自動控制總結：第四章、頻率響應分析法

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自動控制總結：第四章、頻率響應分析法

頻率響應的特點：

①物理意義明確, 系統或元件的頻率特性可以用分析法、實驗法確定，用圖解法分析；

②對於一階系統、二階系統，頻域指標和時域指標有固定的對應關係；對於高階系統，兩者存在近似關係；

③頻域穩定性是根據開環特性研究閉環系統的穩定性，不必求閉環特徵方程式；

④頻域設計可兼顧動態響應和雜訊抑制兩方面的要求；

⑤頻率分析法不僅適用於線性定常系統，還可以應用於某些非線性系統

4.1頻率特性的基本概念

1、頻率特性的定義

先看一個RC網路引出頻率特性的基本概念，其微分方程為T $frac{du_{2}}{dt}$ + $u_{2}$ = $u_{1}$

令T＝RC，則網路的傳遞函數為G(S)= $frac{U_{2}(s)}{U_{1}(s)}$ = $frac{1}{Ts+1}$

設輸入為 $u_{1}$ =Asinwt ，那麼其拉氏變換 $U_{1}$ (s)= $frac{Aw}{s^2+w^2}$

所以 $U_{2}$ (s)= $frac{1}{Ts+1}$ * $U_{1}$ (s)，

其拉氏反變換為 $u_{2 }$ = $frac{AwT}{1+w^2T^2}e^{-t/T}$ + $frac{A}{sqrt{1+w^2T^2}}$ sin(wt-arctanwT)

從式中可以看到，第一項是瞬態分量，第二項是穩態分量，當t→∞，第一項趨於0，

所以t趨向於無窮大時，只剩下第二項

$u_{2}=frac{A}{sqrt{1+w^2T^2}}$ sin(wt-arctanwT)=A| $frac{1}{1+jwT}$ |sin(wt+∠ $frac{1}{1+jwT}$ )

由此可以知道，網路對正弦輸入的穩態響應仍是一個同頻率的正弦信號，但幅值和相角發生了變化，其變化取決於頻率w。

用複數表示其G(jw)= $frac{1}{1+jwT}$ =A(w) $e^{jφ(w)}$

式中 A(w)= $frac{1}{sqrt{1+w^2T^2}}$ =| $frac{1}{1+jwT}$ |

φ(w)=-arctanwT=∠ $frac{1}{1+jwT}$

（幅值大家應該都能很好理解，那麼φ角，其實是根據向量的相除關係得到的，可以看成1除以1+jwT，那麼對應化成複數的指數形式之後，角度關係就是相減，前面的相角減去後面的相角，1的角度為0，而1+jwT為arctanwT，所以最後結果為-arctanwT）

G(jw)完整地描述了，忘了在正弦信號的輸入下，穩態輸出電壓幅值和相角隨正弦輸入電壓w的變化規律，稱為網路的頻率特性。

頻率特性的定義為：對於穩定的線性定常系統，在正弦信號的作用下，系統輸出的穩態分量為同頻率的正弦信號，其振幅與輸入正弦信號的振幅相比A(w)稱為幅頻特性，其相應與輸入信號正弦信號的相角之差φ(w)稱為相頻特性。系統的頻率響應與輸入正弦信號的複數比稱為系統的頻率特性，可表示為：G(jw)= $frac{C(jw)}{R(jw)}$ =A(w) $e^{jφ(w)}$

頻率特性的物理意義：

①5頻率特性表徵了系統或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性

②φ(ω)大於零時稱相角超前，小於零時稱相角滯後。

③頻率特性反映了系統的內在性質,與外界因素無關!!

