1.1 斯特恩—蓋拉赫實驗

07-11

1.1 斯特恩—蓋拉赫實驗

來自專欄現代量子力學閱讀筆記

實驗描述

斯特恩—蓋拉赫實驗的裝置

（1）實驗過程

被加熱的銀原子從爐子中穿出經過非均勻磁場後打在屏上，屏可以顯示銀原子的位置。

（2）實驗原理

銀原子和磁場的作用：銀原子內部含有47個電子，其中46個電子可以看作形成一個凈角動量為零、球對稱的電子云。如果忽略核自旋，原子作為一個整體有一個角動量，這個角動量僅僅來源於單獨的第47個（5s）電子的自旋角動量。結果是整個銀原子作為一個整體可以看做僅有一個磁矩 $[mu ]$ （它等於第47個電子的自旋 $[{mathbf{S}}]$ 對應的磁矩， $[mu propto S]$ ）。
原子所受力的 $z$ 分量： $[{F_z} = frac{partial }{{partial z}}(mu cdot B) simeq {mu _z}frac{partial }{{partial z}}{B_z}]$ ，於是原子流會根據原子 $[{mu _z}]$ 的不同而發生劈裂。或者說SG（Stern—Gerlach）儀器可以測量出 $[mu ]$ 的 $z$ 分量。

（3）實驗結果

預測：根據經典理論， $[mu ]$ 的取向是隨機的、連續的。那麼在屏上觀察到的原子分布應是一條有寬度的線。

結果：屏上是兩個斑點。

斯特恩—蓋拉赫實驗結果

（4）結果分析

以上實驗現象被稱為「空間量子化」，說明電子的 $[{S_z}]$ 的取值是分立的。 $[{S_z}]$ 的取值只有兩個可能： $[{S_z}]$ 朝上和 $[{S_z}]$ 朝下，分別稱為 $[{S_z} + ]$ 和 $[{S_z} - ]$ 。發現兩個可能值都是某個角動量基本單位的倍數，數值結果 $[{S_z} = pm frac{hbar }{2}]$ ， $[hbar = 1.0546 imes {10^{ - 27}}erg cdot s]$ 。

序列斯特恩—蓋拉赫實驗

實驗及結果

序列斯特恩—蓋拉赫實驗

分析：
（a）結果是平凡的。
（b）意味第一個裝置的 $[{S_z} + ]$ 束流有一部分具有 $[{S_z} + ]$ 、 $[{S_x} + ]$ 特徵，另一部分具有 $[{S_z} + ]$ 、 $[{S_x} - ]$ 特徵？
（c）假設（b）的結論成立，那麼無法解釋（c）實驗第二個 $[SGhat z]$ 裝置的實驗結果：第一個 $[SGhat z]$ 已經將具有 $[{S_z} - ]$ 特徵的原子去除，但是在第二個 $[SGhat z]$ 裝置之後又出現了具有 $[{S_z} - ]$ 特徵的原子。

這個序列SG實驗經常來闡明量子力學（QM）中我們不可能同時確定 $[{S_z}]$ 和 $[{S_x}]$ 。（c）中通過第二個儀器（ $[SGhat x]$ ）挑選出的 $[{S_x} + ]$ 束流完全破壞了以往任何關於 $[{S_z}]$ 的信息。

和光的偏振的類比

偏振光的物理描述（沿 $z$ 方向傳播）

$x$ 方向偏振： $[{mathbf{E}} = {E_0}hat xcos (kz - omega t)]$

$y$ 方向偏振： $[{mathbf{E}} = {E_0}hat ycos (kz - omega t)]$

光束受到偏振片的影響

（a）實驗結果沒有光束
（b）實驗最後一個儀器有出射光束。 $[{x}]$ 偏振片的插入挑選出了 $[{x}]$ 方向的偏振光，那麼光束以前是否是 $x$ 偏振就無關緊要了。（通過第二個偏振片選出的 $[{x}]$ 偏振的光破壞了以往任何關於光極化的信息。）

和SG實驗的類比

$[{S_z} pm ]$ 原子 $[ leftrightarrow ]$ $[x,y]$ 偏振光。
$[{S_x} pm ]$ 原子 $[ leftrightarrow ]$ $[x,y]$ 偏振光。

$[x,y]$ 偏振光的物理描述（沿 $z$ 方向傳播）

$[{x}]$ 方向偏振： $[{mathbf{E}} = {E_0}hat xcos (kz - omega t) = {E_0}[frac{1}{{sqrt 2 }}hat xcos (kz - omega t) + frac{1}{{sqrt 2 }}hat ycos (kz - omega t)]]$

$[{y}]$ 方向偏振： $[{mathbf{E}} = {E_0}hat ycos (kz - omega t) = {E_0}[-frac{1}{{sqrt 2 }}hat xcos (kz - omega t) + frac{1}{{sqrt 2 }}hat ycos (kz - omega t)]]$

以上的對應說明：或許能夠使用一類新的二維矢量空間中的某類矢量描述一個銀原子的自旋態。

我們猜測：

$[egin{gathered} left| {{S_x}; + } ight angle = frac{1}{{sqrt 2 }}left| {{S_z}; + } ight angle + frac{1}{{sqrt 2 }}left| {{S_z}; - } ight angle hfill \ left| {{S_x}; - } ight angle = - frac{1}{{sqrt 2 }}left| {{S_z}; + } ight angle + frac{1}{{sqrt 2 }}left| {{S_z}; - } ight angle hfill \ end{gathered} ]$

為了區分 $[{S_y} pm ]$ 態和 $[{S_x} pm ]$ 態（用 $[{S_z} pm ]$ 的實線性組合已經不能區分 $[{S_y} pm ]$ 態和 $[{S_x} pm ]$ 態）我們考慮：圓偏振光通過 $x$ 偏振片的情況，這樣情況的結果類似於 $[{x}]$ 偏振光通過 $x$ 偏振片的結果（圓偏振光和 $[{x}]$ 偏振光是不同的）。這樣我們就區分了 $[{S_y} pm ]$ 態和 $[{S_x} pm ]$ 態。

右旋圓偏振光的物理描述（沿 $z$ 方向傳播）

$[{mathbf{E}} = {E_0}[frac{1}{{sqrt 2 }}hat xcos (kz - omega t) + frac{1}{{sqrt 2 }}hat ycos (kz - omega t + frac{pi }{2})]]$

使用複數描述： $[operatorname{Re} (varepsilon ) = {mathbf{E}}/{E_0}]$

右旋圓偏振光： $[varepsilon = [frac{1}{{sqrt 2 }}hat x{e^{i(kz - omega t)}} + frac{i}{{sqrt 2 }}hat y{e^{i(kz - omega t)}}]]$

和SG實驗的類比

$[{S_y} pm ]$ 原子 $[ leftrightarrow ]$ 右（左）旋圓偏振光。

$[left| {{S_y}; pm } ight angle = frac{1}{{sqrt 2 }}left| {{S_z}; + } ight angle + frac{i}{{sqrt 2 }}left| {{S_z}; - } ight angle ]$

綜上：描述銀原子自旋態所需要的二維矢量空間必須是一個復矢量空間（這是複數引入量子力學的原因？）。

本節重點：可用抽象復矢量空間中的矢量表示量子力學態。

物理初學者歡迎指正??。