轉，音律常識

律制詳解(五度相生律十二平均律純律)音律是指音高的決定方式。現代樂器的音律主要有三種： 　　(1) 純律：純律中任何兩個音的頻率都成整數比，這種音律源於號角，因為它可以吹出大調音階中的三和弦(簡譜中的1 3 5)，它們的頻率之比為4:5:6。大調音階中的其它三和弦也可以用這種方法得到，例如簡譜中的4 6 1和5 7 2。這種音律在演奏和聲時很有優勢，因為頻率的整數比可以產生最好的結合。銅管樂器指法不變時遵循純律，所以在演奏和聲時，要儘可能地使用同樣的指法。由於小調以小三和弦為主(簡譜中的6 1 3)，所以頻率之比正好與大調相反，為1/6:1/5:1/4，即10:12:15，然而沒有一種樂器是按照這種音律定音的。 　　(2) 五度相生律：事實上它是純律的一部分，它規定五度音的頻率之比為2:3，其他音程都由若干個五度產生，五聲音階宮商角徵羽(簡譜中的1 2 3 5 6)按照五度相生律定音，順序是：宮→徵→商→羽→角。實踐表明，按照五度相生律的音高演奏的旋律是最優美的，弦樂器就是典型的按照五度相生律定音的樂器。 五度相生律根據複合音的第二分音和第三分音的純五度關係，即由某一音開始向上推一純五度，產生次一律，再由次一律向上推一純五度，產生再次一律，如此繼續相生年定出的音律叫做五度，產生再次一律，如此繼續相生所定出的音律叫做五度相生律。 例如五度相生律所訂出的七個基本音級間的音高關係，和十二平均律中七個基本音級的音高關係是不同的。 　　雖然EF、BC之間亦為半音，但比十二平均律中的半音要小。其餘相鄰兩音級之間雖然亦為全音，但比十二平均律中的全音要大。這種音高的差異就是由於定律方法的不同而產生的。　　(3) 十二平均律：簡稱平均律，它是根據對數關係確定音的頻率的，然而在八度上，頻率的比值卻是嚴格的1:2，所以更完整的說法應該是「八度的十二平均律」。計算頻率時，只要對2開12次方根，就可以確定兩個半音頻率的比值了。十二平均律是由巴赫首先倡導在鋼琴上使用的，鋼琴上每個半音具有同等地位，因此這種音律在轉調頻繁的作品中很有優勢。 　　十二平均律是由明朝律學家朱載堉所提出，早於西方五百年出現。他將三分損益法所產生的五度相生律無法還原的問題解決了，其實五度相生律是純律的物理和諧倍數關係，每個調性都會衍生不同的頻率差異音階，為了轉調的實用性，平均律的出現雖然解決了轉調問題，卻也產生另一個和音不夠完美的問題。 十二平均律將八度間（倍頻），刻劃成平均的十二個音階，以12根號2為基數(1.059463094)為音階間格，這樣完整的十二個平均音階就可以讓１２個調性圓滿轉換，每個音階都可以吻合應用，鋼琴是十二平均律的典型樂器，西洋音樂之父巴哈就以此十二平均律編寫了十二種調性的古典樂曲，為十二平均律完整樂曲之始。 一般認為，沒有受過音樂訓練的人，無法辨別20音分以內的音調差別，而對音準非常敏感的人，例如小提琴家或鋼琴調音師，可以辨別5音分以內的音差。表5-2就以音分為單位比較了三種音律的差別，歸納起來有以下兩點： 　　(1) 純律的五度音和五度相生律是一樣的，但三度音差別很大，大三度音程偏小，小三度音程偏大，即大調的第三級音明顯偏低，這種現象在銅管樂器上很突出(詳見第七章)。 　　(2) 五度相生律和十二平均律差別不大，就全音而言，前者比後者多4音分，就半音而言，前者比後者少10音分，這就是五度相生律所謂的「大全音」和「小半音」。對人的聽覺來說，小半音是最舒適的半音，而平均律的半音略顯得大些，這是平均律唯一的缺陷。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~要介紹《十二平均律曲集》，就得先介紹什麼是「十二平均律」。而要介紹「十二平均律」，就得先介紹什麼是「律」。 「律」，即「音律」（intonation），指為了使音樂規範化，人們有意選擇的一組高低不同的音符所組成的體系，以及這些音符之間的相互關係。比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，這7個音符就組成了一組音律。研究音律的學問叫做「律學」。也就是研究為什麼要選擇do、re、mi……這7個音（當然也可以選擇其它音）作為規範、這些被當成「標尺」的音是怎麼產生的、以及它們之間到底是什麼關係的學問。 