2、頻率特性的幾何表示

（1）幅相頻率特性曲線：簡稱幅相曲線（奈氏曲線、極坐標圖）

是以w為變數，將頻率特性的幅頻特性和相頻特性同時表示在複數平面上，當w從0→∞變化時，向量的端點在複平面上的運動軌跡即為G(jw)的幅相特性曲線。

繪製幅相特性曲線有兩種方法：

①對每一個w值計算幅值A(w)和相角φ(w)，然後將這些點連成光滑曲線；

②對每一個w值計算U(w)、V(w)，然後連接成光滑曲線。

例子：

圖示是慣性環節的幅相曲線，為半圓。正實軸方向相角為零度線，逆時針方向正角度，順時針方向負角度。曲線上標註w增大的方向。

（2）對數頻率特性曲線：（對數坐標圖或伯德圖）

對數頻率特性曲線包括：a、對數幅頻特性b、對數相頻特性兩條曲線

設系統的頻率特性為G(jw)=|G(jw)| ∠G(jw)

定義： L(w)=20lg| G(jw)| 對數幅頻特性

φ(w)= ∠G(jw) 對數相頻特性

對數頻率特性曲線的橫坐標是頻率w，採用對數分度，單位是rad/s

對數幅頻特性曲線的縱坐標表示對數幅頻特性的函數值，採用均勻分度，單位是dB

對數相頻特性曲線的縱坐標表示相頻特性的函數值，採用均勻分度，單位是（°）

W每變化十倍，稱為一個十倍頻程，w變化一倍，稱為一倍頻程，圖中可知，十倍頻程在w軸的間距為一個單位長度。一個倍頻程的間隔距離為0.301個單位長度

（這裡就注意一下這個特點，比如φ(w)=-50τw，式子中我們可以知道是線性的，但是，在畫相頻特性曲線時，它不是一條直線，那是因為橫坐標是採用對數分度，而不是均勻分度）

對數頻率特性曲線特點：幅值乘除變為相加減，簡化作圖

（3）對數幅相特性曲線：尼科爾斯

它是將對數幅頻特性和對數相頻特性合起來繪製成一條曲線，橫坐標為∠G(jω)，縱坐標為20 lg |G(jω)|，頻率ω為參變數

4.2 典型環節的頻率特性

（1） 比例環節

①幅相頻率特性

傳遞函數： G(s)=K 頻率特性： G(jw)=K

幅頻特性： A(w)=K 相頻特性： φ(w)=0°

其曲線為實軸上一點。

②對數頻率特性

L(w)=20lgK φ(w)=0°

改變K：幅頻曲線升高或降低相頻曲線不變

（2）積分環節

①幅相頻率特性

傳遞函數： G(S)= $frac{1}{s}$ 頻率特性：G(jw)= $frac{1}{jw}$

幅頻特性： A(w)= $frac{1}{w}$ 相頻特性：-90°

矢量的模隨著ω的增大而減小

②對數頻率特性

L(w)=20lg $frac{1}{w}$ =-20lgw φ(w)=-90°

對數幅頻特性是一條直線，斜率為-20dB/dec

橫坐標lgw每增加單位長度，即w每增加十倍時，縱坐標減少20dB

對數相頻特性是一條平行於橫坐標的直線

對數曲線求斜率方法：

斜率= $frac{對邊}{領邊}$ = $frac{L_{a}-L_{b}}{lgw_{a}-lgw_{b}}$

求截止頻率，令|G(j)|=1

（3）微分環節

①幅相頻率特性

傳遞函數：G(S)=S 頻率特性：G(jw)=jw

幅頻特性：A(w)=w 相頻特性：φ(w)=90°

矢量的模隨著ω的增大而增大，G(jw)相量的端點從原點沿正虛軸趨向無窮遠處

②對數頻率特性

L(w)=20lgw φ(w)=90°

（4）慣性環節

①幅相頻率特性

傳遞函數：G(S)= $frac{1}{Ts+1}$ ，頻率特性：G(jw)= $frac{1}{Tjw+1}$

幅頻特性：A(w)= $frac{1}{sqrt{(TW)^{2}+1}}$ ，相頻特性：φ(w)=-arctanTw

w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°

w=1/T時， A(1/T)= $frac{1}{sqrt{2}}$ ， φ()=-45°

w=∞時，A(∞)=0，φ(∞)=-90°

證明慣性環節的幅相特性曲線為半圓：

首先頻率特性分解為實部和虛部

G(jω)=U(ω)+jV(ω)，其中U(w)= $frac{1}{(Tw)^2+1}$ ，V(w)= $frac{-Tw}{(Tw)^2+1}$ ， $frac{V(w)}{U(w)}$ =-Tw

