K12教研論文庫讓靜止的圖形動起來

——六年級數學活動課紀實 （北京市順義縣第二教師進修學校 周愛東 賈福祿 設計 北京市順義縣馬坡中心小學 獻臣 執教） 教學內容 幾何圖形的面積計算 教學目標 1.培養學生的觀察力、想像力，使學生有意識地把題目的條件看活，用動態的觀點解答幾何圖形的題目。 2.滲透「事物之間是互相聯繫的，可以互相轉化」的觀點。 教學過程 一、出示準備題 用同樣大小的正方形瓷磚鋪一個正方形的地面，兩條對角線上鋪黑的，其它地方鋪白色的，如圖所示。如果鋪滿這塊地面共用101 塊黑色的瓷磚，那麼白色瓷磚用了多少塊？ （附圖 {圖}） 1.學生讀題、提出問題、弄清題意。 2.師：這是以前我們研究過的一個問題，請大家回想一下，當時我們是用什麼方法來研究解答這個問題的？ 生：我們是在一個5×5的網格內，沿兩條對角線方向擺放硬幣，用硬幣代表黑色瓷磚。再通過旋轉、平移的方法，改變硬幣的擺放位置，從中發現規律，來解答這個問題的。 3.生：獨立操作，解答問題。 ①操作： （附圖 {圖}） ②指名說操作過程。 先在兩條對角線上放滿硬幣（如圖1）共放了9枚硬幣；然後旋轉每條對角線上的硬幣，使其進入到5×5網格中的行與列中（如圖2）， 在旋轉過程中，硬幣的擺放位置發生了改變，但是枚數沒有變；最後再將硬幣平移到兩條邊上（如圖3）。 此時沒有擺放硬幣的小格由原來的被分成四塊，而合併成了一塊，且恰好組成了一個正方形，其邊長恰好與原來大正方形的邊長相差1。 ③解答準備題： 同樣道理我們可以通過旋轉、平移兩次動態處理，把題中兩條對角線上的黑色瓷磚移到兩條邊上（如圖）。在這一轉化過程中瓷磚的擺放位置發生了變化，但數量都沒有變。此時便容易求解： （附圖 {圖}） （101＋1）÷2＝51（大正方形每邊瓷磚數） 51－1＝50（白色正方形每邊瓷磚數） 50[2]＝2500（塊） 答：白色瓷磚共用了2500塊。 4.教師小結導入新課： 剛才，我們在研究這個問題時，是通過旋轉和平移把對角線上的瓷磚移到了邊上，也就是把題目的條件看活了。用動態的思維來考慮問題，這種動態解答問題的方法，在解答幾何圖形題時是常常用到的。今天，我們就用動態考慮問題的方法，來研究幾道幾何圖形的問題（板書課題：讓靜止的圖形動起來）。 二、新授 3 （二）1.例1 圖中三角形AED的面積占梯形ABCD面積的─，且AB 7 ＝5cm、BC＝8cm，求三角形AED的面積？ （附圖 {圖}） ①指名讀題。 3 ②簡要分析：三角形AED的面積占梯形ABCD面積的─，也可以理解 7 梯形ABCD面積是7份，三角形AED面積佔3份， 兩個空白三角形面積的和佔4份，AB是梯形和三角形的高，要求三角形AED的面積，知道了高，需要先求出底AD的長。 空白面積：三角形面積＝4∶3 ③引導解答 師：在梯形ABCD中，你能否畫出一個與AED面積相等的三角形來？這樣的三角形可以畫出多少個？ 讓學生獨立思考，使他們體會到這樣的三角形可以畫出無數個，只要在BC邊上任取一點，和AD連起來所構成的三角形就知道和AED 的面積相等，因為它們是同底等高的三角形。 師：通過上述分析，我們就可以把E點理解成為一個「動點」， 它可以沿BC邊來回移動。在移的過程中三角形AED的形狀發生了變化， 但面積不變。那麼大家想一想，我們把點移到哪裡，圖形就更簡單，題目就更容易解答呢？ （附圖 {圖}） 生：將E點移到B或C點處。 師：畫出E點移到C點時的圖形（見右圖）並提問題：三角形ABC 的面積與原來兩個空白三角形面積是否相等？為什麼？ 生：相等。因為移動E點的過程中，梯形面積沒有變， 陰影三角形AED的面積也沒有變，所以三角形ABC的面積與原來兩個空白三角形面積的和相等。 