科學松鼠會 ? 素數並不孤獨

07-07

數學是科學的女王，數論是數學的女王。

——高斯

數論，是研究數字的一門數學分支。如同大海，它清澈透明而又深不見底。它的基礎概念，自然數、加法、乘法，每個小學生都清楚；但關於自然數的定理，卻可以讓人窮盡一生而不得其解。而這篇文章要介紹的，只是這個廣闊海洋中一個小小的海域。即便如此，我們仍未知道此處海深幾何，儘管最近張益唐的突破性工作，使我們比以往更接近真理，但這遠遠不夠。

儘管筆者才疏學淺，有恐貽笑方家。但如能為讀者勾勒出一點點數學之美，也不枉費一番心思。

素數何時成雙對

可以說，素數是數論中最基礎而最重要的概念。如果一個大於二的正整數，除了1和它本身之外，不是任何數的倍數，那麼它就是一個素數。比如說，6不是一個素數，除了1和它本身以外，它還是2和3的倍數；而5則是一個素數。

在古希臘，人們已經有了素數的概念，對素數的研究也略有所得。在歐幾里德的《原本》中，第七、八、九篇講述的是「關於整數及其比值的性質」，實際上也就是數論。在這幾卷中，歐幾里德指出了今天所說的「算術基本定理」：將自然數分解成素數乘積的方法是唯一的。也就是說，如果用乘法的眼光來看自然數，那麼素數就是自然數的最小組成單元。它們不能被分解成更小的數的乘積，而所有自然數都可以分解成它們的乘積。

那麼，我們自然要問：素數作為自然數的組成單元，它們有多少個？

有無限個，歐幾里德不僅回答了這個問題，還給出了一個經典的證明。

不妨反設只有有限個素數，考慮它們的積N，它是一個有限的自然數。所以，N+1也是一個自然數，它也應該是一些素數的積。但根據假設，每一個素數都不整除N+1，這不可能！所以，素數必定有無限個。

這個精巧的證明，是人類探尋素數奧秘的第一步。

2、3、5、7、11、13……最初的幾個素數，要找出來並不困難，但隨著數字增大，如果一個一個數字按照定義去篩選是否素數，工作量會很快變得十分龐大。同為古希臘數學家的埃拉托色尼，給出了一個比較省力的演算法，後人稱之為埃拉托色尼篩法。

首先，列出從2開始的數。然後，將2記在素數列表上，再划去所有2的倍數。根據定義，剩下的最小的數——在這裡是3——必定是素數。將這個數記在素數列表上，再划去所有它的倍數，這樣又會剩下一些數，取其中最小的，如此反覆操作。最後剩下的都是素數。

【埃拉托色尼篩法，圖片出處：維基百科】

當古希臘人用這種方法計算出長長的素數列表時，他們也許也曾驚異於素數分布的秩序缺失。這些自然數的組成單元，在自然數中的排列卻毫無規律，時而靠近，時而疏遠。用類似歐幾里德證明中的構造，我們知道，兩個相鄰素數之間的距離可以要多大有多大。而隨著數目越來越大，相鄰素數之間的距離似乎也越拉越長。

在無限延伸的自然數集中，向無窮的地平線望去，雖然仍有無窮的素數，但它們似乎也愈變孤獨。

這種孤獨甚至是可以度量的。在十八世紀的尾巴，年僅15歲的高斯獨立提出了一個猜想：在n附近素數的密度大約是n的對數。也就是說，相鄰素數之間的平均距離大概與它們的對數成正比，雖然增長很慢，但卻義無反顧奔向無窮。但即使是高斯，也無法嚴格地證明他的猜想，要等兩個世紀後的阿達瑪（J. Hadamard）和德拉瓦萊普森（C. J. de la Vallée-Poussin），才能將這個猜想變成現在的「素數定理」。

雖然如此，偶爾也會有成對出現的素數，它們之間只相差2。像這樣成對出現的素數，在那些孤獨的同伴看來，無疑是異類。

它們被稱為孿生素數。

漫天星河難理清

一個自然的問題是，孿生素數有多少？

孿生素數猜想斷言，有無限對這樣的孿生素數。但還沒有人能嚴格地證明這一點。在1849年，數學家A. de Polignac甚至猜想，對於任意的偶數2k，都有無數對相鄰的素數，它們的差恰好是2k。

