觀點 | 認識邏輯應當從哪裡開始？（相當專業的講解版）

近來，在《科學網博客》發了一些文章，這些文章有些是我過去的講義，有些是我的讀書筆記，沒想到得到科學網和許多熱心朋友的厚愛和鼓勵，在此向所有瀏覽我的博客和留言朋友表示感謝。

目前我個人的關注是在邏輯、數學、語言、計算和哲學的交叉點，很難用一門學科加以概括，但是這些學問的基礎是相同的，這就是邏輯。以邏輯為中心點，做若干條線段，就可以到達幾個彼岸：

數學：自19世紀以來發生的數學危機以及後來人對這種危機的管控，導致了對數學的形式化的研究，導致了現代數學其基本語言就是一階謂詞邏輯，而其具體的實現，一是集合論，二是算術語言，三就是範疇論。

語言學：邏輯學對語言的關心不是一個學科對另一個學科的關心，而是將語言問題當做邏輯自身的核心問題之一。本質上，現代符號邏輯的一個重大使命就是成為其它科學的形式語言，因此邏輯學研究的起點就是對語言問題的研究——所謂形式系統，首先是一個形式語言系統。具體到語言學——對自然語言、人類日常語言的研究，自1957年《句法結構》的發表，以喬姆斯基為代表的生成語法理論風靡全球，這個理論的理論基礎就是Emil Post提出的基於可證明性的產生式系統的形式句法；換句話說，喬氏早期的理論，吸收了許多邏輯學30年代的研究成果。而對自然語言語義的研究則發端於Montague，塔爾斯基的學生，一位邏輯學家。Montague對自然語言語義的最初動機，來自於Bar-Hillel向喬姆斯基的建議——將邏輯學的形式句法和語義研究引入到當時流行的結構主義語言學中來。在謂詞邏輯的教學活動中，通常有一項練習是將一階謂詞語言和自然語言（英語）互譯。Montague發現這個過程的某個部分是機械式的，可以形式化，這樣，一階語言的表達式就可以成為對自然語言句子語義解釋，沿著這個方向走下去就使得邏輯成為了自然語言語義形式化的語言。

計算：計算的本質是形式系統的演繹過程的形式化。前面講的是將一階語言用於數學的形式化，語言學的形式化，但是能否描述自身的形式化過程呢？哥德爾對算術公理系統的研究證明無法做到：一致性和完備性不可兼得。但是如果不將這個形式系統運用到其它公理系統僅僅作為一個演繹過程，那麼其研究就變成了這樣一些問題：如何定義這個過程的邊界？如何知道這個過程一定可以推演出「正確的」結果？這個所謂「演繹過程」應當是什麼？圖靈對此問題給出的答案是圖靈機，而丘奇給出的λ-演算，柯里給出的是組合子邏輯，波斯特給出的是產生式系統，克里尼給出的是遞歸函數模型，然後還有馬爾科夫演算法，一共是六類。

這樣的研究使得邏輯發生了根本性變化——函數成為邏輯學的基本元素。這樣，就造成了邏輯學的兩個發展方向：以集合為基本元素的邏輯和以函數為基本元素的邏輯。這兩類邏輯的實質就是我在《淺談類型論》和《如何從邏輯走向計算》兩文都提到SICP的作者的觀點——陳述性知識和過程性知識。