即U(w)= $frac{1}{(Tw)^2+1}$ + $frac{1}{(-V/U)^2+1}$ = 所以有 $U^2-U+V^2=0$

配方後， (U- $frac{1}{2}$ $)^2$ + $V^2$ = $(frac{1}{2})^2$

②對數頻率特性

L(w)=20lg $frac{1}{sqrt{(TW)^{2}+1}}$ ，wT<<1時，L(w)≈20lg1=0，wT>>1時，L(w)≈20lg $frac{1}{Tw}$

φ(w)=-arctanTw

在w=1/T時，低頻漸近線和高頻漸近線相交，稱為交接頻率

用漸近線表示對數幅頻特性必然存在誤差，越靠近交接頻率誤差越大，因此最大誤差為：L(1/T)=-20lg $sqrt{2}$ ≈-3dB（其實這裡就是本來w=1/T時，分母應該等於 $sqrt{2}$ ，但是我們在話漸近線的時候，是直接看成1，因此產生了誤差）

漸進線誤差

（5）一階微分環節

①幅相頻率特性

傳遞函數：G(S)=Ts+1 頻率特性：G(jw)=Tjw+1

幅頻特性：A(w)= $sqrt{(Tw)^2+1}$ 相頻特性：φ(w)=arctanTw

②對數頻率特性

L(w)=20lg

φ(w)=arctanTw

（6）振蕩環節

①幅相頻率特性

傳遞函數：G(S)= $frac{w_{n}^2}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}$ = $frac{1}{T^2s^2+2ζTs+1}$ (式中T= $frac{1}{w_{n}}$ , 0<ζ<1)

頻率特性：G(jw)= $frac{1}{1-T^2w^2+2ζTjw}$

幅頻特性：A(jw)== $frac{1}{sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}}$

相頻特性：φ(w)=-arctan $frac{2ζTw}{1-T^2w^2}$

其特徵點有：

w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°

w=1/T時，A(1/T)= $frac{1}{2ζ}$ ，φ(1/T)=-90°

w=∞時，A(∞)=0，φ(∞)=-180°

圖中我們可以看到這個A(w)存在最小值

所以我們對A(w)求導，令 $frac{dA(w)}{dw}$ =0

則可以得到諧振頻率 $w_{r}$ = $w_{n}sqrt{1-2ζ^2}$ ，諧振峰值： $M_{r}$ =A( $w_{r}$ )= $frac{1}{2ζsqrt{1-ζ^2}}$

從兩個式子可以看出，諧振頻率與諧振峰值都與阻尼比有關，

ζ越小，wr越接近wn，諧振峰值 $M_{r}$ 越大，

而當ζ大於 $frac{sqrt{2}}{2}$ 時，將不發生諧振，即A(w)隨著w增大而單調減小

如果換一個坐標軸分析

②對數頻率特性

L(w)=20lg $frac{1}{sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}}$ =-20lg $sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}$

φ(w)=-arctan $frac{2ζTw}{1-T^2w^2}$

漸進線分析：

當w<<1/T時，L(w)=0

當w>>1/T時，L(w)=-20lg $(Tw)^{2}$

(圖中高上來的那一點就是取20lg諧振峰值)

比較不同的ζ：

漸進線誤差：

（7）二階微分環節

（和振蕩環節類似，也有諧振頻率，諧振峰值）

①幅相頻率特性

傳遞函數：G(S)= $T^2s^2+2ζTs+1$ （0<ζ<1）

頻率特性：G(jw)= $1-T^2w^2+2ζTjw$

幅頻特性：A(w)= $sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}$

相頻特性：φ(w)=arctan $frac{2ζTw}{1-T^2w^2}$

w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°

w=1/T，A(1/T)=2ζ，φ(1/T)=90°

w=∞，A(∞)=∞，φ(∞)=180°

②對數頻率特性：

L(w)=20lg $sqrt{(1-T^2w^2)^2+(2ζTw)^2}$

φ(w)=arctan $frac{2ζTw}{1-T^2w^2}$

(都與慣性環節相差一個負號)

