認知封閉性與數學實在論

孟祥妲

作者簡介：孟祥妲，中國人民大學哲學院邏輯學專業博士研究生。(北京 100872)

人大複印：《邏輯》2008 年 03 期

原發期刊：《湖北社會科學》2008 年第 2 期 第 116-118，134 頁

關鍵詞： 認知封閉性/ 數學實在論/ 唯名論數學/

摘要：利用認知封閉性這一心靈哲學概念，考察數學哲學中實在論與反實在論之爭的問題。同時為現代柏拉圖主義的數學實在論提供一種新的論證策略。

柯林·麥金在他的《我們能夠解決心身問題嗎？》一文中，為了心靈哲學的目的引入了認知封閉性的思想。有理由相信，這個概念加以改進或變化，可以具有廣泛的形而上學適用性。認知封閉性原來的表述是，一種心靈M相對於一個性質P(或理論T)是認知封閉的，當由M掌握的概念形成程序無法擴展到對P的把握(或者對T的理解)。[1](p365)我認為，這個概念可以充當在數學哲學中解決實在論與反實在論之爭的一把鑰匙。使我們得以考察，我們的認識能力在與抽象之物建立聯繫又相互分離的過程中，究竟發生了什麼。

按照柯林·麥金原來論文的說法，他所考察的認知封閉性是在不同種類的心靈(即不同物種)之間作比較所得的相對封閉性質。與之不同的是，我們談論的是一種心靈(人心)對不同對象的封閉性(是否存在的)問題。就所針對的問題而言，二者的區別並不大，需要強調的是，當我們考察心靈的概念形成程序作用於抽象對象的時候，我們可能要改變這些概念的原意才行。

我們首要關心的是為什麼人們會自然地形成關於數學抽象對象是實在的這種觀念，以及這種實在觀本身作為一種性質考察的時候，我們的認知相對它是封閉的。其次，我們要追問，如果數學對象的實在性的確是認知封閉的，它的認識論後果是什麼，它是否取消了我們通常所關心的那些數學哲學問題。本文的另外一個目的，是要重申哥德爾式的現代柏拉圖主義的數學實在論，同時對蒯因和普特南的「不可或缺論證」式的整體主義數學實在論以及唯名論數學哲學加以比較和評論。

認識論上的懷疑論和不可知論歷史悠久，近代以來的哲學發展到處都能找到它們的影子。從表面上看，認知封閉性概念的表述是不可知論的某種形式。但是我寧願把它看作是對人類全知性不可能的肯定表達。說理性有局限、不是萬能的，已經是老生常談——這種說法近於空洞。對於現代哲學而言，認識論的目的是在所有可能的範圍內，說明理性的可能的界限在哪裡，進而為人類的思考和活動提供恰當的合理性辯護。道理上講，沒有一種統一的形而上學方法(除了類似現象學那樣的例外)找到人類心靈的統一界限。除非心靈哲學的計算主義成立——人的心靈活動是一種計算過程—我們可以給出一個嚴格的上界，超出之後都不再是這種意義上「可計算的」。

儘管上述想法會跟我們的認知封閉性概念密切關聯，但是我們不必拘泥於這種想法。事實上，即便計算主義可以成立，也無非是把我們所面臨的困難推到一種更廣闊的背景上去。我們不妨對不同的領域逐個去考察理性的可能局限的問題。唯一值得我們注意的是，當我們考察數學哲學的論題時，計算主義會更加直接相關。

僅就數學實在論觀念的產生而言，它可以是基於以下幾種背景：人們在進行計數和計算的時候，會自然的由於成功性帶來關於那些數學命題是正確的還是錯誤的、是真的還是假的這種觀念；數學活動進一步發展，數學家會不斷抽象出新的數學概念，他們發現這些概念似乎具有某種獨立的結構，僅僅考察這些結構上的關係和性質，他們就能夠造出一些有意義的命題，他們可以為這些命題的真或假達成某種共識，在這種共識基礎之上，又可以不斷繼續前進；另一方面，數學本身最基本的要素來源於我們對物理世界的認識，數學會不斷地表現出對科學的可應用性，更為極端的是，數學家們在純粹概念的構造上走得足夠遠，卻發現如此抽象的、完全為了不同的目的看上去與現實世界無關的結果，可以成為對物理世界恰當描述的工具。而神秘感恰好來源於此。

這不是一幅完整的圖景，但對於我們的目的而言有很好的指示性作用。考慮人的經驗結構，說數學抽象對象存在跟說物理對象存在是完全不同的。無論是數、集合和函數，都不是靠我們的感官可以把握的。我們需要一種概念形成程序的幫助，才能在我們的心裡留下它們的印象和表徵。需要指出的是，從先驗的可能性出發，說認知封閉性對任何對象和性質都不成立與說一切對象和性質都對人的認知封閉，在邏輯上都是沒有矛盾的。前者是說存在全知，後者是說感官和思維都是虛幻的。問題在於，怎麼說明剛好有這樣一組性質對認知封閉。也許需要特設性假設，也許還需要我們至今未曾考察過的、這些對象跟整個世界的外部關聯。