對於任何民族來說，只要他們有著豐富的音樂體驗，只要他們想積累起關於音樂的知識，遲早都會遇到關於律學的問題。令人驚訝的是，古今不同民族，雖然各自鍾愛的音樂形式可謂萬紫千紅、百花爭艷，彼此也沒有互相借鑒，但大家的律學的基礎概念卻出奇地相似。這也許是音樂本身超文化、超地域的魅力所致吧。 （BTW：現代人學習的do、re、mi、fa、so、la、si，這些好像沒有意義的單詞，其實都是中世紀時西方教會中很流行的一些拉丁文聖詠（chant）的首音節。這些聖詠是西方現代音樂的源頭。） 學過高中物理的都知道，聲音的本質是空氣的振動。而空氣的振動是以波的形式傳播的，也就是所謂的聲波。所有的波（包括聲波、電磁波等等）都有三個最本質的特性：頻率／波長、振幅、相位。對於聲音來說，聲波的頻率（聲學中一般不考慮波長）決定了這個聲音有多「高」，聲波的振幅決定了這個聲音有多「響」，而人耳對於聲波的相位不敏感，所以研究音樂時一般不考慮聲波的相位問題。 律學當然不考慮聲音有多「響」，所以律學研究的重點就是聲波的頻率。一般來說，人耳能聽到的聲波頻率範圍是20HZ（每秒振動20次）到20000HZ（每秒振動20000次）之間。聲波的頻率越大（每秒振動的次數越多），聽起來就越「高」。頻率低於20HZ的叫「次聲波」，高於20000HZ的叫「超聲波」。 （BTW：人耳能分辨的最小頻率差是2HZ。舉例而言就是，人能聽出100HZ和102HZ的聲音是不同的，但聽不出100HZ和101HZ 的聲音有什麼不同。另外，人耳在高音區的分辨能力迅速下降，原因見後。） 需要特別指出的是，人耳對於聲波的頻率是指數敏感的。打比方說，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……這些聲音，人聽起來並不覺得它們是「等距離」的，而是覺得越到後面，各個音之間的「距離」越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……這些聲音，人聽起來才覺得是「等距離」的（為什麼會這樣我也不清楚）。換句話說，某一組聲音，如果它們的頻率是嚴格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的規律排列的話，它們聽起來才是一個「等差音高序列」。 （比如這裡有16個音，它們的頻率分別是110HZ的1倍、2倍、3倍……16倍。大家可以聽一下，感覺它們是不是音越高就「距離」越近。用音樂術語來說，這些音都是110HZ的「諧波」（harmonics），即這些聲波的頻率都是某一個頻率的整數倍。這個ogg文件可以用「暴風影音」／StormCodec軟體來試聽。） 由於人耳對於頻率的指數敏感，上面提到的「×2就意味著等距離」的關係是音樂中最基本的關係。用音樂術語來說，×2就是一個「八度音程」（octave）。前面提到的do、re、mi中的do，以及so、la、si後面的那個高音do，這兩個do之間就是八度音程的關係。也就是說，高音do的頻率是do的兩倍。同樣的，re和高音re之間也是八度音程的關係，高音re的頻率是re的兩倍。而高音do上面的那個更高音的do，其頻率就是do的4倍。也可以說，它們之間隔了兩個「八度音程」。顯然，一個音的所有「八度音程」都是它的「諧波」，但不是它的所有「諧波」都是自己的「八度音程」。 很自然，用do、re、mi寫的歌，如果換用高音do、高音re、高音mi來寫，聽眾只會覺得音變高了，旋律本身不會有變化。這種等效性，其實就是「等差音高序列」的直接結果。 「八度音程」的重要性，世界各地的人們都發現了。比如我國浙江的河姆渡遺址，曾經出土了一管距今9000年的笛子（是用鶴的腿骨做的），它能演奏8個音符，其中就包含了一個八度音程。當然這個八度音程不會是do到高音do，因為只要是一個音的頻率是另一個的兩倍，它們就是八度音程的關係，和具體某一個音有多高沒有關係。 明白了八度音程的重要性，下面來介紹在一個八度音程之內，還有那些音是重要的。這其實是律學的中心問題。也就是說，如果某一個音的頻率是F，那麼我們要尋找F和2F之間還有那些重要的頻率。 如果大家有學習弦樂器（比如吉它、古琴、小提琴）的經驗的話，都明白它們能發聲是因為琴弦的振動。而琴弦的振動是和琴弦的長度有關係的。