章建躍：論數學教學中的基礎與創新
摘 要：數學教育改革中應當處理好一些基本關係。「四個基礎」是構成數學學力的四個基本要素，與創新精神和實踐能力是相輔相成的。在基礎教育階段，數學教育強調「四個基礎」有著非常重要的意義，具有先進性。數學教學改革要反映數學學科的基本特點，在強調學生生活經驗、直接體驗的重要性的同時，應十分強調理性思維的關鍵作用。
關鍵詞：四個基礎；數學教育；創新精神
在數學教育改革的理論與實踐中，應當認真處理好一些基本關係，如：數學基礎知識的系統學習、基本技能的必要訓練與創新精神、實踐能力培養的關係；內涵於數學自身的數學運算技能、邏輯推理和空間想像等與用數學解決實際問題能力的關係；教師必要的啟發、引導、講授與學生自主學習、獨立思考的關係；情感體驗與認識過程的關係；學生的實踐活動、直接經驗與數學經驗的間接性的關係；數學學習過程中的理性思維、邏輯思維與實驗、試驗、猜想、合情推理等非邏輯思維的關係等等。這些關係的妥善處理將對我國數學教育改革產生決定性影響。
面臨數學教育中的各種問題，人們把目光投向改革是極其自然的。但在改革中有兩種不同思路。一種認為舊的模式是阻礙發展的因素，必須立即拋棄，而且越快越好，越徹底越好，因此必須來一場革命。其結果會是什麼呢？在嘗試全面改變一切的過程中，數學教育工作者將會喪失自己的主導能力，使廣大數學教育工作者長期努力所積累起來的經驗系統、理論體系和思想根基遭到破壞，給已有體系中的一切（無論是成功的還是錯誤的）帶來衝擊，造成災難性的後果。革命使人耳目一新，享受到「破壞一個舊世界，創造一個新世界」的「成功喜悅」，但是教育領域革命的後果只有一個──使教育喪失未來發展的基礎。這種思路和做法將在實際上把改革引向歧途。另一種思路是繼承傳統但又不完全依賴於傳統，通過一系列經過深思熟慮、科學論證、精心組織的階段性變革來適應社會發展對教育提出的挑戰，使教育走向繼承與發展的良性循環。
一、從「雙基」到「四個基礎」的改革之路
有人認為，我國數學教育傳統中，基礎知識、基本技能（即「雙基」）以及數學的運算能力、思維能力和空間想像力（即「三大能力」）強調過分了，應當淡化。顯然，這種觀點與當今社會對人的數學素養的高要求是背道而馳的，應當引起數學教育工作者的高度警覺。
事實上，中國數學教育改革走過了這樣一條道路：從重視基礎知識基本技能，到知識、技能與能力並重，再到基礎知識、基本技能、基本能力和基本態度並重，形成數學教育「以學生的發展為本」的共識，強調最重要的數學基礎知識技能的內化、智力因素與非智力因素和諧發展、學生身心的全面發展。在我國數學教育的理論與實踐中，「雙基」一直受到重視，而「三大能力」則是根據數學教育的實踐經驗及華羅庚、關肇直等專家的意見，在1963年的中學數學教學大綱中明確提出的。改革開放以來，根據時代發展對數學教育的新要求，1992年頒布的數學教學大綱提出「使學生切實掌握現代社會中每一個公民適應日常生活、參加生產和進一步學習所必需的代數、幾何的基礎知識與基本技能，」「進一步培養運算能力，發展邏輯思維能力和空間觀念，並能夠運用所學知識解決簡單的實際問題。培養學生的個性品質和初步的辯證唯物主義的觀點」。這一大綱對基礎知識、基本技能、「三大能力」、個性品質以及辯證唯物主義教育的內涵作了明確、具體的界定，初步形成了基礎知識、基本技能、基本能力和基本態度「四個基礎」並重的數學教學目的觀。
從「雙基」到「四基」的發展軌跡，比較集中地體現了新中國成立以來我國數學教育改革的歷程。期間經歷過「大躍進」和「文革」兩次重大挫折，特別是「文革」中，數學教材的系統性、邏輯性、嚴謹性被實用主義所代替，「雙基」被嚴重削弱，導致學生的數學水平嚴重下降。改革開放後，在總結我國數學教學中正反兩方面的經驗教訓、學習和借鑒國際先進數學教育理論的基礎上，經過數學教育工作者20多年艱苦探索，形成了「四個基礎」並重的數學教學目的觀，並形成了以強調數學教育的社會功能和育人功能並重、基礎性、發展性和創造性相結合、個性與共性相結合、認知與情感相結合、數學知識的習得與道德品質和世界觀的形成相結合、數學知識的學習與應用、創新相結合等為特色的數學教育目標體系。