有些朋友對《數理邏輯發展的動機》一文提出批評，說為什麼沒有提到哥德爾，甚至有人認為沒有提到哥德爾就是誤導。哥德爾無疑是偉大的邏輯學家，在上述幾個模型中都有哥德爾貢獻；在集合論領域，哥德爾是Neumann-Bernays-G?del公理集合論（簡稱：NBG公理集合論）的貢獻者之一，這是一種不同於ZFC的集合論理論；哥德爾還是Herbrand-G?del遞歸函數和可計算函數的創始人之一。最重要的，哥德爾那兩篇劃時代論文，是任何圖靈完備的計算體系理論架構的理論基礎。但是，哥德爾的邏輯體系，源自於德摩根-皮爾斯-施羅德-勒文海姆-塔爾斯基體系，與主流的邏輯主義、形式主義和20世紀後半期重新受到重視的直覺主義學派不太相同，因此在這樣一篇短文中把哥德爾的學說說清楚並且說得誰都聽得懂，對我是巨大的挑戰，因此說不清楚還不如不說。沒有提哥德爾的另一個主要原因是，此文的主要目的是接續我前面關於組合子邏輯和lambda演算與邏輯學傳統的歷史傳承，以及邏輯和計算的演變關係。為了突出這個主題不可能面面俱到。

哲學：自亞里士多德時代起，邏輯就一直是哲學的僕人，它是現代邏輯產生前西方哲學的表述外殼。到了19世紀，數學危機的出現，使得許多數學家開始思考數學的意義，戴德金那篇最著名的關於數學基礎的論文就是《Was sind und was sollen die Zahlen?》(數是什麼？數應當是什麼？)。對這個問題以及對集合論所引發的悖論問題的思考，使得現代邏輯問題背後都有哲學的身影，由於篇幅關係，這個問題容後展開討論。

如果將上面的議論歸結起來那就是：所謂數學的形式化、語言學的形式化、計算科學的形式化、哲學的形式化，其實就是這些學科的邏輯化，用邏輯的語言對對象學科進行邏輯重構，基本工具就是集合論、函數論、以一階語言為核心的演繹規則。當然語言學要用到更複雜的邏輯系統。

這篇小文留下了許多「容後再說」的空白，今後會慢慢補上。本文的主題想回到邏輯學的第一課：初學邏輯應當從哪裡開始？這篇小文原來發在了《豆瓣·邏輯小站》上，是為沒有邏輯背景的人寫的。現在看來要把邏輯的來龍去脈說清楚不至於引起誤解其實也不容易，因此就把這篇文章做了局部調整後放到這裡。

邏輯初步—— 學習邏輯應當從哪裡開始？

從哪裡開始

邏輯學是一門博大精深的學問，這門學問所覆蓋的領域包括了哲學、數學、計算機科學、人工智慧和語言學。除此之外邏輯學還是學習法律的基礎課程，同時又是所有科學包括人文科學和自然科學在內都必須掌握的基礎知識。

我們知道，生物中人類和其它動物的最大區別就是語言和思想。人具有思考的能力，具有把思考的過程和結果外現化（我們稱之為「表達」）的能力。如果把這種能力用一種固定的公式化的方法表示出來，而這種表示與思考、表達的內容無關、而只和表達的形式有關，那麼這種形式上程式化的方法就是一種邏輯。之所以說是「一種邏輯」，是指任何會思考的人類，都會循著一定的無意識的認知能力，對周圍的事物做出各自的判斷、歸納和推理。如果兩個人、兩組人群對同一事物、存在、過程，根據各自不同的背景、經驗、理論、信仰做出不同的判斷、歸納和推理，就會形成不同的結論，而當這兩種不同的結論發生衝突時，就會產生辯論，而辯論雙方都會根據「公認的法則」（即雙方都認為是有效的推理規律）力圖證明己方的結論是合理的，對方的結論是不合理的。但是由於辯論雙方各自的前提、假設、出發點和推理的方法不同，因此就形成了不同的「邏輯」。這就是法律、法院存在的理由。某項法律是對某些特定事件前提、假設的標準設定，所有辯論方都必須以此為論辯前提、假設和出發點。因此，法律的存在，消除了辯論雙方因各自「邏輯」不同產生的結論衝突。