如果在一根弦振動的時候，用手指按住弦的中點，即讓原來全部振動的弦，變成兩根以1/2長度振動的弦，我們會聽到一個比較高的音。這個音和原來的音之間就是八度音程的關係。因為在物理上，弦的振動頻率和其長度是成反比的。 由於弦樂器是世界各地發展得最早的樂器種類之一，所以這種現象古人早已熟悉。他們自然會想：如果八度音程的2:1的關係在弦樂器上用這麼簡單一按中點的方式就能實現，那麼試試按其它的位置會怎麼樣呢？數學上2:1是最簡單的比例關係了，簡單性僅次於它的就是3:1。那麼，我們如果按住弦的1/3點，會怎麼樣呢？其結果是弦發出了兩個高一些的音。一個音的頻率是原來的3倍（因為弦長變成了原來的1/3），另一個音是原來的3/2倍（因為弦長變成了原來的2/3）。這兩個音彼此也是八度音程的關係（因為它們彼此的弦長比是2:1）。這樣，在我們要尋找的F～2F的範圍內，出現了第一個重要的頻率，即3/2F。（那個3F的頻率正好處於下一個八度，即2F～4F中的同樣位置。） 接著再試，數學上簡單性僅次於3:1的是4:1，我們試試按弦的1/4點會怎樣？又出現了兩個音。一個音的頻率是原來的4倍（因為弦長變成了原來的1/4），這和原來的音（術語叫「主音」）是兩個八度音程的關係，可以不去管它。另一個音的頻率是主音的4/3倍（因為弦長是原來的3/4）。現在我們又得到了一個重要的頻率，4/3F。 同一根弦，在不同的情況下振動，可以發出很多頻率的聲音。在聽覺上，與主音F最和諧的就是3/2F和4/3F（除了主音的各個八度之外）。這個現象也被很多民族分別發現了。比如最早從數學上研究弦的振動問題的古希臘哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前6世紀）。我國先秦時期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》也記載了所謂「三分損益律」。具體說來是取一段弦，「三分損一」，即均分弦為三段，舍一留二，便得到3/2F。如果「三分益一」，即弦均分三段後再加一段，便得到4/3F。 得到這兩個頻率之後，是否繼續找1/5點、1/6點等等繼續試下去呢？不行，因為聽覺上這些音與主音的和諧程度遠不及3/2F、4/3F。實際上4/3F已經比3/2F的和諧程度要低不少了。古人於是換了一種方法。與主音F最和諧的3/2F已經找到了，他們轉而找3/2F的3/2F，即與最和諧的那個音最和諧的音，這樣就得到了（3/2）2F即9/4F。可是這已經超出了2F的範圍，進入了下一個八度。沒關係，不是有「等差音高序列」嗎？在下一個八度中的音，在這一個八度中當然有與它等價的一個音，於是把9/4F的頻率減半，便得到了9/8F。 接著把這個過程循環一遍，找3/2的3次方，於是就有了27/8F，這也在下一個八度中，再次頻率減半，得到了27/16F。 就這樣一直循環找下去嗎？不行，因為這樣循環下去會沒完沒了的。我們最理想的情況是某一次循環之後，會得到主音的某一個八度，這樣就算是「回到」了主音上，不用繼續找下去了。可是（3/2）n，只要n是自然數，其結果都不會是整數，更不用說是2的某次方。律學所有的麻煩就此開始。 數學上不可能的事，只能從數學上想辦法。古人的對策就是「取近似值」。他們注意到（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近，於是決定這個音就是他們要找的最後一個音，比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣，從主音F開始，我們只需把「按3/2比例尋找最和諧音」這個過程循環5次，得到了5個音，加上主音和4/3F，一共是7個音。這就是為什麼音律上要取do、re、mi等等7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。 這7個音符的頻率，從小到大分別是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。 如果這裡的F是do，那麼9/8F就是re、81/64F就是mi……，這7個頻率組成了7聲音階。