強調對基本概念、基本原理的深刻理解，強調經過適當訓練使「雙基」及「三大能力」得到落實，對學生的終身發展極其重要。數學教學最主要的是要把學生的基礎打好，使學生通過自己的思維和有意義學習而學會嚴肅、本質的數學。越是科技突飛猛進、瞬息萬變，越要重視基礎，做到以不變應萬變。堅實寬厚的基礎知識是良好適應能力的根基，是在環境變化中迅速更新知識技能的保障。因為基礎中體現的思想具有根本的重要性，從中學會的方法和思想遷移能力極強。當然，基礎中還應包括積極學習的願望和自主獲取知識的能力。李大潛院士指出，數學素養不可能憑空出現，它是在數學知識的傳授過程中逐步熏陶而來的。任何認為抓素質教育就可以離開或削弱數學知識傳授的想法或做法都是錯誤的。在這方面歷來容易發生兩種偏向，一是從實用主義出發，在課程的設置及內容選取上，忘記了數學是一個有機整體，只想教給學生「有用」的東西，把數學知識體系搞得支離破碎，結果讓學生學得似是而非，知其然不知其所以然，根本得不到嚴格的訓練，這種現象在「文革」中曾達到登峰造極的地步，現在也不能說已經解決。以減輕學生負擔為名，把「刪繁（瑣）就簡（單）」篡改為「刪（困）難就簡（單）」，不負責任地把一些重要但比較難學的內容或課程，或只講結論不加證明，或輕描淡寫一筆帶過，或乾脆一刀砍去。數學教育改革要適應科技高速發展需要，體現現代化精神，但更要體現數學的特點和人的認識規律。
當今數學知識量大且增長迅速。量大就需選擇，要選擇那些最基本的、最重要的數學知識，並把它們內化為學生的心理能力，以形成學生的數學功底，這就是素質。人類社會經過幾千年的探索，形成了相對穩定的數學基礎知識結構體系，它對學生的發展是非常重要的。數學教育改革中堅持「四個基礎」，是由學生的發展規律和數學學科性質決定的，是人類社會發展的歷史選擇，不是某些人的意志可以轉移的。數學課程應根據時代發展和數學發展的要求不斷改革，但課程改革必須與打好基礎相結合，基礎教育階段更要強調打下堅實的基礎，要防止一提改革就任意削弱基礎的傾向。
筆者認為，堅定不移地堅持中國數學教育的特色，努力發揮中國數學教育在培養「雙基」和「三大能力」等方面的優勢意義重大。否則會動搖我國數學教育的根基，摧毀廣大數學教師的基本信念，導致我國數學教學質量的大滑坡，使我們的下一代缺乏應有的數學基礎，失去基本的邏輯判斷能力，使義務教育階段的數學教育目標難以落實，並還將危及我國的創新教育，使年輕一代缺乏高水平創新所需要的堅實基礎，從而使高層次創新人才的培養也落空。當務之急是，在數學教材改革的同時，加強師資培訓工作，變革教學思想，改革教學方法，轉變學習方法，完善數學教學過程，在教師的引導下，使學生在完整的數學知識發生髮展過程中探究和掌握數學知識，從而使「四個基礎」得到真正落實。
二、學生的經驗、身心發展水平與數學教學
當前的中小學數學課程改革中，有一種片面強調學生的「直接經驗」、「生活體驗」的傾向，這也應當引起我們的警覺。其實，以「經驗」為中心來建構課程體系的觀點古已有之。西方17—18世紀課程改革中就有注重憑藉感性經驗積累知識的「感性現實主義」課程觀；19世紀末20世紀初，杜威的「經驗主義」課程觀更是將這種思想推向了極端。他認為，「兒童和課程僅僅是構成一個單一過程的兩極」，兒童是起點，課程是終點。只要把教材引入兒童生活，讓兒童直接去體驗，就能把兩點連接起來，使兒童從起點走向終點。「學校科目相互聯繫的中心點，不是科學，不是文學，不是歷史，不是地理，而是兒童本身的社會活動」。