（8）延時環節

①幅相頻率特性：

傳遞函數：G(S)= $e^{-τs}$

頻率特性：G(jw)= $e^{-τjw}$

幅頻特性：A(w)=1

相頻特性：φ(w)=-57.3τw

②對數頻率特性：

L(w)=0

φ(w)=-57.3w

（注意這裡，前面說過了其對數相頻特性曲線不是一條直線）

坐標圖對比：

①積分與微分環節

②一階微分和慣性

③二階微分和振蕩環節

以上都是典型相角環節

下面的是最小相角小結

4.3 系統開環頻率特性的繪製

1、開環幅相曲線的繪製

因此

幅頻特性=各典型環節的幅頻特性乘積

相頻特性=各典型環節的相頻特性代數和

其中K為開環增益，v為積分環節個數

①開環幅相曲線的起點

令w→0，則

$lim_{w ightarrow 0}{G(jw)H(jw)}$ = $lim_{w ightarrow 0}{frac{K}{(jw)^v}}$ = $lim_{w ightarrow 0}{frac{K}{w^v}e^{j(-v90°)}}$

0型系統（v=0）：曲線始於實軸(K,j0)的點

Ⅰ型系統（v=1）：曲線始於相角為-90°的無窮遠處，當w趨於0+時，曲線是一套與虛軸平行的直線

Ⅱ型系統（v=2）：系統始於相角為-180°的無窮遠處，當w趨向於0+時，曲線漸進與負實軸平行

總結：開環系統含有ν個積分環節系統，幅相曲線起自幅角為－v90°的無窮遠處。

②開環幅相曲線的終點

由於系統一般有n>m（意思是Ⅰ型系統及Ⅰ型系統以上），w趨向於∞時，

$lim_{w ightarrow ∞}{G(jw)H(jw)}$ =0 $e^{-j(n-m)90°}$

③開環幅相曲線與實軸的交點

令Im[G(jw)H(jw)]=0，求出交點頻率w1，代入Re[G(jw1)H(jw1)]

就可以得到幅相曲線與實軸的交點為（Re[G(jw1)H(jw1)]，0）

④開環幅相曲線的變化範圍(象限、單調性）

若無一階微分環節：相角單調減小，曲線平滑變化

若有一階微分環節：相角可能不是單調變化，曲線會出現凹凸現象

提醒，在這一節裡面，一定要學好向量的變換，即從a+bi的形式如何變化到複數的指數形式。

遇到除法記得相減：如(a+bi)/(c+di)一定要把a+bi先變換成複數的指數形式，再把c+di變換成複數的指數形式，然後幅角就可以直接相減。

2、開環對數頻率特性曲線的繪製

在這一節裡面，其實很簡單，根據典型環節就可以方便地繪製出開環對數頻率特性曲線

n個典型環節組成開環傳遞函數

G(S)H(S)= $G_{1}$ (S) $G_{2}$ (s)---- $G_{n}$ (s)

頻率特性：

G(jw)H(jw)= $G_{1}$ (jw) $G_{2}$ (jw)---- $G_{n}$ (jw)= $prod_{i=1}^{n}A_{i}(w)e^{jsum_{i=1}^{n}{φ_{i}(w)}}$ =A(w) $e^{jφ(w)}$

開環對數幅頻特性：

L(w)=20lgA(w)= $sum_{i=1}^{n}{A_{i}(w)}$

開環對數相頻特性:

φ(w)= $sum_{i=1}^{n}{φ_{i}(w)}$

這兩個式子表明，若系統的開環傳遞函數由n個典型環節串聯起來，那麼他們的對數頻率特性曲線就可以通過線性疊加而成（即直接相加）

繪製對數幅頻特性曲線的步驟：（例子說明）

繪製 G(s)H(s)= $frac{40(0.5s+1)}{s(2s+1)(s/30+1)}$ 的L(w)曲線

首先我們先得出各個部分的轉折頻率：

0.5+1的為2, 2s+1的為0.5，s/30+1的為30

所以w排序為0.5、2、30

接著，我們要明白一個思想，就是在粗略繪製對數頻率特性曲線時，每一個部分，我們只需要考慮大的那一項，也就是說

W＜0.5時，0.5s+1看作1,（忽略了0.5s）同理2s+1看作1，s/30看作1，因此此時G(S)H(S)就剩下40/s，所以在低頻段，我們只需要畫一個斜率為-20dB(因為積分環節為-20dB的曲線)而選畫的那個點的話，我們隨便選w<0.5的一個點和w=0.5的點，在這裡w=0.5的時候，2s+1這一項把它看成1來處理。接著我們來描繪0.5~2這一部分的曲線，

