅當對任意的 $delta>0$ ，有 $(B(x,delta)ackslash{x}) cap E e emptyset$

簡單說明一下，一方面，既然 $x in E$ ，那麼它是一個極限點，那麼根據極限的定義可以得到，存在 $E$ 中的一系列點列 ${x_k}$ 。對於任意的 $delta>0$ ，存在 $k_0$ ，當 $k ge k_0$ 的時候，有 $|x_k-x| <delta$ ，自然就是 $x_k in B(x,delta)$ 的意思。那麼顯然 $x_k e x$ ，所以自然就得到結論了。

而另一方面，如果對於任意的 $delta>0$ ，有 $(B(x,delta) ackslash {x})cap E e emptyset$ 。那麼先考慮取一個 $E$ 中的點 $x_1$ 使得 $|x-x_1|<1$ 。然後考慮令 $delta_2=min(|x-x_1|,frac12)$ ，這樣的話就可以取到一個與 $x_1$ 不同的點 $x_2$ ，使得 $|x-x_2|<delta_2$ 。繼續這樣遞推下去就可以得到一系列點列，並且 $lim_{k o infty}|x_k-x|=0$ 。就證明了它是極限點。

在另一方面的這個證明中，這種思想我們也是經常在數分一中使用的。我們在拓撲學中也會碰到這樣的類似的表述。同樣的，這個定理也完美的說明了數分三中對於聚點定義的合理性。

關於聚點的兩個性質也是習題中經常會使用的，所以我們只是列舉在下面，不再抄書上的證明。

Proposition 1:
$(E_1 cup E_2)=E_1cup E _2$
Proposition 2:Bolzano-Weierstrass

$mathbb{R}^n$ 中任意一有界無限點集 $E$ 至少有一個極限點。

關於孤立點的相關內容，因為沒有涉及太多，我們不再寫在這裡。

閉集

閉集和開集的相關集合概念是很多非數學系學生感覺非常好理解，卻讓很多數學系學生感到頭大的概念。加上之前沒有在筆記上動過太多的筆墨，所以這一部分我們會寫很多內容。

我們先討論閉集的定義和性質。

Definition 2:
若集合包含了其一切極限點，則稱它是閉集。設 $ar E=E cup E$ ，那麼如果 $E =ar E$ ，則 $E$ 為閉集， $ar E$ 被稱為是 $E$ 的閉包。

比如說，有理數集 $mathbb{Q}$ 的閉包是 $mathbb{R}$ 。另外還要注意的一個簡單性質是，閉包就是最小的那個閉集。

一個有趣的例子是下面這個：

Example 1:
$f in C(mathbb{R}^n)$ 的充分必要條件是對任意的 $t in mathbb{R}$ ， $E_1={x in mathbb{R}^n: f(x) ge t},E_2={x in mathbb{R}^n:f(x) le t}$ 都是閉集。

我們證明一下這個結論。如果 $f in C(mathbb{R}^n)$ ，那麼要證明集合是閉集，只需要說明，對於任意給定的存在極限的點列，它的極限也是在集合內的即可（因為這就證明了所有的可能極限點都是在集合內的）。

那麼，以 $E_1$ 為例。如果有 $x_k o x_0(k o infty)$ ，由 $f(x_k) ge t$ 即可知 $f(x_0)=lim_{k o infty}f(x_k) ge t$ （因為由連續性可知 $f(lim_{k o infty}x_k)=lim_{k o infty}f(x_k)$ ），就證明了 $x_0 in E_1$ 。而 $x_0 in E_2$ 同理可證。

反過來，知道了兩個集合是閉集，如何證明連續？假設存在一個點 $x_0$ 不是 $f(x)$ 的連續點。那麼根據不連續的定義可知，存在 $epsilon_0>0$ 以及一個點列 $x_k o x_0(k o infty)$ ，使得對於每一個 $k$ 都有 $|f(x_k)-f(x_0)| ge epsilon_0$ 。

取出這個點列的收斂子列 ${x_{k_i}}$ 滿足 $f(x_{k_i})-f(x_0) ge epsilon_0$ 或者 $f(x_{k_i})-f(x_0) le -epsilon_0$ 中的一個（一個收斂極限列分為不相交的兩部分，一定還有一部分是收斂極限列）。不妨設這個收斂極限列是滿足第一個不等式的。那麼如果設 $t=f(x_0)+epsilon_0$ ，就有 $f(x_{k_i}) ge t$ 對於任意的 $x_{k_i}$ 成立。但是 $f(x_0)ge t$ 是顯然不成立的。這就相當於說，存在一系列收斂子列，每一個點都在 $E_1$ 內，但是極限點卻不在 $E_1$ 內，這就與 $E_1$ 是閉集產生了矛盾。