這7個音都有各自正式的名字，在西方音樂術語中，它們分別被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下屬音（subdominant）、屬音（dominant）、下中音（submediant）、導音（leading tone）。其中和主音關係最密切的是第5個「屬音」so和第4個「下屬音」fa，原因前面已經說過了，因為它們和主音的和諧程度分別是第一高和第二高的。由於這個音律主要是從「屬音」so即3/2F推導出來的，而3/2這個比例在西方音樂術語中叫「純五度」，所以這種音律叫做「五度相生律」。西方最早提出「五度相生律」的是古希臘的畢達哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），東方是《管子》一書的作者（不一定是管仲本人）。我國歷代的各種音律，大部分也都是從「三分損益律」發展出來的，也可以認為它們都是「五度相生律」。 仔細看上面「五度相生律」7聲音階的頻率，可以發現它們彼此的關係很簡單：do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si 之間的頻率比都是9:8，這個比例被稱為全音（tone）；mi～fa、si～do 之間的頻率比都是256:243，這個比例被稱為半音（semitone）。 「五度相生律」產生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太複雜了。前面說過，如果按住弦的1/5點或者1/6點，得到的音已經和主音不怎麼和諧了，現在居然出現了81/64和243/128這樣的比例，這不會太好聽吧？於是有人開始對這7個音的頻率做點調整，於是就出現了「純律」（just intonation）。 「純律」的重點是讓各個音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個音和主音的頻率比盡量簡單。「純律」的發明人是古希臘學者塔壬同（今義大利南部的塔蘭托城）的亞理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（東方似乎沒有人獨立提出「純律」的概念。）此人是亞理士多德的學生，約生活在公元前3世紀。他的學說的重點就是要靠耳朵，而不是靠數學來主導音樂。他的書籍現在留下來的只有殘篇，不過可以證實的是他最先提出了所謂「自然音階」。 自然音階也有7個音，但和「五度相生律」的7聲音階有不小差別。7個自然音階的頻率分別是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。確實簡單多了吧？也確實好聽多了。這麼簡單的比例，就是「純律」。 可以看出「純律」不光用到了3/2的比例，還用到了5/4的比例。新的7個頻率中和原來不同的就是5/4F、5/3（＝5/4×4/3）F、15/8（＝5/4×3/2）F。 雖然「純律」的7聲音階比「五度相生律」的7聲音階要好聽，數學上也簡單，但它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了，但各音之間的關係變複雜了。原來「五度相生律」7聲音階之間只有「全音」和「半音」2種比例關係，現在則出現了3種：9:8（被叫做「大全音」，major tone，就是原來的「全音」）、10:9（被叫做「小全音」，minor tone）、16:15（新的「半音」）。各位把自然音階的頻率互相除一下就能得到這個結果。更進一步說，如果比較自然音階中的re和fa，其頻率比是27/32，這也不怎麼簡單，也不怎麼好聽呢！所以說「純律」對「五度相生律」的修正是不徹底的。事實上，「純律」遠沒有「五度相生律」流行。 對於「五度相生律」的另一種修正是從另一個方向展開的。還記得為什麼要取7個音符嗎？是因為（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近。可這畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個八度之內，這麼小的差距也許沒什麼，但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度，那麼這種近似就顯得不怎麼好了。於是人們開始尋找更好的近似值。 