由於0.5<w<2，所以和前面一樣G(S)H(S)=40/s(2s+1),因為2s+1在轉折頻率後也是一個斜率為-20dB的曲線，因此與積分環節疊加，這一部分的斜率為-40，一直到w=2的那個點。

然後同理在2＜w<30這部分，G(S)H(S)=40(0.5s+1)/s(2s+1)，因此看成在原來基礎上加一個一階微分環節，因此斜率增加20dB，但由於原來是-40dB，所以最終斜率為-20dB，後面同理畫出

而有振蕩環節和二階微分環節的題目稍微有點複雜。

例子：繪製 G(s)= $frac{2000(frac{s}{5}+1)^2}{s(s+1)(s^2+4s+100)}$ 的對數曲線。

我們先把這個傳遞函數化成標準形式

$G(s)=frac{20(frac{s}{5}+1)^2}{s(s+1)(frac{s^2}{100}+frac{1}{25}s+1)}$

然後，我們就可以得到了轉折頻率1,5,10（10是由二階微分環節過程決定的）

所以得到區域段的斜率：

0<w<1時候，斜率為-20

1<w<5時候，斜率為-40

5<w<10時候，斜率為0

10<w時候，斜率為-40

接著我們先求那個二階微分環節的一些參數：

T=0.1（對比標準形式），ζ=0.2，wn=1/T=10，wr=wn $sqrt{1-2ζ^2}$ =9.59， $L_{m}$ =8.14dB (把wr帶入)

對數相頻：相頻特性的畫法為：起點，終點，轉折點。

最小相位系統和非最小相位系統

最小相位系統：傳遞函數在S右半平面上沒有零、極點。

非最小相位系統：傳遞函數在S右半平面上有零、極點。

最小相位系統的相角變化範圍最小。

非最小相位系統的相角變化範圍大於最小相位系統。

最小相位系統：對數幅頻特性曲線的變化趨勢和對數相頻特性曲線的變化趨勢一致。

例子：

$G_{1}(s)=frac{1+T_{2}s}{1+T_{1}s}$ 和 $G_{2}(s)=frac{1-T_{2}s}{1+T_{1}s}$

從傳遞函數可以得到兩個的幅值都是A(w)= $frac{sqrt{1+w^2T_{2}^2}}{1+w^2T_{1}^2}$

G1(S)的相角： $φ_{1}(w)=arctan wT_{2}-arctanwT_{1}$

G2(S)的相角： $φ_{2}(w)=-arctan wT_{2}-arctanwT_{1}$

方法：檢查控制系統在w→∞時的相角是否等於-90°(n-m)，便可以判斷系統是否為最小相位系統。

4.4頻率域穩定判據

應用頻域穩定判據不需要求取閉環系統的特徵根，而是由開環系統的頻率特性繪製開環系統的頻率特性曲線，也可以利用實驗的方法獲得開系統的頻率特性曲線，進而分析閉環系統的穩定性。

這個方法的優越性在於

（1）、系統的微分方程或者傳遞函數未知的情況下，就無法使用勞斯穩定判據或者根軌跡法判斷閉環系統的穩定性，這時候，利用實驗方法測出其系統的開環頻率特性曲線，應用頻域穩定判據就可以分析系統的穩定性。

（2）、還可以指出系統的穩定儲備—穩定裕度，以及提高與改善系統動態性能

1、數學基礎

複變函數中的幅角原理是奈奎斯特穩定判據的基礎

下面我來為大家講講其推導過程

（1）輔助函數F(S)

我們知道，一個傳遞函數，可以看成是m個多項式和n個多項式之比，並且n≥m

因此設G(S)=M1(S)/N1(S)，H(S)=M2(S)/N2(S)

那麼根據反饋公式，我們可以得到傳遞函數為

Φ(S)= $frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$ = $frac{M_{1}(s)N_{2}(s)}{N_{1}(s)N_{2}(s)+M_{1}(s)M_{2}(s)}$