既然所有的人都會有各自的人生觀、信仰，那麼這個世界上就會有千千萬萬種邏輯。例如，以「金錢是一切人生幸福和榮耀的根本源泉」的人，在做任何判斷時，都會以「利」作為判斷的基準。信仰「人不為己天誅地滅」的人，在任何事情發生時只會考慮自己的利益。這種人在對任何事情做出判斷時首先考慮的是，這事是否於我有利。即使是基本信念相同的人，由於各自的背景、教育、人生經歷的不同，對事物的判斷推理過程和結論也不相同。除此之外，由於動物的自衛本能，當自己的判斷、推理、信念受到攻擊時，所有人都會「本能地」利用自己潛在的推理知識為自己辯護，正當化自己的行為、言論和判斷。

到了20世紀後半葉，信息革命的興起，使得判斷推理不再是人類的專利。作為人類智能延伸工具的計算機，也開始具有邏輯運算的功能，儘管這種功能在人類面前還十分初級。計算機可以做任何複雜的邏輯運算，並將這種運算轉換為其它運算，例如算術運算等。利用計算機進行邏輯推理、這一直是人工智慧研究的重點之一。

而作為人類智慧的最高結晶——數學，則徹底剝離了人類在思考世界其它事物時的「偏見」——每個人所擁有的「個性邏輯」，使得所有研究數學的人，必須遵循一個一致的、完備的方法才能得到不矛盾的結論和結果。人類對數學的了解越深入，就越需要這種方法，這就促使數學家們找到一個比我們常見的判斷、歸納、推理模式更為精確的方式完成數學研究的任務——證明。證明，是數學家們展示自己世界和研究成果的唯一方式，任何數學成果，都必須以定理的形式體現，而定理之所以成立，就是證明，而證明則是數學中對判斷、歸納和推理的標準術語。可以說，數學的生命在於證明，證明的基礎就是判斷、歸納和推理。而數學證明，是最純凈化的、沒有世俗、沒有偏見、沒有形形色色各種「個性邏輯」摻雜的判斷、歸納和推理。

通過上面的議論，我們的結論是：人類思考、表達思想的過程就是判斷、歸納和推理和結論，這是我們人類認識世界從事任何事業時最主要的精神活動。老闆對一個項目是否投資、個人在工作中是繼續維持還是跳槽等、都需要做出決策，每個人的決策過程儘管不同，但都因循著判斷、歸納、推理這個模式得到自己滿意的結論。因此， 判斷、歸納、推理、結論 是任何人在這個世界上都必然具有的精神活動。這四個概念就是我們學習邏輯的出發點。

什麼是邏輯

對此，我們先不必忙著下定義，只要將我們在第一部分談到的4個關鍵詞：判斷、歸納、推理和結論沒有忘記即可。也就是說，所有邏輯學的內容，都和這4個關鍵詞有關。

說到「判斷」，實際上是我們對世界的認知；當我們對世界的某個部分有了了解，獲得了比較系統的認知後所獲得的「知識」。例如，跟一個人相處、在一個單位工作一段時間後，我們都可以對這個人、這個單位作出判斷，作為我們對這個認知對象的知識。國外有個求職網站叫Indeed，在這裡求職者就可以找到目前或者曾經在這個單位工作的評價，作為後來者的參考。這些評價，就可以構成判斷。「這家公司的薪水不錯但是公司文化不適合我」，「和我處事的主管人很不錯，從他身上可以學到許多東西」，等。這些判斷合在一起就構成了我們對這個談論對象的「知識」。 當然，這些判斷基本都在我們的生活常識內，例如「薪水不錯」，並沒有明確具體數額，但是一般人仍然會根據經驗、市場等得到相應的期望值。

「判斷」的更大用處出現在教科書。任何教科書的任務是傳授知識，而傳授的媒介是語言，語言所表達的內容格式就是判斷，可以說，教科書中所有傳達知識的句子都是判斷句，特別是對概念的定義、說明更是如此。因此，理解判斷也是我們學習新知識的基本能力之一。 而構成「判斷」的句子，大致上是由代表概念的名稱和和代表屬性的謂詞兩個部分組成。因此，要了解判斷，就要了解「概念」是什麼，「屬性」是什麼，而對「概念」、「屬性」的了解，則要深入到哲學領域，從人類精神與世界的互動中把握、理解。

