[轉載]排列組合問題(二) 加法原理和乘法原理

導言：

加法原理和乘法原理，是排列組合中的二個基本原理，在解決計數問題中經常運用。把握這兩個原理，並能正確區分這兩個原理，至關重要。

一、概念

（一）加法原理

如果完成某件事共有幾類不同的方法，而每類方法中，又有幾種不同的方法，任選一種方法都可以完成此事，那麼完成這件事的方法總數就等於各種方法的總和，這一原理稱為加法原理。

例：從甲地到乙地，一天中火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，那麼，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

解析：把乘坐不同班次的車、船稱為不同的走法。要完成從甲地到乙地這件事，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，一天中，乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法。而乘坐火車、汽車、輪船中的任何一班次，都可以從甲地到乙地，符合加法原理。所以從甲地到乙地的總的走法=乘火車的4種走法+乘汽車的2種走法+乘輪船的3種走法=9種不同的走法

（二）乘法原理

如果做某件事，需要分幾個步驟才能完成，而每個步驟又有幾種不同的方法，任選一種方法都不能完成這件事，那麼完成這件事的方法總數，就等於完成各步驟方法的乘積。

例：用1、2、3、4這四個數字可以組成多少個不同的三位數？

解析：要完成組成一個三位數這件事，要分三個步驟做，首先選百位上的數，再選十位上的數，最後選個位上的數。

選百位上的數這一步驟中，可選1、2、3、4任何一個，共4種方法

選十位上的數這一步驟中，可選除百位上已選好那個數字之外的三個數字，共3種方法

選個位上的數這一步驟中，可選除百、十位上已選好的兩個數字之外的另兩個數字，共2種方法

單獨挑上面的任何一步中的任何一種方法，都不能組成一個三位數，符合乘法原理

所以，可以組成：4×3×2=24（個）不同的三位數

二、加法原理和乘法原理的區別

什麼時候使用加法原理，什麼時候使用乘法原理，最關鍵是要把握住加法原理與乘法原理的區別。從上面兩個例子我們容易發現，加法原理與乘法原理最大的區別就是：如果完成一件事有幾類方法，不論哪一類方法，都能完成這件事時，運用加法原理，簡稱為「分類-----加法」；如果完成一件事要分幾個步驟，而無論哪一個步驟，都只是完成這件事的一部分，只有每一步都完成了，這件事才得以完成，這裡運用乘法原理，簡稱為「分步----乘法」。

三、加乘法原理的綜合應用

有時候，做某件事有幾類方法，而每一類方法又要分幾個步驟完成。在計算做這件事的方法時，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，這就是加乘法原理的綜合應用。

例：從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條路可走，那麼，從甲地到丙地共有多少種走法？

解析：從甲地到丙地共有兩大類不同的走法：可以直接從甲地到丙地，也可以從甲地先到乙地再到丙地，選擇任何一類方法，都可以從甲地到丙地，符合加法原理；而在第二類方法中（即從甲地先到乙地再到丙地），又分兩步完成：第一步從甲地先到乙地，有4種走法，第二步再從乙地到丙地，有2種走法，這裡的任何一種方法都不能完成從甲地到丙地這件事，符合乘法原理，這時共有4×2=8種走法。

所以從甲地到丙地總的走法=第一類方法+第二類方法

=3+4×2=11（種）

四、加法原理和乘法原理的應用

例1．（數字排列問題）用數字1、2、3、4、5可以組成多少個沒有重複數字的三位數？

解析：組成一個三位數，要分三個步驟，先選百位數，再選十位數，最後選個位數，使用乘法原理

5×4×3=60（個）

例2．（數字排列問題）一種電子錶6點24分30秒時，顯示數字是：6:2430，那麼從8點到9點這段時間裡，此表5個數字都不相同的情況一共有多少種？

解析：在8點到9點間，電子錶的第一位數字肯定8，在這段時間內是固定不變的，可以不考慮；第2位和第4位的取值範圍只能是0、1、2、3、4、5，第3位和第5位只能從0、1、2、3、4、5、6、7、9。題中要求5個數字各不相同。所以我們要分開來考慮：