這不是一個容易的問題。素數是乘法的產物，而孿生素數的定義則涉及到加法。即使只是加上2，也需要同時用到自然數的加法和乘法的性質。而在數論中的很多看似簡單但無比困難的問題，比如哥德巴赫猜想和華林問題，核心也在於加法和乘法的交織。這種相互作用給數論學者們帶來了無窮的頭痛，以及對咖啡的無盡渴求。

與此同時，行外人的評價卻似乎異常中肯：「為什麼素數要相加呢？素數是用來相乘而不是相加的」。

當然，如果只將素數用在只與乘法有關的問題上，事情當然簡單得多。但如果我們想要更多地了解自然數的玄機，那必然涉及到加法和乘法的相互作用。縮在「容易」的圈子裡從來無補於事。如同探險家一般，數學家也有著征服難題的渴望，因為在那困難的山巔上，有著無盡的風光。為了難題產生的新方法、新思想，可能會開闢出意想不到的新天地。

【畫在平面上的素數分布，圖片出處：維基百科】

孿生素數的難點在於，它是一個關於素數的具體分布的問題，而我們對素數的具體分布知之甚少。素數定理只告訴我們素數的大體分布，而對於具體一個個素數的位置卻無能為力。如同繁星，素數點綴著自然數的夜空，放眼望去，它們朝向無限的地平線愈見稀薄。但要想分清這無限繁星中的每一顆，即使用上最好的望遠鏡，也無可奈何。

所以，在很長一段時間裡，對於孿生素數猜想，人們仍然停留在揣測和估計的層面。

首先嘗試直接猜測的，是英國數學家哈代（G. H. Hardy）和李特爾伍德（J. E. Littlewood），他們在1923年開始了一系列的猜測。

【霸氣的哈代，圖片出處：維基百科】

素數定理告訴我們，對於足夠大的自然數N，在N附近隨機抽取一個自然數n，它是素數的概率大概就是(lnN)?1。那麼，在同樣的區間，隨機獨立選取的兩個數都是素數的概率就是之前概率的平方，也就是(lnN)?2。

那麼，在N附近隨機抽取一個自然數n，n和n+2是一對孿生素數的概率是否就是大概(lnN)?2呢？很遺憾，並非如此，因為n和n+2並非完全獨立的，所以不能直接應用之前的結果。不過這個估計雖不中亦不遠，只要乘上一個修正係數，藉此表達兩個數相差2的性質，就能得到對孿生素數密度的估計：2C2(lnN)?2。在這裡，修正係數C2是一個關於所有質數的無窮乘積。如果密度確實如此，那麼顯然有無限對孿生素數，孿生素數猜想應該是正確的。

實際上，這是所謂「第一哈代-李特爾伍德猜想」的一個特殊情況，難度甚至遠高於孿生素數猜想：它不僅隱含了孿生素數猜想，而且對具體的分布作出了精細的估計。雖然上面的論證看上去很誘人，但它並不是一個嚴謹的證明，因為它的大前提——素數是隨機分布的——本來就不成立。素數的分布有著深刻的規律，遠遠不是一句「隨機分布」所能概括的。

但哈代和李特爾伍德並非等閑之輩，作為當時英國的學科帶頭人，既然提出這個猜想，當然經過了深思熟慮。現在看來，依據之一是，望向無限，素數的分布的確看似隨機：對於那些「簡單」的操作（比如說加上2）來說，數值越大，越靠近無限的地平線，看上去也越「隨機」。所以，在考慮各種素數形式的分布時，假定素數按照素數定理的密度隨機分布，不失為一個估計的好辦法。更為重要的是，數值計算的結果也與哈代和李特爾伍德的猜測所差無幾。這更增添了我們對這個估計的信心。

然而，猜測只是猜測，不是嚴謹的證明。無論用數值計算驗證到什麼高度，有多符合，對於無限而言，都是滄海一粟。李特爾伍德本人就曾證明過一個類似的結論。

人們此前猜測，小於某一個數N的素數個數π(N)必定小於所謂的「對數積分」函數li(N)，而根據素數表，這個規律直到10的14次方都成立。但李特爾伍德在1914年證明了一個驚人的結論：對於足夠大的N，不僅π(N)可以大於li(N)，而且它們的大小關係會無窮次地逆轉！但直到今天，對於第一次打破這個規律的N，我們仍然不知道它的具體數值，只知道它大概是個有三百多位的數。

這個例子足以說明素數可以多麼深不可測而又出人意料，同時提醒我們，面對無限，不能掉以輕心。無論有多少計算的證據，都不能輕易下定論。征服無限的工具，只有嚴謹的數學證明。