如果數學對象是嚴格限制在有窮的範圍內，我們所面臨的困難會小很多。因為它可以跟我們的常識理性很好的結合起來，提供一種我們直觀上易於接受的直覺形式，而使得對對象存在性的追問變得似乎不那麼重要。基於一種顯然是可行的觀念下的操作，就可以為它提供合理性說明，無論說它是哪種意義上的存在都未嘗不可。數學哲學的唯名論就是從這種常識理性出發的。當然，這種常識理性也可能隱藏一些難解之謎。問題是，無窮，能否合理地稱之為對象？

我們的概念形成程序顯然給了我們一個最下面一層的回答：我們會自然的形成無窮的觀念，無論是一個無窮大的外部世界，還是一個抽象的、無窮長的序列。考慮有理數的情形，我們甚至可以說對某種無窮長序列的觀念有著良好的感知能力。考慮無理數，清晰性消失，只有否定性結論。我們認知的概念形成程序似乎停下來了，我們甚至不能一般地說什麼是一個確定的實數——更遑論我們有如此之強的無理(數)性和超越性。

更大的困難出現在整體這個概念上。我們會自然而然地把一組對象看作一個整體，甚或把對世界所能說的話看作是整體。雖然我們無論對整個宇宙還是對某個具體的對象都只能說有限的話。但是直覺告訴我們，我們仍然可以把它們當作確定的對象加以討論。而形式化和元數學的發展，的確給我們提供了這種討論的工具。很難說它不是我們概念形成程序的一個合理的組成部分。今天，我們像談論一個群或者一個拓撲空間一樣，談論一個(形式)理論或者一個極大一致的句子集，甚至談一個超過集合意義上的範疇。它們都能夠為一個概念形成程序所捕捉，並藉助各種數學手段談論它們內部結構和真值。當然，我們可以說，由於它們的共同的「基礎」問題，集合論中的那些否定性的和獨立性的結果，模糊了談論二者之間的界限。

這樣，我們大致上可以把認知封閉性施加於數學實在論的兩個方面。對實在論斷言這一性質的封閉性是根本的。但是，它是否受制於人的認知結構和認知能力，以及究竟以何種方式受制約，這些都是無法證實的。我們的想像能力受制於邏輯規律——如果它試圖合理的、正確的行事。我們的智力結構使我們不能夠一下子、完全地捕捉到任何一般的無窮對象，而從數學唯名論的角度來看，數學的客觀性及邏輯與計算等的先天性與必然性，可以通過考察由大腦的先天結構決定的我們的想像能力的界限來解釋。[2](p10)在這一點上，數學唯名論觀念所揭示的可能是正確的。我們不能夠先驗地知道我們所不知——不能先驗的說人對無窮可以有哪些直觀，哪些直觀是理性觸及不到的通常數學家們的信念是，人類能夠提出的問題，人類就能解決它；而認知封閉性告訴我們，對於那個封閉的性質，我們不能合理的和恰好的提問。它允許我們提問題，但不允許我們究極。(考慮不完全性的強化形式：不可判定命題集不是遞歸可枚舉的，這一點就更加明顯了)。

經典的柏拉圖主義數學實在論並不考慮這些問題。按照哥德爾的那種強的形式，數學實在論意味著接受所有數學語言中可以表述的抽象實體，無論是數、集合、類還是其上的各種構造，只要它們在數學實踐中應用並且可以在邏輯推出。這種建立在概念實在論基礎上的數學實在論，我將其稱為建構論理性主義的哲學理論。

柏拉圖主義的基本立場可以表述為：1.存在獨立於人類認識的數學客體對象；2.存在關於這些對象的不依賴於(人的)證明的真命題；3.數學在本質上不是人的任意的創造。被強調的是獨立性和客觀性，但是人的認識如何發生作用是同樣重要的，因為它無疑需要一種解釋、說明甚至是證實。作為反實在論者的達米特對這種立場有一個很好的說明：按照數學理論的柏拉圖主義解釋，中心概念是數學真理概念，掌握屬於數學理論語言的語句的意義就在於知道什麼使該語句為真。

哥德爾正是這種意義上的柏拉圖主義者。很容易看出來，作為一種形而上學，它是非常強的，幾乎是一種理性主義的極致。它是人們關於世界的「理念」及認知和諧性和統一性的這一古老信條的現代翻版。我們數千年來都在找這種理念的獨立存在和合理性，聯繫到哥德爾試圖證明上帝存在的那個形式證明，不難理解，它們是基於更一般的、遠為形而上學得多的信念的。總的來說，它不符合我們的「時代精神」。它必然地要訴諸一個完整的概念體系，並且，更為重要的，要訴諸於這個概念體系的嚴密化和精確化的過程。進一步的，它體現為一種自上而下的對概念把握的直覺層次。我們擁有的是對原初概念、派生概念等等的直覺，還包括這些直覺的總括之上的直覺，諸如此類。

