數學趣題一組

【字體：小大】達納之死達納之死達納溺水死亡，為此，阿洛、比爾和卡爾被一位警探訊問。(l)阿洛說，如果這是謀殺，那肯定是比爾乾的。(2)比爾說：如果這是謀殺，那可不是我乾的。(3)卡爾說：如果這不是謀殺，那就是自殺。(4)警探如實地說：如果這些人中只有一個人說謊，那麼達納是自殺。達納是死於意外事故，還是自殺，甚至是謀殺？（提示：在分別假定陳述（1）、陳述（2）和陳述（3）為謊言的情況下，推斷達納的死亡原因；然後判定這些陳述中有幾條能同時為諾言。）答　案分別假定陳述（1）、陳述（2）和陳述（3）為謊言，則達納的死亡原因如下表：陳述（1）陳述（2）陳述（3）如果為謊言謀殺，但不是比爾乾的被比爾謀殺意外事故這個表顯示，沒有兩個陳述能同時為謊言。因此，要麼沒有人說謊，要麼只有一個說了謊。根據{(4)警探如實地說：如果這些人中只有一個人說謊，那麼達納是自殺。}，不能只是一個人說謊。因此，沒有人說謊。由於沒有人說謊，所以既不是謀殺也不是意外事故。因此，達納死於自殺。安東尼的名次作者：admin 文章來源：本站原創 點擊數：175 更新時間：2011-2-25安東尼的名次安東尼、伯納德和查爾斯三人參加了幾項田徑比賽。（1）每項比賽只取前三名，第一名、第二名、第三名分別得3分、2分、l分。（2）並列同一名次者，都得到與該名次相應的分數。（3a）把每人在撐竿跳、跳遠和跳高比賽中的得分加起來得到一個個人總分，結果這三人的個人總分都一樣。（3b）把這三人在某項比賽中的得分加起來得到一個團體分，結果三個項目的團體分都一樣，而且這個團體分與上述的個人總分相等。（4）在撐竿跳比賽中沒有出現得分相同的情況。（5）安東尼和查爾斯在跳遠比賽中得分相同。（6）安東尼和伯納德在跳高比賽中得分相同。（7）在這三項比賽中，伯納德有一項沒有得分，查爾斯也有一項沒有得分。在撐竿跳比賽中，安東尼得了第幾名？（提示：找出一個每一行的和與每一列的和都相等的3×3方陣，即可判定出安東尼在撐竿跳比賽中的名次。為此，用代數方法表示安東尼和查爾斯在跳遠比賽中的得分，以及安東尼和伯納德在跳高比賽中的得分。）答　案這三人在三項比賽中的得分可以記入如下的3×3方陣：查腳印巴黎郊外有一座中世紀留下的古老城堡，其年代幾乎與著名的「巴黎聖母院」同樣久遠，因而成了旅遊觀光的勝地，吸引了來自世界各地的遊客。下面這則故事就是出自—位導遊之口。古堡的頂層有一座塵封的鐘樓，裡面住著一個怪人，唯一的對外通道是個走起來嘎嘎響、陡峭異常的木質樓梯，大約有幾十級，但肯定不到一百級。某日黃昏，怪人的四位互不相識的朋友阿列克賽、巴頓、克林、杜邦，幾乎在同一時間先後來訪。他們發現怪人已經被人殺害了，房間裡面看起來很恐怖。當下四人大驚失色，爭先恐後地拚命逃走。從髒亂不堪的狹窄樓梯（一次只能通過一人）跑下來，阿列克賽一步下2級台階，巴頓一步下3級台階，克林一步下4級台階，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5級台階。出事以後，俠盜亞森羅賓喬裝成一名體面的上流社會紳士，自告奮勇地前來偵破此案。他發現，同時印下四個人腳印的台階僅在最高處和最低處。為了追查兇手，腳印混亂了就不好辦，於是亞森羅賓特別重視只留有一個人腳印的台階。後來的結果充分證明他的看法是正確無誤的，最後終於抓獲兇手，把他繩之以法。現在要問你的是，通向鐘樓的木樓梯上有多少級台階只印下了一個人（不管是誰的）的腳印？（答案）由於4的倍數肯定是2的倍數，所以克林的情況可以不必考慮，這就省掉了一個人，2，3，4，5的最小公倍數是60，而60又小於100，所以鐘樓的木樓梯共有60級台階。阿列克賽的腳印落在第2，4，6，8，l0，12，…，58，60級台階上，但應排除2×3及其倍數的各級階梯；同理，還需要排除4的倍數的各級階梯和5的倍數的各級階梯。於是剩下第2，14，22，26，34，38，46，58共八級。其一般形式為2×p（其中p＝1，以及除去2、3、5以外的素數）。巴頓的腳印落在第3，6，9，12，…，60級階梯上，但應排除混有別人腳印的第6，12，15，18，……級階梯，剩下第3，9，2l，27，33，39，51，57，共八級。前面已經說過克林的情況可以不考慮了，最後再來看一下杜邦的情況。