生解答： 方法1 陰影部分與空白部分的面積分別是3份和4份， 它們的高相 8×3 等，所以底是3份BC就是4份，因為BC＝8cm，所以AD＝─＝6cm， 三角 4 形AED的面積是：6×5÷2＝15（cm[2]）。 1 3 3 方法2 8×5×─÷（1－─）×─＝15（cm[2]） 2 7 7 師小結：這道題，我們除了把E點移到B點或C點， 還可以移到一個特殊的點上，來解答，而且也可以通過添加輔助線的方法求解，這些解法留給大家在課下進行研究。 在解答這道題的過程中，我們通過點的移動，尋找到了解題的突破口，可見這種「動態考慮問題」的思想可以使解題的方法更靈活，更巧妙。這種解題思路還有更廣泛的應用呢，下面我們來看例2。 例2 有紅黃綠三塊大小一樣的正方形紙片， 放在一個盒內它們之間相互疊合（如圖，教師備有教具）已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，那麼正方形盒的面積是多少？ ①指名讀題 ②啟發、引導 師：三張紙片大小一樣，但它們露出的面積卻不同，這是為什麼？ 生：三張紙片放入正方形盒內，要互相疊合，由於放置順序不同，露出的面積就不同。 師：誰能說一說這三張紙的放置順序。 生：先放綠色的、再放黃色的，最後放紅色的。 師：現在黃色、綠色紙片露出的部分都不是長方形，你能不能通過改變放置順序，使它們露出的部分變成長方形。 生：先放黃色紙片再放綠色的，最後放紅色的。（在學生說的同時，教師直觀演示將黃色紙片抽出，露出綠色長方形，然後再把黃色紙片插入綠色紙片下面，將圖1變成了圖2） （附圖 {圖}） 師：現在黃色、綠色紙片露出的部分都變成了長方形，請你比較它們的面積是否相等？分別是多長？ 生：面積相等。因為它們的長相等，寬都等於正方形盒的邊長減去小正方形紙片的邊長也相等，所以面積相等。它們的面積和沒有變。各自的面積分別是（14＋10）÷2＝12 師：請大家認真觀察，現在這三張紙片，哪個位置特殊？能否改變它的位置？ 生：黃色紙片的位置特殊。因為紅色和綠色紙片都有兩條邊和正方形紙盒的邊重合，而黃色紙片只有一條邊與紙盒的邊重合。我們可以使黃色紙片向左移動，使它也有兩條邊與紙盒的邊重合。（師演示移動，得出圖3。此時問題已轉化成了學生以前所研究過的問題， 根據三個長方形面積間的倍數關係可推出邊長的份數關係，便可順利求解。 3 20＋12×2＋12×─＝51.2 5 5[2] 64 或20÷─────＝20×─＝51.2 （5＋3）[2] 25 所以正方形紙盒的面積是51.2。 師：剛才我們解答問題實際上是走了彎路請大家（對照圖1和圖3，想一想還可以怎樣將圖1轉化成圖3？） （附圖 {圖}） 生：直接向左移動黃色紙片。 師：直觀演示向左移動黃色紙片，並提出問題：請觀察黃色和綠色露出的部分面積各發生了什麼變化？ 使學生體會到：黃色紙片的面積在減少，綠色紙片的面積在增加，它們的面積和不變。 3.教師小結。 投影出示上述兩道例題的原圖與轉化後的圖的對比圖。（已脫離了實際數據） （附圖 {圖}） 今天我們所研究的兩個問題，都需要把題目的條件看活，將原題轉化後再求解。例1是通過點的移動， 將原來分著的空白三角形合併成了一個三角形。例2是通過面的平移，把複雜的圖形變成了簡單圖形， 把原來面積不等變成了相等。這種「動態考慮問題」的思想可以使我們解題的思路更快捷，解題的方法更靈巧所以希望同學們今後能自覺運用這種動態思想來解答問題。 三、練習 已知長方形的長是8cm，寬是4cm，圖中陰影面積是10cm[2]， 求CD長多少厘米？ （附圖 {圖}）＊
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