有關閉集的運算性質如下：

Proposition 3:
閉集的有限並依然是閉集，閉集的可列交依然是閉集。

第一部分只需要證明兩個集合的並的情況，而這隻需要證明出 $overline{F_1 cup F_2}=ar F_1 cup ar F_2$ 即可。至於第二部分，不妨設 ${F_alpha: alpha in I}$ 是 $mathbb{R}^n$ 的一個閉集族，並且設交集 $F=igcap_{alpha in I} F_alpha$ 。那麼 $F subset F_alpha$ 。那麼就有 $ar F subset ar F_alpha subset F_alpha$ ，那麼自然 $ar F subset igcap_{alpha in I} F_alpha=F$ 。結合 $F subset ar F$ 即可得到結論。

上升到一般集合的情況下考慮閉包，就有下面兩個簡單性質。

Proposition 4:
$igcup_{alpha in I}ar E_alpha subset overline{igcup_{alpha in I}E_alpha},overline{igcap_{alpha in I}E_alpha} subset igcap_{alpha in I} ar E_alpha$

我們不再證明。

還有個與閉集相關的定理也是我們在之後討論稠密等性質經常使用的。

Theorem 2:Cantor
若 ${F_k}$ 是 $mathbb{R}^n$ 中非空有界閉集列，且 $F_1 supset F_2 supset cdots supset F_k supset cdots$ ，那麼 $igcap_{k=1}^{infty}F_k e emptyset$ 。

我們證明一下這個結論。

如果有無窮多個相同的集合，那麼根據包含關係可知，存在一個 $k_0$ ，使得 $igcap_{k=1}^{infty}F_k=F_{k_0}$ 。那自然交不為空。那麼如果對任意的 $k$ 都有 $F_{k+1}$ 是 $F_k$ 的真子集，那麼取 $x_k in F_k ackslash F_{k+1}$ ，就可以得到一個有界互異點列 ${x_k}$ 。根據B-W定理，存在有個收斂子列 ${x_{k_i}}$ 滿足 $lim_{i o infty}|x_{k_i}-x|=0$ 。結合每一個 $F_k$ 都是閉集可知 $x in F_k$ 對任意的 $k$ 成立（想想為什麼），就有 $x in igcap_{k=1}^{infty}F_k$ 。

開集

有了閉集的定義，自然就好定義我們的開集了。

Definition 3:
對於一個集合 $G subset mathbb{R}^n$ ，如果 $G^c$ 是閉集，那麼 $G$ 為開集。

下面這個簡單性質通過閉集和De-Morgan容易推出。

Proposition 5:
開集的可列並和有限交依然是開集。

下面強調的這個性質其實就是數分三中對於開集的基本定義。

Proposition 6:
若 $G$ 為 $mathbb{R}^n$ 的非空子集，則 $G$ 為開集的充分必要條件是對於 $G$ 中任意一點 $x$ ，存在 $delta>0$ ，使得 $B(x,delta) subset G$ 。

簡單說明一下。一方面，如果 $G$ 是開集， $x in G$ ，那麼根據 $G^c$ 是閉集以及 $x ot in G^c$ 可知， $x$ 不會是 $G^c$ 的極限點。這就說明了存在一個開球 $B(x,delta)$ 使得 $B(x,delta) cap (G^c ackslash{x})=emptyset$ ，那麼自然就是 $B(x,delta) cap (G^c )=emptyset$ ，這就是 $B(x,delta) subset G$ 的意思。

另一方面，如果存在 $delta>0$ ，使得 $B(x,delta) subset G$ ，那麼反過來推就可以推出 $x$ 不是 $G^c$ 的極限點，自然就說明了任意的不在 $G^c$ 內的點都不是它的極限點，那就足夠說明結論成立了。

下面是內點和邊界點的定義。當然了，與之前提過的相關定義還是有差距的。

Definition 4:
設 $E subset mathbb{R}^n$ ，對於 $x in E$ ，若存在 $delta>0$ ，使得 $B(x,delta) subset E$ ，則稱 $x$ 為 $E$ 的內點。內點全體記為 $E^circ$ ，稱為其內核。若 $x in ar E,x ot in E^circ$ ，則稱 $x$ 為 $E$ 的邊界點，記其全體為 $partial E$ 。

給出這個例子的原因是，邊界點的定義在集合定義下做了一步抽象，不再是我們之前腦子想的那麼簡單了。

兩個與邊界點和開集有關的習題如下，礙於篇幅這裡略去了證明，之後再說。

Problem 1:
$E subset mathbb{R}^n$ ，若 $E e emptyset,E e mathbb{R}^n$ ，證 $E$ 邊界點集非空。
Problem 2:
設 $G subset mathbb{R}^n$ ，若對任意的 $E subset mathbb{R}^n$ 有 $G cap ar E subset overline{G cap E}$ ，證 $G$ 是開集。