很明顯，只留下他一個人腳印的階梯是第5，25，35，55級，共四級。所以，問題的答案是8+8+4＝20級。猴子分桃的故事海灘上有一堆桃子，是兩隻猴子的共有財產。猴子性急，有時也很正直。第一隻猴子來到海灘後想要取走自己的一份，於是便把桃子均分為兩堆，發現還多一個，便把多餘的一個扔進大海，取走自己應得的一份。第二隻猴子來到海灘後也想取走自己的一份。猴子總歸是猴子，它無法知道夥伴已取走一份。於是第二隻猴子又把桃子均分為兩堆，發現還多一個，便把多餘的一個扔進大海，取走自己應得的一份。如果原有的桃子數不小於100，那麼第一隻猴子至少可以取走幾個桃子呢？用算術去解也許不容易，用「列出代數式」的方法去試試看：如果第二隻猴子取走的桃子數用A表示，那麼，取走前它所面臨的桃子數應為2A+1；（想一想，為什麼？）第一隻猴子留下的桃子數既然為 （2A+l），那麼，它取走的桃子數也應為2A+1；第一隻猴子取走前，它所面臨的桃子數應為（2A+1）+（2A+1）+1，即4A+3。這說明，海灘上原有桃子數為4A+3，但這堆桃子不少於100個，所以A不小於25。因此第一隻猴子至少可以取走51（=2×25+1）個桃子。回顧整個解題過程，我們總是一步步地「先把問題中與數量有關的詞語，用含有數、字母和運算符號的式子表示出來」，也就是說，「列出代數式」對解題起到了重要作用。思考：如果這堆桃子是3隻猴子的共有財產，問題又該如何解決呢？如果是4隻、5隻猴子的共有財產呢？常勝將軍阿貝、本、卡爾和唐這四人玩一種遊戲，這種遊戲的基本玩法是輪流從一堆籌碼中取走籌碼。其中有一個人每盤都贏。（1）這四個人一共玩了50盤，每盤遊戲開始時那堆籌碼中的籌碼數目都是偶數：第一盤開始時是2枚籌碼，第二盤開始時是4枚籌碼，依此類推，到第五十盤開始時是100枚籌碼。（2）在整個50盤遊戲中，各人每次所取籌碼的數目保持不變：要麼一直取一枚籌碼，要麼一直取兩枚籌碼。如果取到最後只剩下一枚籌碼，而輪到取的那個人是一直取兩枚籌碼的，他就「棄杖」，讓給下一個人取。（3）在各盤遊戲中，取籌碼的順序也總是保持不變：首先是阿貝，其次是本，再次是卡爾，然後是唐。（4）在每一盤遊戲中，規定誰取走最後一枚籌碼誰贏。這四個人中誰每盤都贏？（提示：根據（2），各人每次所取籌碼的數目都保持不變，而且各人都只有兩種可能（一枚或兩枚），那麼把這四個人的每次所取枚數組合起來一共有多少種？無論這堆中籌碼有多少枚籌碼，哪一種組合總是導致同一個贏家？)答　案根據{（2）在整個50盤遊戲中，各人每次所取籌碼的數目保持不變：要麼一直取一枚籌碼，要麼一直取兩枚籌碼。如果取到最後只剩下一枚籌碼，而輪到取的那個人是一直取兩枚籌碼的，他就「棄杖」，讓給下一個人取。}，把這四個人的從一堆籌碼中所取籌碼的枚數組合起來一共有十六種可能，列於下頁表左側。根據{（1）這四個人一共玩了50盤，每盤遊戲開始時那堆籌碼中的籌碼數目都是偶數：第一盤開始時是2枚籌碼，第二盤開始時是4枚籌碼，依此類推，到第五十盤開始時是100枚籌碼。}，設先是2枝籌碼一堆，然後4枚籌碼一堆，再後6枚籌碼，8枚籌碼，10枚籌碼。運用{（3）在各盤遊戲中，取籌碼的順序也總是保持不變：首先是阿貝，其次是本，再次是卡爾，然後是唐。}和{（4）在每一盤遊戲中，規定誰取走最後一枚籌碼誰贏。}，記下每一種組合在各種枚數下的贏家。如果出現了不同的贏家就不必再記下去。贏家記在相應組合的右側。注意其中第九種組合：1，2，2，l只有這種組合在每一盤遊戲中都導致了同一個贏家——唐。不但如此，對於其他的偶數枚籌碼的情況，在這種組合下，唐也總是贏家。阿貝本卡爾唐2枚籌碼4枚籌碼6枚籌碼8枚籌碼10枚籌碼1.1111本唐---2.2111阿貝卡爾---3.1211卡爾卡爾阿貝--4.1122本卡爾---5.1111本阿貝---6.2211阿貝本---7.2122阿貝唐---8.2111阿貝卡爾---9.1222唐唐唐唐唐10.1211卡爾卡爾唐--11.1122本卡爾---12.1222阿貝阿貝阿貝阿貝本13.2122阿貝本---14.2211阿貝本---15.2222阿貝本---16.2222阿貝本---
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