無窮大

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在集合論

中對無窮有不同的定義。德國數學家

康托爾

提出，對應於不同無窮集合的元素的個數（基數），有不同的「無窮」。

這裡比較不同的無窮的「大小」的時候唯一的辦法就是通過是否可以建立「一一對應關係」來判斷，而拋棄了歐幾里得「整體大於部分」的看法。例如整數集和自然數集由於可以建立一一對應的關係，它們就具有相同的無窮基數。

自然數集是具有最小基數的無窮集，它的基數用希伯來字母阿列夫右下角標0來表示。

可以證明，任何一個集合的冪集（所有子集所形成的集合）的比原集合大，如果原來的基數是a，則冪集的基數記為2a（2的a次方）。這稱為康托爾定理。

對於兩個無窮集合，可以以能否建立它們之間的雙射，作為比較其大小的標準。

確切地講，我們用基數的概念來描述集合，對於有限集合而言，可以認為它的基數就是元素的個數，但對無窮集而言，基數只能以下面的方式理解（當然也可以據此把無窮集合的基數說成是它元素的個數，但這個個數已經不是日常用語中的意思）。

如果集合A與集合B之間存在雙射（一一對應），就認為它們的基數一樣大；如果A與B的某個子集有雙射，就認為A的基數不比B更大，也就是A到B有單射，B到A有滿射；當A的基數不比B更大，且A、B基數不一樣大時，就認為A比B基數小。

在ZFC集合論的框架下，任何集合都是良序的，從而兩個集的基數總是大於、小於、等於中的一種，不會出現無法比較的情況。但若不包括選擇公理，只有良序集的基數才能比較。

例如，

可數集合，如自然數集，整數集乃至有理數集對應的基數被定義為「阿列夫零」。

比可數集合「大」的稱之為不可數集合，如實數集，其基數與自然數的冪集相同，為二的阿列夫零次方，被定義為「阿列夫壹」。

由於一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數，所以通過構造一系列的冪集，可以證明無窮的基數的個數是無窮的。然而有趣的是，無窮基數的個數比任何基數都多，從而它是一個比任何無窮大都要大的「無窮大」，它不能對應於一個基數，否則會產生康托爾悖論的一種形式。

最大的無窮大是多大呢？答案是沒有盡頭。事實上，(0,1)上的實數可以和正整數的所有子集的集合一一對應：把這些實數寫成二進位，小數點後第n位為1，對應於n在子集中；為0則對應不在子集中。這樣[0,1)上的實數就和正整數的子集有了一一對應，因此實數和正整數集的所有子集的個數一樣多。也可以證明前面所說曲線可以和實數集的冪集有一一對應關係。我們把前面說的所有曲線看成一個集合，他的所有子集的個數又將比這個集合大。這個過程可以一直進行下去，得到越來越大的無窮大。另外還有一個問題，即連續統假設：整數的無窮大和實數的無窮大之間存不存在別的無窮大。也就是說，是否存在比整數基數大，而比實數基數小的無窮基數，也就是與之間有沒有別的基數。更一般的，任給定無窮基數a，在a和2a之間是否有別的基數？這稱為廣義連續統假設。

數學家證明了這樣一個事實：連續統假設無法在ZFC集合論公理下被證明或證偽，換而言之，承認連續統假設將導出一個體系；不承認將導出另外一種體系。連續統假設或其否定均可作為額外的公理。在集合論里可以證明，比一個集合基數大的最小基數是存在的，如果你承認連續統假設，那麼可以把改寫成，改寫成，某些書籍正是這麼做的，但是未明確指出這一點。
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