活動中所獲得的「經驗」既是日後新經驗的基礎，又是解決未來問題的方法。杜威主張課程體系的建構以「經驗」為中心，強調通過兒童自己的活動獲取「經驗」。這種在活動中獲得「經驗」的教育，不是以學科知識本身為邏輯，而是符合兒童心理發展邏輯的。不能否認，這種課程理論有其積極意義，其立論中有非常合理的內涵。但是，兒童的成長並不完全建立在「經驗」的基礎上，就像不能讓兒童用親自吸毒的辦法來認識毒品的危害一樣。人的發展主要依賴於間接經驗，對數學知識的理解更是主要依靠理性思維。因為，數學課程與「經驗課程」有完全不同的性質，數學的研究對象本身就是抽象的，這種抽象性決定了數學內容與學生實際生活之間存在著內在的距離，原則上講對數學概念的本質難以通過生活體驗而獲得理解，因此，學生的生活體驗、直接經驗就不能成為數學學習的主要基礎。另外，數學知識的掌握需要教師的精心指導，當然，教師要講究教學方法，發揮學生的主體性，使他們學會學習。既有最基本最重要的數學知識作為基礎，又有科學的獲取知識的方法作保障，學生才能有生動活潑、創造性地繼續發展的源泉和動力。
教育要適應學生的現有發展水平但又要超越學生的現有發展水平，應積極地促進學生的發展。從人的智能發展規律看，小學低年級學生所掌握的概念大部分是具體的，可以直接感知的，要求他們說出概念的最主要的、本質的東西比較困難，但他們的思維中也有著抽象概括的成分；小學高年級學生逐漸學會運用抽象概念進行思維，學會分出概念中的本質與非本質特徵、主要的和次要的屬性，學會掌握初步的科學定義，學會獨立進行邏輯論證，思維水平逐步從以具體形象思維為主過渡到以抽象邏輯思維為主。到中學階段，學生的思維能力獲得迅速發展，抽象邏輯思維處於優勢地位，從初二開始，學生的抽象邏輯思維開始由經驗型水平向理論型水平轉化，到高中二年級初步完成。根據學生智能發展的上述特點，筆者認為，在小學低年級，由於兒童認知結構中抽象知識儲備少、思維與眼前具體事物或其生動表象聯繫著，數學教學中強調生活經驗、直接經驗有其重要意義，但也應當有適當的概括活動；隨著學生年齡的增長、抽象知識在認知結構中儲備量的增加和抽象思維的發展，他們可以離開直接經驗而有效地直接接受抽象的數學知識，這時就應及時提高數學教學的抽象水平，發揮間接經驗的作用，以發展學生的抽象邏輯思維。如果仍然將教學停留在具體經驗水平上，學生的數學認知結構發展就會受到阻礙。中小學生的學習不能採用學前兒童的學習方式。同時，數學課程作為學科課程，其主要目標是讓學生在掌握系統的、今後發展所必需的基礎知識和技能的基礎上，培養數學基本能力，發展數學學習的基本態度，它的教與學，在任務性質、組織形式、學習方式等上面，都與經驗課程（以學生的直接經驗為基礎的、沒有固定教材和教學組織形式的、以學生親身實踐──所謂的「做中學」──為主要形式的綜合性課程）有著很大的不同，如果將數學課程混同於經驗課程，只能削弱它在學生髮展中的地位和作用。
三、「四個基礎」與創新精神和實踐能力
「四個基礎」與創新精神和實踐能力是相輔相成的。數學中談創新不能離開「四個基礎」，無知者一定無能。重要的是要在數學教學中開啟學生的心智，在教師的啟發引導下，使學生通過自己的獨立思維而建構對數學知識的理解，並通過實踐訓練特別是思維訓練而轉化為能力，在學習的過程中養成基本態度，發展創新精神。