狂沙淘盡始得金

既然難以知道孿生素數具體有多少，那麼不妨換個思路：孿生素數最多能有多少呢？

這就是數學家的思路，如果正面久攻不下，那麼就從側面包圍。當難以直接得到某個量時，數學家的「本能」會指引他們，嘗試從上方和下方去逼近，證明這個量不可能小於某個下界，或者不可能大於某個上界。如此慢慢縮小包圍圈，就有希望到達最終的目標。

而在1919年，挪威數學家布倫（V. Brun）走的就是這麼一條路：他證明了，孿生素數的密度不可能超過O(N(lnlnN)2(lnN)2)。籍此，他證明了所有孿生素數倒數的和是有限的。要知道，所有素數倒數的和是無窮大，可見孿生素數在素數中有多麼稀少。人們將所有孿生素數的倒數和稱為布倫常數，它的具體數值大約是1.90216...。

關於布倫常數，還有個有趣的小插曲。1994年，美國一位教授在計算布倫常數時，無意中發現當時英特爾公司的奔騰處理器在計算浮點除法時，在極稀有的情況下，會產生錯誤的結果。雖然英特爾聲明這種錯誤對於日常使用來說不足為患，但對於消費者來說，這種託辭實在難以接受。最後，英特爾不得不承諾免費更換有問題的處理器。幫助發現硬體問題，這可算是數論在現實中的一個小小應用。

【出問題的那款晶元，圖片出處：維基百科】

但布倫的證明意義遠不止於此。他的這個證明，正是現代篩法的開端。

布倫所用的篩法，根源可以追溯到古希臘的埃拉托色尼篩法。還記得我們怎麼用埃拉托色尼篩法列出素數表嗎？每次獲得一個新的素數，我們都要划去所有新素數的倍數，然後剩下最小的數又是一個新的素數。用類似的方法，我們可以估計在某個區間中，比如說在N和2N之間，大約有多少素數。

首先，我們假設手頭上已有足夠大的素數表（大概到2N???√的所有素數）。用這個素數表，我們打算把從N到2N的所有合數都划去一遍，剩下的就是素數。對於每個素數p，我們將所有p的倍數划去一遍。在N和2N之間，對於每個素數p，大約有N/p個這樣的倍數。當然，如果N不是p的倍數，這樣的估計會有誤差，但在數學家看來，只要能把握誤差的大小，最終仍然可以得到正確的結論。

這樣，剩下的數的個數就是N減去所有N/p的和，是這樣嗎？並不盡然，因為有些數可能被划去了幾次。比如說1000，它能被2整除，也能被5整除，於是在處理2和5的倍數時，它分別被划去了兩遍。對於每一對素數p1,p2，每個p1p2的倍數在之前都被划去了兩遍，而我們只希望將它們划去一遍。為了得到正確結果，我們需要對這些數作出補償：將這些數加回去，一共是N/p1p2個，加上一點點誤差。

但這就是盡頭嗎？如果考慮三個素數的倍數，我們發現補償得又太多了，需要重新划去；繼續考慮四個素數的倍數，划去得又太多了，需要重新補償……如此一正一反，損有餘，補不足，一項一項估計下去，才能從自然數的海洋中，精確篩選出所有我們想要計算的那些素數。

但我們是否需要做到如此精細呢？在整個計算中，雖然每一項看似簡單，但簡單的代價是誤差。雖然每一項的誤差很小，但因為數目巨大，累土而成九層之台，累計誤差可以比需要估計的量還要多。所以，在現代的篩法中，過於精細反而是一種累贅。況且，我們的目的是獲得上界或者下界，所以結果無需完美，只需誤差可控。一般而言，由於越到後面的項貢獻越小，往往忽略它們的計算，直接將其計入誤差。這樣可以有效減少需要計算的項的數目，同時也能間接減少誤差。當然，如果忽略的項太多，它們引起的誤差又會太大，也會導致不夠精確的結果。

布倫相對於前人的改進，正在於此。如果盲目計算所有的項，必然深陷誤差的泥沼。而布倫則大膽截去那些貢獻很小卻占絕大多數的項，而對於剩下的項也果斷採用更粗放的近似來簡化計算。雖然看似不依章法，但通過仔細調校，布倫得以有效控制總誤差，從而獲得他想要的結果。