我們令F(S)= $frac{N_{1}(s)N_{2}(s)+M_{1}(s)M_{2}(s)}{N_{1}(s)N_{2}(s)}$ =1+G(S)H(S)

由於開環傳遞函數分母的階次n大於或等於其分子的階次m，因此F(S)的分子分母的階次均等於n。因此可以把F(S)寫成以下形式：

其中K為常數，zi和pi分別為F(S)的零點和極點

特點：

F(S)的零點zi為閉環傳遞函數的極點，F(S)的極點pi為開環傳遞函數的極點
F(S)的零點和極點數目相同
F(S)和G(S)H(S)相差1

（2）幅角原理

在s平面（就是橫軸為實軸，縱軸為虛軸的平面）上任選一點s，通過複變函數的映射關係，我們可以在F(S)平面上(即橫軸為Re[F(s)]，縱軸為Im[F(S)]平面上)找到一個對應的點。

那麼現在，我們在s平面上，選擇一條不穿過F(S)的任意零點和極點的封閉曲線Γs，則在F(S)平面上也必然有一條封閉曲線ΓF（這裡為什麼要不穿過其零點和極點，是因為我們要確保每一個s，在其對應的F(S)都可以有一個值，那麼s平面上通過一周時，F(S)平面上必然也會通過一周），我們感興趣的不是ΓF的具體形狀，而是其包圍F平面坐標原點的次數和運動方向。

F(S)的相角為：

當s沿Γs變化時，F(S)的相角變化為

（變成複數的指數形式去理解會更容易想通，並且記著這兩個個公式）

然後假設現在s平面上的封閉曲線Γs包圍了F(S)的一個零點z1，而其他的零極點都位於Γs之外，那麼當s在s平面上圍繞著這條曲線，順時針走一圈的時候，只有z1的相角變化了-2π，其他的點都沒有變化，因此△∠F(S)就剩下等於△∠(s-z1)，因此F(S)的相角變化為-2π，說明F(S)在F平面上順時針繞原點走了一周（這裡為什麼會繞原點而不是其他點呢，是因為F(S)的零點都成為zi，極點為pi，而Γs曲線是不經過zi與pi的，因此它永遠不會等於0）

同理，當有Z個零點時，對應F(S)就順時針走Z周，

當有P個極點時，對應F(S)就逆時針走P周（之前那個公式，有pi的加了個負號）

所以，幅角原理：s平面上的封閉曲線Γs包圍了F(S)的Z個零點和P個極點，則s沿Γs順時針運動一周時，在F(S)平面上，F(S)沿ΓF曲線按逆時針方向包圍坐標原點的周數R滿足：