覆蓋

不知道大家記不記得數分三中有關「緊集」的定義了。緊集的定義就與覆蓋這個概念緊密相關。

首先來看看集合論中的覆蓋究竟是啥。

Definition 5:
設 $E subset mathbb{R}^n$ ， $Gamma$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的一個開集族。如果對於任意的 $x in E$ ，存在 $G in Gamma$ ，使得 $x in G$ ，則稱 $Gamma$ 為 $E$ 一個開覆蓋。如果對於一個開覆蓋 $Gamma$ ， $Gamma subset Gamma$ 依然是 $E$ 的一個開覆蓋，那麼稱它為關於 $E$ 的子覆蓋。

要提一下覆蓋的最重要的原因還是下面這個定理。

Theorem 3:Heine-Borel
$mathbb{R}^n$ 有界閉集的任一開覆蓋均含有一個有限子覆蓋。

我們證明一下這個結論。首先根據Lindelof引理可知，如果 $F$ 是 $mathbb{R}^n$ 的有界閉集， $Gamma$ 為開覆蓋。那麼必然存在一個可數的子覆蓋。所以可以假定 $Gamma={G_1,G_2,cdots,G_i,cdots}$ 。

有了可數子覆蓋之後，現在要證明存在有限子覆蓋，那麼只要證明 $F subset igcup_{i=1}^{k}G_i$ ，就相當於說，存在一個 $k$ 使得 $F ackslash igcup_{i=1}^{k}G_i=emptyset$ 。從這個想法出發，我們構造 $H_k=igcup_{i=1}^{k}G_i,L_k=Fcap H_k^c$ 。那麼這樣的話， $L_k supset L_{k+1}$ 且它是一個閉集列。

有了這一系列條件，就可以分情況討論運用之前的定理了。假設存在 $k_0$ 使得 $L_{k_0}$ 是空集，那就已經證明了結論了。但是如果都非空集，那麼根據Cantor閉集套定理知，存在 $x_0 in L_k$ ，使得 $x_0 in F,x_0 in H_k^c$ 對任意的 $k$ 成立。也就是說存在一個點 $x$ 不屬於任意一個 $H_k$ 。這就已經違背了覆蓋的定義了。所以自然不可能有這種情況。這就證明了結論。

關於Lindelof引理可以看看下面這個回答。書上略去了證明，這裡我特地找了一下百度。

求證Lindelof引理即E是R^n中的點集,則E的任何開覆蓋都有可數字覆蓋求教詳細證明(從拓撲結構角度).基本上看懂了，就是第三段在中的P和P（r）是相同的還是不同的，r代表什麼？_作業幫?

www.zybang.com

那麼這個結論反過來的形式是什麼樣的呢？

Proposition 7:
設 $E subset mathbb{R}^n$ ，若 $E$ 的任一開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱 $E$ 是有界閉集。

我們證明一下這個結論。首先設 $y in E^c$ ，那麼對於每一個 $x in E$ ，都會存在一個 $delta_x >0$ 使得 $B(x,delta_x) cap B (y,delta_x) = emptyset$ 。這樣的話 ${B(x,delta_x): x in E}$ 就是 $E$ 的一個開覆蓋，這樣的話它就存在一個有限子覆蓋，不妨設為 $B(x_1,delta_{x_1}),cdots,B(x_m,delta_{x_m})$ ，這樣的話令 $delta_0=min {delta_{x_1},cdots,delta_{x_m}}$ ，那麼根據上面我們對 $delta_x$ 做的限制條件，就有 $B(y,delta_0) cap E =emptyset$ ，也即 $y ot in E$ 。這就說明了 $E subset E$ ，也即 $E$ 是閉集，而有界性是顯然的，這就證明了結論。

Borel集

事實上，在我們上課的範圍內，對於Borel集也只是給出了定義，暫時還沒有給出相關的習題，因此這一塊內容我們不會說太多，而會在它引申的部分說一些例子。

先來介紹一下 $F_sigma,G_delta$ 集。

Definition 6:
可數閉集的並為 $F_delta$ 集，可數開集的交為 $G_delta$ 集。

事實上這就是我們之前說的F-集，G-集的概念。顯然，F-集的補集就是G-集，G-集的補集就是F-集（當然為了和書上對應，我們這裡使用 $F_sigma,G_delta$ 的標記）。

書上在這一塊提供了一些有趣的例子，不過礙於篇幅這裡不再列在這裡，感興趣的可以在P40找到它們。

Example 2:
$mathbb{R}^n$ 中的有理點集是 $F_delta$ 集。
Example 3:
$f(x)$ 是定義在開集 $G subset mathbb{R}^n$ 上的實值函數，那麼 $f(x)$ 連續點集是 $G_delta$ 集。