判斷，只是對某概念、屬性的表述，而現實世界的知識是由多個判斷構成，從這些判斷中，我們可以決策，得到我們希望的結論。在這個過程中，每個判斷都不是孤立的，後面的判斷包含前面判斷的概念。而一般的，最後的判斷（結論）要依賴於前面的判斷，這樣我們才能做決策。這個過程就是「推理」。而推理形式有兩種，第一、我們從個別事實中總結規律；和朋友約會，那個人第一次遲到了、第二次遲到了、第三次遲到了，或許我們就會歸納得到判斷：此人經常遲到。第二，從一般的規律推斷個別事實；凡假日公司大部分員工不上班；今天大部分員工沒上班，所以今天是假日。還有一些「站不住腳的」推理。例如，在公園門口我看到一個人沒買票就進去了；既然他沒買票就進去了，是否我也能夠？因此，在日常生活中，我們隨時要做判斷、推理、歸納，作為我們處世做人知識的積累；同時我們也在接受吸收教科書、老師授課所傳達的判斷、推理和歸納作為另一類知識的積累。人生的所謂閱歷、經驗和知識其實就是這種判斷、推理、歸納過程的反覆、從而積累了大量對世界的對象、事件等作出結論的根據；換句話說，任何有經驗的人其實就是在應對某些事物、對象、過程中能夠迅速作出正確結論的人，而之所以能夠如此，有兩個方面的知識積累：第一，對事物本身的經驗，第二、對應對此類事物、對象、過程的推理經驗。

因此，判斷、歸納、推理、結論，對這些行為的外在形式進行系統研究的學問就是邏輯。而對判斷進行研究，又和哲學、認識論相關，而哲學思想的表述，也必須藉助邏輯的手段才可以完成。從這個意義上，邏輯（表述手段）是哲學（思想）的外殼，哲學是邏輯要表述的內容，亦即，哲學在闡述世界的一般規律時，是以概念、屬性、判斷、推理這樣的形式進行的，因此，學習邏輯意味著我們同時要學習哲學的一些基本概念。而這些，也是我們學習邏輯的起點。因此我們認識邏輯的路線圖就是：

1. 什麼是概念？什麼是屬性？

2. 什麼是判斷？判斷的種類有哪些？

3. 什麼是推理？推理的形式有哪些？

4. 推理的過程——論證是什麼？

5. 從一般的推理過程判斷什麼樣的判斷、推理不成立——謬誤、悖論和謊言

6. 辯論的一般形式

【補註】

如果通過這篇小文你真的對邏輯開始感興趣，有兩本書是值得一讀的：

一、金岳霖主編的《形式邏輯》。此書成書時間較早（1979年），有些語言反映了那個年代意識形態的特點，但卻是闡述邏輯基本概念最清晰，邏輯性最強，中文行文最為流暢的教科書，反映了老一代學者學風嚴謹語言表述準確的特點。

二、斯蒂芬·雷曼著 楊武金譯《邏輯的力量》。此書最大特點是包含了亞氏邏輯中的詞項邏輯(term logic)和三段論，這是所有後續邏輯學的基礎。康德在《純粹理性批判》中曾經宣稱，邏輯，自亞里士多德之後裹足不前，因而在所有方面是一門封閉和自足的知識。(Since Aristotle … logic has not been able to advance a single step, and is thus to all appearance a closed and completed doctrine.)。現代任何邏輯體系，都是建立在亞氏邏輯傳統之上的，在這方面，這本書的價值是獨特的。除此之外，本書對命題邏輯和證明方法的介紹特別是對德國邏輯學家根岑的自然演繹系統的介紹獨樹一幟，學完本書，對邏輯學與證明的關係，以至於對邏輯學的分支證明論可以建立起明確的概念。

小編：可可

來源：賽義甫科學網博客，經授權轉載。