布倫的這個思路，開啟了解析數論之中一大類方法的大門。我們不知道怎麼數素數，是因為它們的分布實在難以捉摸。而現在，布倫的篩法指出了一條用簡單的集合來逼近素數集合的道路，這自然令數學家如獲至寶。

在更精細的篩選與更微小的誤差之中尋找那一線的平衡，這大概是篩法的醍醐。但這樣的平衡，顯然依賴於我們如何估計每一項的具體數值。可以每項分開估計，但合起來也無傷大雅。無論做法如何，估計的誤差越小，篩選可以越深入，結果也越逼近真實。即使估計方法不變，如果有更好的方法決定每一項的取捨，取貢獻大而誤差小之項，而舍貢獻小而誤差大之項，當然也能得到更好的結果。

但為何拘泥於每一項？對於每一項，為什麼要麼取要麼不取，不能站在中間立場嗎？只要能控制誤差，將每一項拆解開來，根據貢獻和誤差來賦予不同的權值，再求和，這樣的結果豈不是更精細？再者，有時不拘泥於素數，放鬆限制去篩選那些「殆素數」，也就是那些只有少數幾個素因子的數，在某些情況下也能得到更好的結果。在嚴謹的前提下，只要能做出更好的結果，數學家對於突破原有思路毫不猶豫。

這就像一場對素數的圍捕戰。數學家們拿著篩法這個工具，不斷打磨它、改裝它，不斷練習，正著用，反著用，與別的領域的工具配合著用，絞盡腦汁發明新的用法，殫精竭力用它來圍捕那些調皮的素數。欲擒故縱，反客為主，無中生有，李代桃僵，數學家們在對各種各樣素數的圍捕中，借著篩法，將一套兵法使得淋漓盡致，精彩之處，三國亦為之失色。

在篩法的力量下，孿生素數終於露出了一鱗半爪：

在1920年，同樣是布倫，證明了有無窮對9-殆素數，它們之間只相差2。所謂9-殆素數，或者更一般的k-殆素數，就是那些至多有k個素數因子的自然數（包括重數）。而1-殆素數就是素數。模仿哥德巴赫猜想的記號，布倫證明的就是（9 - 9）。

在1947年，匈牙利數學家雷尼（A. Rényi）證明了，存在一個常數k，使得有無窮對自然數m,p，其中p是素數，m是一個k-殆素數，而兩者之間只相差2。也就是說，他證明了（k - 1）。

在1950年，挪威數學家塞爾伯格（A. Selberg）證明了，有無窮對整數n和n+2，它們的素因子一共至多有5個。而孿生素數定理相當於素因子至多有2個的情況。

在1966年，義大利數學家E. Bombieri與英國數學家H. Davenport證明了，孿生素數的密度至多是8C2(lnN)?2。也就是說，孿生素數的數量至多是哈代與李特爾伍德所估計的4倍。

【陳景潤的雕像，圖片出處：維基百科】

在1978年，在證明了哥德巴赫猜想的（1 + 2）後，陳景潤用相同的篩法改進了雷尼的結果：他證明了，有無窮對自然數m,p，其中p是素數，m是一個2-殆素數，而兩者之間只相差2。也就是說，他證明了（2 - 1）。

而最新的結果則是D. Goldston、J. Pintz和C. Yildirim在2009年發表的。他們證明了，兩個素數之間的差距，相比起平均值而言可以非常小。在假定某個強有力的猜想後，他們還證明了，存在無限對素數，它們之間相差不過16，與目標的2隻有八倍的差距。但問題在於，即便16這個數目相當誘人，但他們的假定過於強大，強大得不像是對的，也使人們對他們結果的信心打了個折扣。

在整個過程中，數學家們動用了解析數論中的大量工具：L函數、西格爾零點的估計、多種版本的篩法、克魯斯特曼和的估計、自守形式，如此等等，不一而足。每樣工具，都是心血的結晶。但即便如此，我們離孿生素數猜想還很遙遠。儘管Goldston、Pintz和Yildirim的結果非常強大，但也不能在無假定的情況下，推出有無窮對素數，它們相差恰好是一個有限的確定值。

雖然只差那麼一點點。只要關於所謂「素數分布水平」的引理稍微強一點點，就能得到有無窮對相差不遠的素數的結論。但就在這個關口，人們卻處處碰壁。希望就在伸手可及之處，卻似乎總是差那麼一點點。「此路不通」的想法開始瀰漫開來。