關於 $sigma-algebra$ ，生成 $sigma-algebra$ 的概念。我們不再多花心思去介紹它們，這一塊對應書上內容的P41-42。

Baire定理

根據我們學校的規劃，這一塊我們的重點會關注它的應用而不是它證明的本身。

Theorem 3:Baire
設 $E subset mathbb{R}^n$ 是 $F_delta$ 集，即 $E=igcup_{k=1}^{infty}F_k$ ，且 $F_k(k=1,2,cdots)$ 都是閉集，則如果 $F_k$ 都沒有內點，那麼 $E$ 也無內點。

最後我們會以它的兩個例子來結束這一部分。

Example 4:
有理數集 $mathbb{Q}$ 不是 $G_delta$ 集。

如果它是，那麼設它為 $mathbb{Q}=igcap_{i=1}^{infty}G_i$ ，其中 $G_i$ 都是開集，這樣的話有表示式 $mathbb{R}=(mathbb{R} setminusmathbb{Q}) igcup mathbb{Q}=(igcup_{i=1}^{infty}G_i^c) cup (igcup_{k=1}^{infty}{r_k})$ 。

首先要注意到的結論是 $ar G_i=mathbb{R}$ ，這是因為對於 $G_i$ 全體的交是有理數集，那麼就說明每一個 $G_i$ 都是稠密的，那麼就說明每一個 $mathbb{R}$ 中的開球（當然這裡就是開區間了）都是與 $G_i$ 交集非空的，這就說明了這個結論的正確性。結合這個結論可知每一個 $G_i^c$ 無內點（因為如果有的話，那就存在一個開球完全包含在這個集合內部，那麼也就是這個開球與 $G_i$ 交集為空，這就矛盾了）。那麼 $mathbb{R}$ 就是可列個無內點的閉集的並，根據Baire定理即可知 $mathbb{R}$ 無內點，這就矛盾了。

關於稠密的相關概念這裡補充如下。

Definition 7:
設 $E subset mathbb{R}^n$ ，若 $ar E = mathbb{R}^n$ ，則稱 $E$ 為 $mathbb{R}^n$ 中的稠密集，如果 $ar E^circ$ （ $E$ 的閉包的內部）是空集，那麼稱 $E$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的無處稠密集。可數個無處稠密集的並集稱為貧集或第一綱集。不是第一綱集的集合稱為第二綱集。

下面這個例子也是與稠密有關的。

Example 5:
設 ${G_k}$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的稠密開集列，那麼 $G_0=igcap_{k=1}^{infty}G_k$ 在 $mathbb{R}^n$ 中稠密。

簡單說明一下，這隻需要證明 $mathbb{R}^n$ 中的任一閉球 $ar B =overline{B(x,delta)}$ ，都有 $G_0 cap ar B e emptyset$ 即可。假設存在閉球 $ar B_0=overline{B(x_0,delta_0)}$ 使得 $G_0 cap ar B_0=emptyset$ ，那麼這樣就有 $mathbb{R}^n=(G_0 cap ar B_0) ^c=G_0^c cup (ar B_0)^c$ 。

接下來，我們考慮 $ar B_0=mathbb{R}^n cap ar B_0 = G_0^c cap ar B_0 =(igcap_{k=1}^{infty}G_k)^c cap ar B_0=igcup_{k=1}^{infty}(G_k^c cap ar B_0)$ ，注意到 $G_k^c$ 是無內點的閉集（因為它的補集是稠密的），由Baire定理知 $ar B_0$ 無內點，這就矛盾了。

小結

我們在這一塊關注了開集，閉集等更加深層次的性質，同時引入了稠密性，Baire定理等內容。不同學校所學的內容可能不太一樣，這一系列的筆記基本上反映了我們學校的教學大綱，不過也是略過了書上和之前筆記已經有的很多內容。如果國內有其餘學校有不同的教學大綱，也很歡迎私信給我討論相關內容。

當然了，關於原書的《1.6：點集間的距離》一節，因為定理內容均已知，因此我們不會再列入筆記中，至於Cantor集目前打算是之後引入習題的時候一起順便引入它的性質（因為這個東西更多的是用來舉例子的，有或無都無傷大雅）。

在原書中，第二章開始就引入了測度的相關內容，但是其與Stein介紹的部分還是有所差異，因此我們的筆記會反映「差異」的部分和相關習題，已經重複的部分會略過。

下一節我們會引入大量的這一部分的習題，均為講師習題課引入的相關習題，內容也會與這兩節緊密相連，敬請期待~

感謝大家一直以來的支持，為點贊收藏感謝讚賞的看客比心~~

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實分析Ⅱ|筆記整理（2）——開集，閉集等集合性質深化

目錄

極限點（聚點）

閉集

開集

覆蓋

Borel集

Baire定理

小結