通過計算，古人發現（3/2）12≈129.7，和27＝128很接近，於是他們把「五度相生律」中「按3/2比例尋找最和諧音」的循環過程重複12次，便認為已經到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和4/3F，現在就有了12個音符。 注意，現在的「規範」音階不是do、re、mi……等7個音符了，而是12個音符。這種經過修改的「五度相生律」推出的12聲音階，其頻率分別是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。 和前面的「五度相生律」的7聲音階對比一下，可以發現原來的7個音都還在，只是多了5個，分別插在它們之間。用正式的音樂術語稱呼原來的7個音符，分別是C、D、E、F、G、A、B。新多出來的5個音符於是被叫做C#（讀做「升C」）、D#、F#、G#、A#。12音階現在不能用do、re、mi的叫法了，應該被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相鄰兩個音符的頻率互相除一下，就會發現它們之間的比例只有兩種：256:243（就是原來的「半音」，也叫做「自然半音」），2187:2048（這被叫做「變化半音」）。 也就是說，這12個音符幾乎可以說又構成了一個「等差音高序列」。它們之間的「距離」幾乎是相等的。（當然，如果相鄰兩個音符之間的比例只有一種的話，就是嚴格的「距離」相等了。）原來的7聲音階中，C～D、D～E、F～G、G～A、A～B之間都相隔一個「全音」，現在則認為它們之間相隔了兩個「半音」。這也就是「全」、「半」這種叫法的根據。 既然C#被認為是從C「升」了半音得到的，那麼C#也可以被認為是從D「降」了半音得到的，所以C#和Db（讀做「降D」）就被認為是等價的。事實上，5個新加入的音符也可以被寫做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。 這種12聲音階在音樂界的地位，我只用舉一個例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對應的就是原來7聲音階中的C、D……B，所有的黑鍵對應的就是12聲音階中新加入的C#、Eb……Bb。 從7聲音階發展到12聲音階的做法，在西方和東方都出現得很早。《管子》中實際上已經提出了12聲音階，後來的中國音律也大多是以「五度相生律」的12聲音階為主。畢達哥拉斯學派也有提出這12聲音階的。不過西方要到中世紀晚期才重新發現它們。 能不能把「五度相生律」的12聲音階再往前發展一下呢？可以的。12聲音階的依據就是（3/2）12≈129.7，和27＝128很接近，按照這個思路，繼續找接近的值就可以了嘛。 還有人真地找到了，此人就是我國西漢的著名學者京房（77 BC－47 BC）。他發現（3/2）53≈2.151×109，和231≈2.147×109也很接近，於是提出了一個53音階的新音律。要知道古人並沒有我們現在的計算器，計算這樣的高次冪問題對他們來說是相當麻煩的。 當然，京房的新律並沒有流行開，原因就是53個音階也太麻煩了吧！開始學音樂的時候要記住這麼多音符，誰還會有興趣哦！但是這種努力是值得肯定的，也說明12聲音階也不完美，也確實需要改進。 「五度相生律」的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的頻率比例有兩種（自然半音和變化半音），而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2187:2048）/（256:243）≈1.014。好像差不多哦？但其實自然半音本身就是256:243≈1.053了。 如果12聲音階是真正的「等差音高序列」的話，每個半音就應該是相等的，各個音階就應該是「等距離」的。也就是說，真正的12聲音階可以把一個八度「等分」成12份。為什麼這麼強調「等分」、「等距離」呢？因為在音樂的發展過程中，人們越來越覺得有「轉調」的必要了。 所謂轉調，其實就是用不同的音高來唱同一個旋律。