在眾人束手無策之際，當時默默無聞的張益唐向《數學年刊》提交了一份論文。

梅花香自苦寒來

【張益唐，圖片出處：新罕布希爾大學】

一份三十公分的義大利麵包，縱向剖開，抹上金槍魚泥，放上四片乳酪，放到烤爐烤一分鐘，撒上生菜，鋪上酸黃瓜和番茄，包起來，切成兩半，就是又一個三明治。

這也是張益唐曾經蹉跎的歲月。

在博士畢業後，因為種種原因，雖有真才實學，但張益唐未能在學術界找到一份工作。為了生活，他不得不打工維持生計。即使在他的同學幫助他，找到新罕布希爾大學的一份代課講師工作後，即使在轉正成為一名大受學生好評的講師後，正式而言他仍不是一名研究人員。

時運不齊，命途多舛；馮唐易老，李廣難封。

但數學無需官方認可，研究也不需要正式的職位。張益唐受過正式的數學研究訓練，有紮實的功底，有充分的能力，知道怎麼去做研究，心裡也時刻揣著數學。即使沒有正式的職位，他骨子裡仍然是一位研究數學的學者。

而他心裡裝著的，正是素數的分布問題，特別是孿生素數。即使沒有正式的研究職位，他仍然做著一名研究者會做的事。他緊跟當前解析數論學界的發展，閱讀了J. Friedlander和H. Iwaniec在篩法上的突破性工作，閱讀了Goldston，Pintz和Yildirim關於素數間隔的工作，還有很多不同的新工作。他思考著新的方法，嘗試沿著前人的路徑走下去，相信能用新的技巧，把道路走通，證明有無窮對相差不遠的素數。

但這談何容易！即使從Goldston等人強有力的方法出發，要得到想要的結果，也難倒了眾多學者。張益唐花了三年時間，不斷嘗試新的方法，屢戰屢敗，屢敗屢戰。數學研究，莫不如是。

終於，在2012年6月，他到朋友家作客時，靈光一閃，找到了開啟關鍵的鑰匙。

要說起來，張益唐的方法並非那種橫空出世的新構想，而是利用現有的工具，用新的策略將它們組合起來，再加上一點點新的思想。Goldston等人所用的篩法相對精細，但卻稍欠迴旋餘地，而張益唐稍稍放鬆了這個篩法，雖然能作出的估計稍欠精細，卻換來了更大的游刃之餘，得以對篩法中誤差與精細的天平作出更精巧的調整，結合一些新的結果，特別是Iwaniec等人的工作，反而能獲得更好的估計。箇中精彩之處，恕筆者學識淺薄，難以一一盡述。

用他的新篩法，張益唐證明了，有無窮對素數，它們相差不過七千萬。他將他的新方法與新結論，用簡潔明了的語言，寫成了一篇論文，投稿到數學界的頂級期刊《數學年刊》。

這篇論文名為Bounded gaps between primes（《素數間的有界間隔》）。

收到這篇論文的編輯想必十分意外。在一所不起眼的大學做著講師的工作，在數學的研究共同體中也不活躍，之前一篇論文還是十多年前發表的，這樣的一位默默無聞的數學家，突然聲稱自己解決了一個困擾眾多學者幾十年的問題，引起的第一反應自然是懷疑。但畢竟，數學證明就是他學識的證明，他的論文寫得如此清楚明白，而所用的方法又是如此合情合理，這衝破了原有的一點點懷疑。編輯認為，張益唐的結論很可能是對的，而他的方法對於解析數論而言，也可能是個重要的進步。

因為很多數學證明都相當艱深晦澀，即使是同一個領域的專家，有時也要花上一大段時間來咀嚼揣摩，才能斷定證明是否無誤。所以，數學論文的審稿時間通常不短，少則數月，多則數年，期間匿名審稿人通常需要通過編輯與作者多次通信，才能決定一篇論文的命運。而張益唐的論文是如此激動人心，編輯認為他們等不起如此漫長的時間，於是對他的論文進行了「特殊對待」。他們請了篩法方面的大家Iwaniec教授與另一位匿名審稿人（可能是Goldston）來審核這篇論文，很快就有了迴音。

兩位審稿人都認為這篇文章沒有明顯的錯誤。實際上，評審報告中寫著這樣的評價：「論文的主要結果是第一流的」，「在素數分布領域的一個標誌性的定理」。從論文寄出到審稿結束，僅僅花了三個星期的時間。