①第2位到第5位只取0----5中的數，有6×5×4×3=360種情況

②第2位和第4位只取0---5中的數，而第3位和第5位只取6、7、9中的數，有6×5×3×2=180種情況

③第2位、第3位和第4位只取0---5中的數，第5位只取6、7、9中的數，有6×5×4×3=360種情況

④第2位、第4位和第5位只取0---5中的數，第3位只取6、7、9中的數，有6×5×4×3=360種情況

所以，此表在8到9點間5個數字不同的情況共有：360+180+360+360=1260種

例3．（數字排列問題）從1到400的所有自然數中，不含數字3的自然數有多少個？

解析：在一位數前面添兩個零，如把2寫成002；在兩位數前面添一個零，如把12寫成012，這樣，1—400中的數全成了「三位數」了，除去數字400外，考慮不含數字「3」的這樣的「三位數」的個數，分三步考慮：百位、十位、個位上不含數字「3」，符合乘法原理。百位上可取0、1、2，有三種取法；十位上都可取0、1、2、4、5、6、7、8、9，有9種取法；個位與十位情況一樣，也有9種取法。根據乘法原理，這樣的數有：3×9×9=243（個）。數「000」不合要求，另外還需要補上符合要求的數「400」，所以不含數字「3」的自然數有：243-1+1=243（個）；（提示：這243個數中，有首位是「0」的，把「0」刪掉，就成了一位數和兩位數，不影響最後的個數。）

例4．（站隊排列問題）有6個同學排成一排照相，共有多少種不同的站法？

解析：6人中任何一位的位置換了，就是一種站法。把這6個位置用字母表示為：A、B、C、D、E、F。要排成一排，要分六步，依次排A、B、C、D、E、F這六個位置，使用乘法原理；A位置中有6種站法，B位置中就只剩5種站法、、、、、如此下去，F位置上就只剩1種站法，根據乘法原理，總的站法是：6×5×4×3×2×1=720種不同的站法

思考：看看下題與例4有何區別，又如何解答

A、B、C、D、E 5人排成一排，如果C不站在中間，一共有多少有種不同的排法？

例5．（取物排列問題）有5件不同的上衣，3條不同的褲子，4頂不同的帽子，從中取出一頂帽子、一件上衣和一條褲子配成一套裝束，最多有多少種不同的裝束？

解析：要完成一套裝束要分三步完成，先取帽子，再取上衣，最後取褲子，而每一步分別有4、5、3種不同的方法，根據乘法原理，共有4×5×3=60種不同的裝束

例6．（信號排列問題）有5面顏色不同的小旗，任意取3面排成一行表示一種信號，問：一共可以表示多少種不同的信號？

解析：一種信號上有三個位置，要完成一種信號要分三步選好這三個位置上的小旗。而每個位置上依次有5、4、3種不同的選小旗的選法，根據乘法原理，一共可以表示：5×4×3=60種不同的信號。

例7．（塗色問題）如圖，用紅、綠、藍、黃四色去塗編號為1、2、3、4號的長方形，要求任何相鄰的兩個長方形的顏色都不相同，一共有多少種不同的塗法？

解析：要分4種情況考慮：

① 1、2、3、4號長方形顏色都不相同，根據乘法原理，有4×3×2×1=24種塗法

②只有1、4號長方形同色，有4×3×2=24種

③只有2、3號長方形同色，有4×3×2=24種

④2、4和1、3號長方形分別同色，有4×3=12種

最後用加法原理

共有24+24+24+12=84種不同的塗法

例8．深圳市的電話號碼全是8位數，若前3位只能用1----9這9個數字，則深圳市可以安裝多少台不同的電話號碼的電話？

解析：要確定一個電話號碼，就必須確定8位數上各個位置的數字，要分八個步驟完成。使用乘法原理。根據題目要求，先確定電話號碼前3位數字的取法，由於數字可以重複，前3位上的每一位置上都可以取1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一個數，各有9種取法。電話號碼中的後5位的每一個位置上都可以取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，各有10種取法。

根據乘法原理，共有不同的電話號碼的電話：9×9×9×10×10×10×10×10=72900000台

例9．（棋子排列問題）如圖，現在要把A、B、C、D、E 5個棋子放在方格里，每行和每列只能出現一個棋子，一共有多少种放法？

解析：要將5個棋子放入格子中，要分5步完成。第一步先放A，有5×5=25個方格就有25種不同的放法；第二步放B，對應A的放法，由於不能在同一行與同一列，B放的行數和列數都會減少1，所以只能放在4×4=16個格子里，有16种放法；同理可推出，第三步放C，有3×3=9种放法；第四步放D，有2×2=4种放法；第五步放E，有1×1=1种放法。根據乘法原理。總的放法有：25×16×9×4×1=14400種