比方說，如果某一個人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），樂器為了給他伴奏，得在C～高音C之內彈奏旋律；如果另一個人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），樂器得在D～高音D之內彈奏旋律。可是「五度相生律」的12聲音階根本不是「等差音高序列」，人們會覺得C～高音C之內的旋律和D～高音D之內的旋律不一樣。特別是如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會很明顯。可以說，如果現在的鋼琴是按「五度相生律」來決定各鍵的音高，那麼只要旋律中涉及到許多黑鍵，彈出來的效果就會一塌糊塗。 這種問題在弦樂器上比較好解決，因為弦樂器的音高是靠手指的按壓來決定的。演奏者可以根據不同的音域、旋律的要求，有意地不在規定的指位上按弦，而是偏移一點按弦，就能解決問題。可是鍵盤樂器（比如鋼琴、管風琴、羽管鍵琴等）的音高是固定的，無法臨時調整。所以在西方中世紀的音樂理論里，就規定了有些調、有些音是不能用的，有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風琴，為了應付可能出現的各種情況，就預先準備下許多額外的發音管。以至於有的管風琴的發音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規則上的缺陷，導致一方面作曲家覺得受到了限制，一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。 問題的根源還是出在近似值上。「五度相生律」所依據的（3/2）12畢竟和27並不完全相等。之所以會出現兩種半音，就是這個近似值造成的。 對「五度相生律」12聲音階的進一步修改，東、西方也大致遵循了相似的路線。比如東晉的何承天（370 AD－447 AD），他的做法是把（3/2）12和27之間的差距分成12份，累加地分散到12個音階上，造成一個等差數列。可惜這只是一種修補工作，並沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把（3/2）12和27之間的差距分散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的3/2的比例關係（這個「純五度」是一個音階中最重要的和諧，即使是在12聲音階中也是如此），這種分散註定不是平均的，最好的結果也是12音中至少有一個「不在調上」。如果把差距全部分散到12個音階上的話，就必須破壞C和G之間的「純五度」，以及C和F之間的4/3比例（術語是「純四度」）。這樣一來，雖然方便了轉調，但代價就是音階再也沒有以前好聽了。因為一個八度之內最和諧的兩個關係――純五度和純四度――都被破壞了。 一直到文藝復興之前，西方音樂界通行的律法叫「平均音調律」（Meantone temperament），就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下，把（3/2）12和27之間的差距盡量分配到12個音上去。這種折衷只是一種無可奈何的妥協，大家其實都在等待新的音律出現。 終於還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個八度內均分12份嗎？直接就把2:1這個比例關係開12次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應該是21/12。如果12音階中第一個音的頻率是F，那麼第二個音的頻率就是21/12F，第三個音就是22/12F，第四個音是23/12F，……，第十二個是211/12F，第十三個就是212/12F，就是2F，正好是F的八度。 這是「轉調」問題的完全解決。有了這個新的音律，從任何一個音彈出的旋律可以複製到任何一個其它的音高上，而對旋律不產生影響。西方巴洛克音樂中，復調音樂對於多重聲部的偏愛，有了這個新音律之後，可以說不再有任何障礙了。後來的古典主義音樂，也間接地受益匪淺。可以說沒有這個新的音律的話，後來古典主義者、浪漫主義者對於各種音樂調性的探索都是不可能的。 這種新的音律就叫「十二平均律」。首先發明它的是一位中國人，叫朱載堉（yù）。他是明朝的一位皇室後代，生於1536年，逝世於1611年。