自此，消息不脛而走。在哈佛大學的丘成桐教授，知悉這個消息之後，很快邀請了張益唐來哈佛做關於他的工作的學術報告。消息很快在數學界與新聞界傳開，張益唐幾乎是一夜之間，從默默無聞變成舉世知名。據說，他的妻子聽說有記者要採訪時，跟張益唐講的第一件事，就是把髮型整理一下。

作為勵志故事，這個結尾再好不過了。

路漫漫其修遠兮

當然，故事仍未結束。

在數學界中，對於久攻不下的問題，一旦有人打破一個缺口，其他人很快就會跟進，把缺口弄得更大。張益唐的結果也不例外。

在張益唐的論文中，他給出的結果是，存在無數對相鄰素數，它們的差相差不過7000萬。但這只是一個估計，並非張益唐的方法能得到的最好結果。在論文出爐後，一些數學家吃透了新方法，開始試著改進這個常數。

張益唐的論文在5月14號面世，兩個星期後的5月28號，這個常數下降到了6000萬。

僅僅過了兩天的5月31號，下降到了4200萬。

又過了三天的6月2號，則是1300萬。

次日，500萬。

6月5號，40萬，連原來的百分之一都不到。

在筆者寫下這行的今天，剩下的只有區區的25萬。

這些結果，可以說是互聯網的結晶。這樣快的改進速度，對於僅僅依靠一年發行數次的期刊做研究的時代，完全是不可想像的。而在今天，數學家們在網上，你一言我一語，不停發布最新的思考和計算，以最高的速度，匯聚所有人的智慧，才能創造出如此奇觀。

張益唐帶來的影響不止於此。利用他的新方法，可以解決更多的問題。Pintz指出，從張益唐的工具出發，可以得知存在一個常數C，使得對於每C個連續偶數，都存在無窮對相鄰的素數，它們的差是這些偶數之一。也就是說，Polignac的猜想，起碼對於1/C的偶數來說是正確的。所以，不僅素數本身難以捉摸，它們之間的差更是劇烈起伏不定。

實際上，大數學家Erd?s在1955年就猜測，相鄰兩對素數差的比值，可以要多大有多大，要多小有多小。而同樣藉助張益唐的工具，Pintz不僅證明了這個猜想，而且證明了比值之差以不低的速度趨向於兩極分化。用他本人的話來說：在剛剛過去的幾個月里，一系列十年前會被認為是科幻小說的定理都被證明了。

但孿生素數猜想本身又如何呢？我們知道，如果將張益唐論文中的常數從7000萬改進到2，就相當於證明孿生素數猜想。既然現在數學家們將常數改進得如此的快，那麼我們是否已經很接近最終的目標呢？

很遺憾，實際上還差很遠。

張益唐的方法，本質上還是篩法，而篩法的一大問題，是所謂的「奇偶性問題」。簡單來說，如果一個集合中所有數都只有奇數個素因子，那麼用傳統的篩法無法有效估計這個集合至少有多少元素。而素數組成的集合，恰好屬於這種類型。

正因如此，當陳景潤做出哥德巴赫猜想的突破性結果（1 + 2）時，他得到的評價是「榨乾了篩法的最後一滴油」。因為如果只靠篩法，是無法證明哥德巴赫猜想的。（1 + 2）是篩法所能做到的最好結果。

但數學家們從不固步自封。要想打破「奇偶性問題」的詛咒，可以將合適的新手段引入傳統篩法，籍此補上篩法的缺陷。張益唐的出發點——之前提到Goldston，Pintz和Yildirim的結果——正是這種新思路的成果。但對於孿生素數猜想而言，這些進展仍然遠遠不夠。學界認為，雖然不能斷定張益唐的方法，即使經過改進，是否仍然不能解決孿生素數猜想，但可能性似乎微乎其微。

但不能低估人類的才智。發明割圓術的劉徽，他對於無知的態度更適合我們：

敢不闕疑，以俟能言者！

參考資料：

Bounded gaps between primes, Yitang Zhang, Annals of Mathematics

Open question: The parity problem in sieve theory, Terence Tao, http://terrytao.wordpress.com/2007/06/05/open-question-the-parity-problem-in-sieve-theory/

Are there infinitely many twin primes?, D. A. Goldston, http://www.math.sjsu.edu/~goldston/twinprimes.pdf

關於相鄰素數之差的筆記（張益唐及其他）, 木遙, http://imaginary.farmostwood.net/592.html

Polymath上常數改進的頁面：http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes

張益唐和北大數學78級, 湯濤, 數學文化, http://www.global-sci.org/mc/readabs.php?vol=4&no=2&page=3

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