R=P-Z

2、奈奎斯特穩定判據

現在就可以來使用幅角原理了

為了讓s平面上包含右半平面上F(S)的零點數，因此選擇封閉曲線Γs按順時針方向包圍了s平面的整個右半平面，即封閉曲線Γs是由虛軸和半徑無窮大的半圓組成

所以在F(S)平面上，我們可以看到F(S)繞原點的周數

但是我們其實主要研究G(S)H(S)其與F(S)相差1，因此在G(S)H(S)平面上，我們看曲線包圍（-1，j0）就相當於F(S)包圍原點的情況

我們再來看看這個Γs，其有三部分組成

正虛軸，即s=jw，w從0到∞
半徑為無窮大的右半圓
負虛軸，即s=jw，w從-∞到0

S沿Γs正虛軸變化，通過G(S)H(S)映射到G(S)H(S)平面，正好是開環頻率特性的極坐標圖

S沿Γs無窮大半圓變化，因為n≥m，當|s|→∞時，所以|G(S)H(S)|→0，映射G(S)H(S)平面上即坐標原點。

S沿Γs負虛軸變化，在G(S)H(S)平面映射是極坐標圖關於實軸的鏡像

R--奈氏曲線[即s沿虛軸-j∞到j∞取值，頻率特性的幅相曲線] 逆時針包圍臨界點（-1，j0）的周數

P--輔助函數右半s平面極點數

Z--輔助函數右半s平面零點數。

回憶一下 輔助函數的零點數為閉環傳遞函數的極點

因此閉環系統穩定的充分必要條件為Z=0，即R=P

若閉環系統臨界穩定，此時奈氏曲線穿過臨界點，這時奈氏曲線逆時針包圍臨界點的周數不定。

最後，奈氏判據可表述為：

系統穩定的充要條件:奈氏曲線逆時針包圍 (-1,j0)的周數R等於開環傳遞函數右半S平面極點數P，即R=P；否則閉環系統不穩定。閉環正實部特徵根個數Z按下式確定

R=P-Z

（判斷R的數值要看那個極坐標圖，看P則看G(S)H(S)的極點數）

對於普通的開環傳遞函數來說，只要你畫出它的幅相曲線就ok了

開環系統含有積分環節時奈氏判據的應用（即s=0是一個極點）

而對於具有積分環節的系統，由於有積分環節，使得s在s平面上不能夠穿越原點。所以我們必須對Γs進行必要處理。

令Γs在坐標原點附近以半徑為ε趨於0的半圓從右側逆時針繞過開環幾點所在的坐標原點，而其他地方方向不變如下圖

小圓的表達式為：s= $lim_{ε ightarrow 0}{εe^{jθ}}$

w從0-變到o+時，θ從-90°變到+90°，這時在G(S)H(S)平面上映射的曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針從v90°經過0°轉到-v90°，不過這裡我們需要想到的是，順時針從v90°經過0°轉到-v90°對應的是w從0-到0+，而我們知道我們只需要畫正一半的就好，因為負的那部分總是與之鏡像。因此我們從0°畫到-v90°對應二分之一半圓。

（在這裡，我們可以看出補畫的虛線都是從0開始，那麼其實這不是最通用的，最通用的應該是先求出w趨於0+時，所對應的角度，然後在逆時針補畫v90°（不過補畫出來的箭頭是指向順時針））

因此通用步驟為:

①求出G(j0+)，得出其幅值和相角

②然後在那個點逆時針補畫v90°的虛線

同時，為了簡單起見，我們只需要畫w從0~∞就好，公式變為Z=P-2N，其中N為包圍（-1，j0）的周數（逆時針N為正，順時針N為負）但是有時，其逆時針和順時針同時存在時，會給我們計算帶來困難，因此我們可以通過確定開環幅相曲線在（-1，j0）點左側負實軸上穿越次數而獲得N的方法。

w增大時，曲線自上而下通過（-1,j0）點左側的負實軸，為正穿越，如圖的2點

w增大時，曲線自下而上穿過（-1,j0）點左側的負實軸，為負穿越，如圖的1點

4點在(-1,j0)點的右側，不算穿越

而如果G(jω)H (jω)起於－1之左實軸，為半次穿越，班次穿越記為?

用N+表示正穿越次數與班次正穿越次數的和，用N-表示負穿越次數與班次負穿越次數的和，所以有N=(N+)-(N-)

有一個較難例子

已知單位反饋系統的開環幅相曲線（K=10，P=0，v=1），確定系統的K值範圍

三個交點頻率為ω1，ω2，ω3，且ω3＞ω2＞ω1，

　開環傳遞函數的形式 $G(S)=frac{K}{s^v}G_{0}(s)$ （這是通用形式）

從這個形式上看，我們知道 $lim_{s ightarrow 0}{G_{0}(s)}=1$ 和G( $jw_{i}$ )= $frac{1}{jw_{i}}G_{0}(jw_{i})$ i=1,2,3

並且從題目知道，v=1

所以當K等於10的時，

K變化時，曲線與負實軸的交點頻率ω1、ω2、ω3不變，僅幅相曲線與負實軸的交點沿負實軸移動。（這是因為w1、w2、w3都是由G0(S)決定的）

假設K=K1、K2和K3時，幅相曲線與負實軸的交點［（G(jω1),j0］，［（G(jω2),j0］，［G(jω3),j0）］位於（-1,j0）點。（這樣我們就可以求出對應的臨界K值）

