求數列1,1,2,3,5,8,13,21,···的通項公式

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這個數列是著名的斐波那契數列，又稱為兔子數列，同時，它還有一個比較霸氣的名字，叫做黃金分割數列。隨著春節的臨近，距離2017年6月7日也越來越近了（這個日子高三滴童鞋應該懂~）。所以在此小編想以這個著名的數列為載體來跟各位複習並鞏固一下等差數列、等比數列的相關知識

分析：我們把上面的數列記為數列{an}，通過觀察我們發現上述數列存在這樣一個關係，即a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中n≥3。

解：令an＋k·an-1＝h·（an-1＋k·an-2）其中n≥3。（可以說這是關鍵的一步，如果k、h的值可以求出的話，那麼數列{an+k·an-1}就是一個等比數列了，不過，現在還不知道是不是！）

我們把以上構造出來的新數列去括弧、移項然後與原來的數列{an}的遞推公式進行對比係數，得到一個以k、h為未知數的二元一次方程組，於是得：

解這個二元一次方程組得：

（以下我們討論第①種情況，第②種情況留給大家當做練習）

於是，我們現在可以大膽的說，構造出來的數列{an+k·an-1}是一個等比數列，這個數列是以{a?－[(1+√5)/2] ·a1}為首項，（1－√5）/2為公比的等比數列。進一步地，我們可以算出首項：a?－[(1+√5)/2] ·a1＝（1－√5）/2。所以得到：

為了更加形象的表達出等差數列、等比數列以及各種等量之間的關係，小編就把接下來的的步驟寫在紙上，然後拍照上傳到此處：

不知你們有木有發現，雖然數列{an}的各項都是有理數，但是它的通項公式卻可以用無理數表示出來！這正是這個數列神奇的地方，所以人們也非常喜歡對這個數列進行研究，既有職業數學家也有業餘愛好者，在這個領域可以說是碩果累累。當我們求出這個數列的通項公式之後，我們就不難明白這個數列為啥叫做黃金分割數列了，相信很多人對0.618這個數字有點印象，沒錯，（√5?1）/2就是約等於0.618，而以上的通項公式中出現了（√5?1）/2的身影。

對於高中學生的一些啟發：此題很好的考查了等差數列、等比數列的有關性質以及如何去構造新的等差數列、等比數列。縱觀近年來各個省份的高考，對計算能力考查的要求不斷提高已經成為趨勢，在算這道題的時候，如果不細心專註，則很容易出錯。高考雖然不會直接考這道題，但其中的方法卻不會因題而異，比如上面一開始構造的新的等比數列{an+k·an-1}，想要快速想到絕非那麼容易，這就要求我們平常多練習了。由於這道題具有很深的歷史背景，而等差數列和等比數列又是高考的高頻考點和熱點，再加上在計算方面，這道題要求我們在計算的時候要耐心和細心，所以個人認為此題對於高三的同學備戰今年6月份的高考具有很大的參考價值。

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