有了現代邏輯的方法，應該說我們已經能夠很好地重現數學家和哲學家所進行的創造性工作的背後的邏輯推理過程了。儘管由於邏輯尤其是一階邏輯的良好性質，我們可以放心大膽的使用它。但是它對那些無窮多的可能的直覺層次並不能外部性的整體地把握。不完全性定理本身也昭示出直覺是嚴格的邏輯證明程序所不及。但是它是否能得出數學直覺的不可消去性呢？沒有這樣的直接結論。直覺全部都是可錯的，並且直覺的內在結構非常複雜——它經常表現為，一個時代被認為是正確的數學直覺，到了另一個時代被一種新觀點取代，它被拋棄掉了，錯了！

依照哥德爾的意見，我們可以把一切都放心大膽地交給直覺，只要去抓住那個直觀上合理的最基本的概念。我們假設放棄了前面那一種證明論辯護的必要性，那麼這種概念論體系，我們姑且稱之為理論T，它對我們的認知是開放的嗎？這涉及現代數學哲學的根本問題：我稱之為神秘主義和神秘感是否可消除的問題。如果數學是先天綜合真理，這意味著，如果假設數學對象是客觀存在的，那麼從認識論的角度，我們將無法解釋，我們究竟如何認識關於抽象數學對象的真理，尤其是關於實無窮的真理。[3](p-2)除了離散的序列和推導的那些全稱的數論命題，我們的關於無窮的數學直覺，全都可以說是帶有某種奇異性的。無論在集合論中還是在具體的數學理論中，都不難找出各種形而上學理由拒斥它們。而它們顯然不能依靠自身來證明其合理性。

唯名論者恰好是看到了數學實在論所面臨的這一最根本的認識論困難。認為這個難點使得數學實在論不可能成立，即如果假設抽象數學對象真的存在，數學定理是關於抽象數學對象的真理，我們的數學知識就不可解釋。進一步的，他們稱數學對象為「有用的虛構」，我們只是聰明而巧妙地談論它們。可以把它們看作是「真實」的數學的模擬。

現在我們不得不承認，這種想法是有著部分合理性的。「存在」著這樣的形而上學的概念論理論體系T，它對我們的認知是封閉的——第一，我們的知覺對其封閉；第二，從我們的知覺中引不出任何形式的推理使我們達到T。(心靈M的超驗直覺和理論T的關係遠為複雜，我認為它仍然是封閉的。)哥德爾本人在基本信念上是堅定的，但是在其形而上學構建上是不成功的。概念不確定性這一外部表現無疑困擾著他。雖然他給出了「不是概念在變，而是我們對概念的知覺在變」這樣的回答。但是現在整理出的文獻看不出對這一問題的進一步的、更為直接和明晰的解釋。

柯林·麥金的論文的目的是在保留實在論的前提下取消身-心問題。而這裡的目的有所不同，是期望能夠在保留實在論的前提下找到一種比極端的理性主義者弱但是更有可能成功的策略，以說明柏拉圖主義數學實在論將繼續保持其生命力。

對於身-心問題，柯林·麥金的觀點是悲觀主義的同時也是樂觀主義的：[1]對身—心問題達到一個建設性地解決的展望上，它是悲觀主義的；但是在我們取消這個哲學困惑的希望上，它是樂觀主義的。大體上，本文的結論性與之類似。

進一步說，柯林·麥金要取消的問題，不是一個沒有價值的問題，而是一個沒有答案的問題。它涵蓋著，概念形成程序不足以形成任何可直觀的關於心靈的(合乎形而上學需要的)概念。而我們最基本的最簡單的數學直覺，或者不如說集合論直覺，卻可以達到這一點。它的含義是，我們可以擁有次一級的概念，他們的層次較低，更直觀明確。那會是幾乎所有數學家都會同意的觀點：序列的可直觀性和屬於關係有秩。

顯然簡單接受這些對於數學的具體目的而言是不夠的。但是我們可以合理地說，直覺可以一再顯現是堅實的。它還隱含著，我們的數學活動的客觀性和數學對象的客觀性是聯繫在一起的。我們全都擁有數學活動中的那些導致「共同同意」的交集。經典數學中的簡單性和優雅型是附著於其客觀性之上的(這當然是一個附加的認知論假設)，唯名論數學、直覺主義數學以及其他所有的潛在競爭者，就其構建形式而言，依科學的標準遠遜之。它們全都繁重不堪，並且其適用性標準完全不清晰，無論對於純數學命題還是對於物理學和其他自然科學而言。它們可能會悄悄地把外部支持引進來。

