「雞兔同籠」教學思考

「雞兔同籠」教學思考

　　　牛獻禮

「雞兔同籠」是我國的一道歷史名題，既有趣又益智，在國標新教材中，不少版本都有編排。比如，北師大版教材是在五年級上冊安排學習這個內容的，並且突出「嘗試與猜測」（列表）的解題方法；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固「假設和替換」的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊「數學廣角」中詳細介紹了「雞兔同籠」問題的出處、幾種典型解法及實際應用，突出解決問題策略的多樣化。

據了解，目前六年級教學「雞兔同籠」問題的方法也是大相徑庭，主要有以下幾種課型結構：1、幾種方法一起教的。其中以列表、假設法和方程三種方法一起教學居多，側重於典型的假設法和列方程的解法；2、專門教一種方法的。其中，以專門教學假設法的居多；3、將學生置於一種「已會」的狀態，先讓學生獨立解答「雞兔同籠」的典型問題，再反饋交流學生的多種方法，教師進行簡單地引導，最後通過對比，讓學生感悟假設法的優點，就算完成了「雞兔同籠」問題解法的教學。

應該說，這些教法背後都有教者對「雞兔同籠」問題教學的理解。但是在課後對學生的掌握情況進行檢測時，卻無一例外地出現了尷尬。尷尬一：張冠李戴。學生假設是兔（雞），求出來的也是兔（雞），只知套用假設法列出算式，但是他根本不知道算出來的答案是雞的只數還是兔的只數，說明學生並沒有真正理解和掌握假設法。尷尬二：只知雞兔，不能學以致用。也就是不能根據已學的知識產生類比聯想，舉一反三去解答生活中的一些實際問題。那麼，問題究竟出在了什麼地方呢？其實，傳統教法中，教師所謂的假設法只是具體地解決了「如何假設」的問題，而對於「為什麼要假設」、「假設的價值何在，意義何在」，教師未能有效提點，造成學生對假設的真正目的並不清楚，後面的練習也只是「依葫蘆畫瓢」，一旦遇到全新的問題，自然束手無策。

　那麼，六年級到底應該怎麼教學「雞兔同籠」問題才是合適的？「雞兔同籠」問題的教學價值究竟是什麼呢？我們不妨試著剖析一二：

　解答「雞兔同籠」問題一般有以下幾種基本的方法：假設法、方程法、列表法、枚舉法和畫圖法。調研發現，枚舉法是學生解決「雞兔同籠」問題的「土方」，屬於「不教就會的知識」。畫圖法對於六年級的學生而言，顯得過於低級了，幾乎無人選用。列表法是假設雞或兔的只數一個一個推算的，假設法也是利用全部假設是雞或兔來思考推理的。從這個思維層面上講，列表其實也是假設法的一種表現形式，假設法可以看成是對列表法的進一步抽象和提升。而方程解法實際上是列表解法的逆向過程，且方程解法的難點不在理解等量關係上，而在於如何解方程（小學階段也不要求解這樣複雜的方程），這顯然不符合「雞兔同籠」問題教學的本意。可見，列表法與其他解法有著本質聯繫，從列表法發展出了其他解法（假設法、方程法），列表法在眾多解法中具有基礎性和重要性。於是我們可以做進一步分析：如果已經完成了列表法，再通過引導學生對表格進行分析和推理，假設法和方程法是否就水到渠成了？因此，筆者認為，教學「雞兔同籠」問題，要把假設的思想方法作為解決「雞兔同籠」問題所有方法中最基本的解題思想，假設法的思維起點是列表法。在教學中應該將直觀的列表法與抽象的假設法進行溝通與聯繫，藉助列表讓學生真正理解假設法，再藉助假設法，幫助學生實現「全部想成雞或兔」的思維飛躍，在發展學生的推理能力同時，「讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行解釋和應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。」（《標準》２０１１版）

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