因此有

由於w1、w2、w3不變，所以可以求出

然後討論分別取

得到圖（虛線為逆時針補畫90°角）

對應的圖①N=0，Z=0 所以穩定 ②(N+)-(N-)=1，Z=2，所以不穩定

③N=0，Z=0 所以穩定④N=-1，Z=2，所以不穩定

所以閉環穩定K值範圍： 0<K<5, 20/3<K<20

對數頻率穩定判據

這個由於開環對數頻率特性曲線又可以通過實驗獲得，因此在工程上得到廣泛應用。

我們先看看幅相頻率特性曲線和其對應對數頻率特性曲線的關係

單位圓對應0分貝線，單位圓之外對應0分貝線以上（L(w)＞0），單位圓之內對應0分貝線以下（L(w)＜0）
幅相頻率特性曲線上負實軸對應於對數相頻特性曲線上的-180°線

按照這兩個對應關係，我們可以利用L(w)＞0的區間內，φ(w)曲線對-180°線的穿越次數來計算，在L(w)＞0中，從上向下為負穿越，從下向上為正穿越

若存在積分環節，在對數相頻特性曲線 w=0+處，由下向上補畫一條虛線，該虛線通過的相角為v90°，

4.5穩定裕度

我們先看幾個例子：

以下四圖都是對於P=0的系統來說

幅相曲線距 (-1,j0)點越遠。相對穩定性越好

因此我們可以把系統的相對穩定性即穩定裕度用幅值裕度Kg和相位裕度γ來度量

臨界穩定的概念：最小相角系統G(jω)過(-1,j0)點時，閉環系統臨界穩定。

1、幅值裕度和相位裕度

（1）幅值裕度Kg：相頻特性為-180°時，其幅值的倒數定義為幅值裕度，對應的頻率ωg為相位穿越頻率，即幅值裕度： $K_{g}=frac{1}{|G(jw_{g})H(jw_{g})|}$

用分貝表示： $K_{g}(dB)=-20lg|G(jw_{g})H(jw_{g})|$

物理意義：閉環系統的開環增益再放大Kg倍，系統臨界穩定。

當Kg＞1，即Kg(dB)＞0，幅值裕度為正系統穩定

當Kg＜1，即Kg(dB)＜0，幅值裕度為負，系統不穩定

一般選擇幅值裕度Kg(dB)為（6～20）dB

（2）相位裕度γ：開環頻率特性的幅值為1時，其相角與180°之和定義為相位裕度，對應的頻率ωc為截止頻率。即有 γ=180°+ ∠G( $jw_{c}$ )H( $jw_{c}$ )

γ從負實軸算起，逆時針為正，順時針為負；

物理意義：閉環穩定系統的開環相頻特性再滯後γ度，則系統處於臨界穩定狀態。

穩定系統，相位裕度為正，即γ＞0

不穩定系統，相位裕度為負，即γ＜0

γ越大，穩定性越好。但過大會影響系統其他性能，一般γ為30°～60°

穩定性方面，要綜合考慮幅值裕度和相位裕度

伯德圖對應的Kg和γ

（3）Kg的計算：

法1：令開環頻率特性虛部等於零，求得ωg，將ωg代入實部求與實軸的交點，可求解Kg 。

法2：根據φ(ωg)=-180°，用試探法求ωg，可求解Kg

（4）截止頻率wc的計算：

求取ωc是重點和難點,一般利用典型環節漸近特性，因此步驟：

分段寫對數幅頻特性曲線的漸近方程表達式，即

（和之前說的一樣，把一個環節中小的那一部分忽略掉）

②求Ai(ω)=1的解ω，考查ωi-1≤ω＜ωi是否成立。若成立，ωc=ω，停止計算；否則，令i=i+1，重新計算Ai(ω)=1。

4.6頻率性能指標和時域指標的關係

相位裕度：

式中可以看出γ和ζ存在嚴格的對應關係

γ-ζ曲線：

γ=(30°~60°），由γ-ζ曲線確定ζ，再由ζ計算σ%和ts（計算方法在前一章）。

（1）典型二階系統

開環傳遞函數：G(s)= $frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}$ （0<ζ<1）

開環頻率特性：G(jw)= $frac{w_{n}^2}{jw(jw+2ζw_{n})}$ = $frac{w_{n}^2}{wsqrt{w^2+4ζ^2w_{n}^2}}$ ∠-90°-arctan $frac{w}{2ζw_{n}}$ （角度計算：0°-90°-arctan $frac{w}{2ζw_{n}}$ （90°是jw那部分））