他用珠算開方的辦法（珠算開12次方，難度可想而知），首次計算出了十二平均律的正確半音比例，其成就見於所著的《律學新書》一書。很可惜，他的發明，和中國古代其它一些偉大的發明一樣，被淹沒在歷史的塵埃之中了，很少被後人所知。 西方人提出「十二平均律」，大約比朱載堉晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當時西方音樂界對於解決轉調問題的迫切要求。當然，反對「十二平均律」的聲音也不少。主要的反對依據就是「十二平均律」破壞了純五度和純四度。不過這種破壞程度並不十分明顯。 「十二平均律」的12聲音階的頻率（近似值）分別是：F（C）、1.059F（C#／Db）、1.122F（D）、1.189F（D#／Eb）、1.260F（E）、1.335F（F）、1.414F（F#／Gb）、1.498F（G）、1.587F（G#／Ab）、1.682F（A）、1.782F（A#／Bb）、1.888F（B）。 注意，現在所有的半音都一樣了，都是21/12，即1.059。以前的自然半音和變化半音的區別沒有了。 另外，原來「五度相生律」的12音階中，C和G的比例是3/2（即純五度），現在「十二平均律」的12音階中，C和G的比例是1.498，和純五度所要求的3/2（1.5）非常接近。原來「五度相生律」的12音階中，C和F的比例是4/3（即純四度），現在「十二平均律」的12音階中，C和F的比例是1.335，和純四度所要求的4/3（1.333）也非常接近。所以「十二平均律」基本上保留了「五度相生律」最重要的特性。又加上它完美地解決了轉調問題，所以後來「十二平均律」基本上取代了「五度相生律」的統治地位。現在的鋼琴就是按「十二平均律」來確定各鍵音高的。現在學生們學習的do、re、mi也是按「十二平均律」修改過的7聲音階。現在如果想聽「五度相生律」或者「純律」的do、re、mi，已經很不容易了。 BTW：現在鋼琴的音高標準是按「中央C」（即通常的do）右邊的第五個白鍵（按術語說是A4）的頻率來定的。這個A鍵的頻率被確定為440HZ。確定了它，鋼琴上其它鍵的頻率都可以按「十二平均律」類推得到。不過在某些國家（比如東歐），也有把這個鍵的頻率定為444HZ的。歷史上，這個A鍵的標準曾經有過很多次變化。比如在1759年，英國劍橋的「三一學院」（Trinity College Cambridge）的管風琴的這個A鍵，就曾經被定在309HZ。可以想像在這裡聽到的旋律和我們現在聽到的旋律該有怎樣大的差別。研究古代音樂家的作品的時候，對於當時音高標準的研究也是很重要的一部分。（關於音高標準在歷史上的變化，可以參考這裡。） 關於「十二平均律」，最後要提的是所謂「大調」、「小調」的問題。自從「五度相生律」提出12音階以來，12音階和原來的7音階之間的關係一直就被人們所研究。也就是說，在原來的7音階之外，現在人們可以在12音階中選取其它的7個音來作為音樂的「標尺」了。這可以給作曲家們以更大的創作自由。 以C～高音C的八度為例，如果我們選擇原來的7音階，即C、D、E、F、G、A、B，這就被稱為「大調」（major scale），又因為這個大調的主音是C，所以被稱為「C大調」。而如果我們選擇C、D、D#（Eb）、F、G、G#（Ab）、A#（Bb），這就被稱為「c小調」（C minor scale）。用小寫c的原因是表示這是小調。 大調和小調的區別就在於，大調和小調里各音之間的「距離感」不同，以它們為基礎來作曲，給聽眾的感覺也不相同。這就讓作曲家有了用音樂表現不同情緒的機會。 西方中世紀的音樂理論里，曾經提出了8種不同的方法在12音中選7個音作為基準，其中就包含了我們現在談的大調和小調。當時的音樂理論給予這8種調性（mode）以不同的感情色彩，比如有的被認為是「悲傷的」，有的被認為是「快樂的」，有的被認為是「朝氣蓬勃的」等等。這8種調性中有一些現在已經很少用了，現在最流行的是大調和小調這兩種。 由於「十二平均律」允許隨意轉調，這就讓作曲家可以更為地自由創作。以前由於各音之間的半音「不等距」的問題，有些調被認為不能寫作的，現在也可以毫無阻礙的進行創作了
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