唯名論者說這是誤會了數學哲學的目的，但是同樣可以說，他們誤會了人類認知的目的。如果我們滿足於在此岸解決當下的難題，就可以不必過問彼岸世界的事情了。我要說的是，這種說法(在此岸解決)是不是此岸世界的特徵，還在未定之天。很有可能，特設的、有直觀和理性和常識理性作保證的屬於此岸世界的方法(比如說，有窮主義)作為一個一攬子方案本身卻是一個非此岸的問題。它同樣要引起我們並不比其他方案更少神秘感的新的直覺。而且它對於消除神秘主義並沒有任何幫助。(藉助於心靈哲學的身-心關係問題，計算主義方法得到的是確實度降得更低的結論，操作主義或能行主義並不比這更好。)按照有窮主義的要求，能夠不斷地構造出有窮主義的系統並且證明其相對於經典數學的保守性，這仍然是形而上學信念。

一個回答是唯名論數學不再需要它的元數學，它只需關心它所說出的和它能說出什麼——它是其所是。或者說，它的元數學不重要，因為直觀上說，判定真並不困難，很容易為之找到很好的判定程序。

問題是，我們能否現實地擁有這樣一部計算機。經典數學的元數學結果這裡仍然要起作用：一方面要無窮多的這樣的計算機；另一方面，這些計算機面對的是無窮多語句的組合。後一方面可能是不重要的。但是，唯名論數學永遠可以說它自身就是有意義的。我想從這一點出發我們不能直接回答「有意義」這個問題。數學的目的性活動卻有一個解釋。就費瑪大定理這樣一個算術命題而言，我們完全知道它有什麼「意義」：它具有數論中可以定義出來的那些良好的組合性質，它在自然數算術的標準模型上真。(我們暫不討論其證明過程的中大基數存在假設和可消除性，但是這與進一步的研究相關。)

我們可以合理地要求有窮主義、直覺主義像我們通常所作的邏輯分析那樣，對數學實踐和數學活動的目的作解釋，就像我們在證明論中說明什麼是句法和證明，在模型論中說明什麼是真那樣。而要說明這些，還要更多的、一般性的證據。

除了唯名論這個對手以外，實用主義的、整體主義的、基於不可或缺論證的數學實在論，作為一種思想方法和論證策略，也是柏拉圖主義的數學實在論所不能同意的。

面對整體主義的「不可或缺論證」，我們承認，數學哲學的目的至少包括我們能夠合理地認識世界或解釋世界，那就意味著超越感覺經驗無非是一種「摹寫」，理論不具有「真實」性的特徵。而從這種觀念出發，要嚴格地區分哪些是物理理論、哪些是數學理論，是根本辦不到的。

哥德爾暗示形而上學初始概念的闡發可以使「一切就緒」，這幾乎可以理解為對認知封閉性的突破。他想把自己的概念論的直覺觀念與胡塞爾現象學中的本質直觀聯繫起來，建立一套具有嚴格科學特徵的哲學體系。我認為這種思想方法有重要的認識論的指導意義，依據它們前行可以獲得一批有價值的成果。但是就其所要實現的最高目標而言是無法達到的。然而它們可以被一個基於完全相同的本體論信念的論證策略所代替和包括進來。我們只談經典數學的話，可以簡單的說不斷地需要從人類的日趨強大的直覺能力中汲取靈感。但是一個或幾個這樣的簡單的自明的形而上學概念和公理，就可以使我們正確地行事這種信念，是獨立於數學實在論的信念的。認知封閉性給理論T包上這樣一個外殼，我們不能打開它。但是我們可以不斷地從不同側面敲擊它，運用我們的直覺能力感受它的迴音。而且，數學實在論的信念，由於不同側面的信息聚集總體上趨向於一種集中而不斷地得到加強，這是完全可能辦得到的。我們繼續堅持我們的柏拉圖主義信念，我們所要做的，就是在數學實踐中和基於直觀的哲學反思中——這過程中哥德爾的論證方式完全可以成為一種助探方法——考察那些使得柏拉圖主義信念不斷得到加強、使得與其對立的哲學觀念不斷被否證的證據。相對於前面的建構論理性主義的數學實在論，我將其稱之為數學實在論的有限理性主義的論證策略。關於這套方案，將在作者的博士學位論文中得到詳盡的論述。

參考文獻：

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[3]葉峰.當代數學哲學中的不可或缺性論證與一種唯名論數學哲學.教育部2004年社會科學重大課題攻關項目「當代科學哲學發展趨勢研究」(項目編號04JED0004)資助(未發表版本)

[4]葉闖.直覺與哥德爾對數學概念實體存在之證明[J].哲學研究，2003，(7).