數學中的邏輯思維（二）——邏輯思維的基本規律

邏輯思維的基本規律是對人們運用概念，命題，推理和論證經驗的科學總結，是思維邏輯的基本表現形式。邏輯思維的基本規律有同一律，矛盾律，排中律和充足理由律。

一．同一律

同一律的內容是：在同一個思維過程中，每一思維與其自身是同一的。

同一律的公式是：A是A。「A」表示任一概念，命題，「A」是A表示同一思維過程中每一概念，命題與其自身具有同一性。對於數學的概念，命題而言，同一律要求在同一思維中必須同一，準確，不能有任何絲毫不同的判斷和解釋。

同一律對思維過程提出了要求。首先，同一律要求人們在同一思維過程中，使用概念的內容必須保持同一，不能任意改變。一個概念可以多次重複使用，但它開始規定的含義及適應範圍，在同一數學思維過程中都必須保持確定的含義與範圍，而不能隨意地加以改變和修改。在同一思維中，不能隨意改變某一概念的含義，也不能把不同的概念加以混淆。違背這一要求就會出現「偷換概念」或「混淆概念」的邏輯錯誤。

二．矛盾律

矛盾律的內容是：在同一思維過程中，兩個互相反對或互相矛盾的思維不能同時是真，其中必有一假。

兩個互相反對或互相矛盾的命題不能同時都真，其中必有一假，只有在「同一思維過程中」才是有效的。如果對象不同，時間不同，關係不同，那麼這種矛盾律可以不成立。

矛盾律的公式是：並非「A且非A」。「A」表示任一命題，「非A」表示與「A」相反或互相矛盾的命題。這個公式表示同一思維過程中兩個互相反對或互相矛盾的命題不能同時都是真，其中必有一假。

矛盾律是關於思維一貫性的要求，遵守矛盾律就可以保證思維前後的一貫性。矛盾律要求人們在同一思維中，也就是在同一時間，同一關係下，對於具有矛盾關係和相互反對關係的判斷，不應當承認它們都是真，必須斷定其中有一假。如果違反矛盾律的要求，對一個思維過程中的兩個互相否定的命題都斷定為真，或者對一個對象既肯定又否定，就會出現「自相矛盾」的邏輯錯誤，人們也稱之為出現了邏輯矛盾。

在有關邏輯矛盾現象中，有一種很特殊的邏輯矛盾叫悖論。它長期困擾著邏輯學和數學，這種邏輯悖論是指這樣一種判斷：當由這一判斷為真時，卻可以推證出這一判斷是假的。歷史上最早發現的悖論是古希臘的「說謊者悖論」。用現代形式表述是：「我說的這句話是謊話」。我們判斷「說自己正在說謊的人，他的這句話是不是假的」時，就會產生悖論：若說謊者的這句話是真的，那麼正在說的這句話是假的；若說謊者的這句話是假的，那麼這句話就是真的。按照矛盾律來分析，悖論實際上對一個判斷既肯定又否定，因此它違反了矛盾律，不符合邏輯規律的要求。

對於悖論，18世紀以前，很多人把它看作是詭辯或單純的謬誤，但是隨著數學基礎研究和數理邏輯的發展，人們開始重視和研究悖論，並認識到悖論對數學，邏輯學等學科的重大意義。

在學習運用矛盾律時，應注意區別客觀事物的矛盾和邏輯矛盾。客觀事物存在矛盾，這是不以人的意志為轉移的客觀規律，它是正常的客觀現象。邏輯上出現矛盾，是我們主觀上，思維過程中出現的矛盾現象，它是可以排除的，而且為了保持思維的正確性也是必須排除的。客觀事物的矛盾與邏輯矛盾不能相互混淆。矛盾律本身不否認客觀事物存在著矛盾，但是要求思維過程中必須排出矛盾。

三．排中律

排中律的內容是：在同一思維過程中，兩個互相矛盾的思維不能都假，其中必有一真。

排中律的方式是：A或者非A。公式中的「A」與「非A」表示兩個矛盾命題。「A或非A」的含義是，對同一思維對象同時作出兩個互相矛盾命題時，不是A真，就是非A真。人們總是要在這兩個互相矛盾的命題中作出明確的選擇。

排中律與矛盾律既有聯繫又有區別。矛盾律不允許思維中又邏輯矛盾，指出相互否定的思維不能同時為真；排中律則進一步要求人們在相互矛盾的判斷中承認其中必有一真。矛盾律是關於思維一貫性的要求，而排中律則是關於思維明確性的要求。在這一點上，可以把排中律看作是矛盾律的繼續。

排中律作為一個保持思維明確性的邏輯規律，是人們認識事物，發現真理的一個必要條件。當問題歸結為兩個相互矛盾的判斷時，排中律要求人們承認二者中必有一真，從而使人們可以得到正確的認識。但是，應當指出的是排中律要求在兩個矛盾判斷中作出非此即彼的選擇，並不否認事物發展過程中出現的「亦此亦彼」的中間狀態。排中律只是作為一個邏輯思維的規律，它不是研究事物發展演變中相互轉化的規律，因此認為排中律否認，排除客觀事物的中間狀態，是對排中律的一種誤解。

四．充足理由律

充足理由律的內容是：在同一思維中，一個判斷被斷定為真，必須有其充足理由。

充足理由律的公式是：因為B真，並且B推出A，所以A真。

公式中的「A」代表在論證中被確定為真的判斷，稱為推斷；「B」代表用來確定A真的判斷，稱之為理由。在論證過程中，一個判斷A所以能被確定為真，一定還存在另一個判斷B，並且從B真可以推出A真。若B真並且從B真可以推出A真，那麼我們稱B為A的充足理由。

充足理由律是邏輯思維的基本規律之一，是人類思維論證性的科學根據，所謂思維的論證性即思維的有根據性。在論證中，如果一個論斷被確認為真，那麼這個論證就一定為這個論斷提出了充足理由。當然，一個論證，如果沒有為它的論斷提供充足理由，該論斷也就不能被確定為真。

在科學鄰域里，尤其在數學領域中，任何一個觀點，學說的提出和建構都要有充足的根據和有力的論證，否則就不能使人信服，這些都體現了充足理由律的要求。實際上充足理由律是表現了客觀事物之間的必然聯繫，特別是反映了事物間因果關係。一個事物之所以具有某種性質，必然存在一定的根據，一定為先行於它的各種條件決定。一個事物之所以存在，必然有引起它存在的原因。沒有它存在的條件，沒有引起它出現原因，它是不可能存在的。

充足理由律對正確思維的要求有兩條：其一，理由必須真實；其二，理由與推斷之間要有邏輯聯繫。這兩項要求對於正確思維來說，是缺一不可的。只有滿足了充足理由律的這兩項要求，才能使思維有論證性和說服力。如果違背了充足理由律的邏輯要求，就會犯「理由虛假」和「推不出」的邏輯思維錯誤。