白春禮院士說，人的知識基礎、視野、推理能力、思維方法決定著他的創造力，這是科教興國中教育所起的不容忽視、不可替代的作用。對科學和技術的基礎知識、基本觀點以及科學價值觀所具有的基本了解，是科學素養的基本內涵。在培養人的過程中，我們決不能追求短期效應，而要著眼於人的可持續發展，注重人的最終發展水平。對基礎教育的認識應當有長遠的、戰略的眼光，不能僅看眼前，而應「面向未來」。因此，數學教育中，應以基礎知識、基本技能為載體，在使學生牢固掌握基礎知識、基本技能，形成基本能力和基本態度的過程中，鼓勵學生提出疑問，向書本挑戰、向權威挑戰，提倡在學習過程中的爭論、質疑、討論，養成凡事問個為什麼的習慣，敢於提出問題並勇於表示自己的見解，從而使學生的創新精神得到逐漸培養。在這個過程中，要使學生的數學學習動機、興趣、情感、意志、毅力、自信心等非認知因素得到培養和發展，還要加強為社會主義建設、為科學獻身的教育，努力追求真理，不追名逐利。基礎教育是為人的終身發展打基礎的時期，因此我們應當特別重視「基礎」二字，不能急功近利，搞實用主義。要重視數學學習對人的心理發展的意義。數學同時也是一種精神追求，學習和研究數學同時也是一種純粹的精神滿足。這種學習的一個主要特點是心智的培育、智力的進取，要有在形成「數學地思維」的習慣的過程中去了解和鍛煉自己智力的願望。因此必須防止那種學了就要會用的做法。
那麼，數學教學中如何才能使「四個基礎」和創新精神、實踐能力等得到真正落實呢？這裡不妨先來考察一下「四個基礎」的結構特性。
總的來說，它們是個體數學學力的四個有機組成部分，具有內在聯繫性，產生相互作用，但又有區別。數學知識（數學的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由內容反應出來的數學思想和方法）是一種語言信息，是客觀事物的數形特徵及其聯繫在人腦中的反映，是由數學認知活動而建立起來的認知經驗。這種經驗反作用於數學活動，可以起確定數學活動的目標和方向、辨認數學活動的性質（如將進行的數學活動是計算還是證明，是否需要進行討論，是由一般到特殊還是由特殊到一般等等）、選擇數學活動程序的作用，其理由是活動目標的確定依賴於對當前數學情景的辨認和分析，依賴於對各種變化的可能性的預測和判斷，這些都是以相關的數學知識為依據的；辨認數學活動的性質、確定數學活動的程序則依賴於對數學情景中材料屬性的認識，依賴於對數學材料的相互作用方式的把握，這同樣需要以相關知識為依據。數學技能則是一種數學活動方式，是主體對數學材料作用以後產生的主體動作（主要是心智動作）經驗，它對數學活動起著直接的調節與指導作用，是數學活動正確而順利地進行的保證。數學技能在學生的數學活動中的自我調節功能，主要體現在活動的控制執行環節。由知識的作用而確定的數學活動程序，是在活動的控制執行環節中得以實現的。要使活動朝著預定方向前進，按照預定程序執行，達到預定目標，必須要有對活動的調節控制，即在學生頭腦中應該建立起前後動作相繼發生的動作經驗鏈索。而數學技能就其存在形式來說就是一種鏈索型的動作經驗。另外，對數學材料的處理方式和變換方式的有效性需要有相當的動作經驗作保證，這也是數學技能對數學活動的調節控制作用的體現。數學能力是一種個性心理特徵，它對數學活動的進程和方式起著直接的、穩定的調控作用。數學能力是在數學活動中獲得的，是在掌握和運用數學知識、數學技能的過程中形成的，因此，數學能力原則上屬於數學活動經驗範疇。當然，它必須是系統化、概括化了的那些個體經驗，是一種網路型的經驗結構。數學的基本態度，作為數學學習的一種心理和神經中樞的準備狀態，是長期數學活動經驗的結晶，對個體的數學活動產生直接的或動力的影響，其中包括興趣、動機、性格等。興趣，在深度、廣度及穩定性上都隨著數學學習的深入而不斷發展，這種發展一般要經歷對數學的新事實或有趣現象的直接興趣、對數學概念或原理的本質屬性的興趣到對數學理論（各種數學事物的因果關係、數學的基本規律等）的興趣等幾種水平；動機，特別是與數學學習直接相關的成就動機，是追求數學能力和期望數學學習取得成功的一種需要，是以取得數學成就為目標的數學學習的內驅力。數學學習的動機與數學能力的發展密切相關，較高的數學能力可使學生以科學的方法高質量高效率地完成學習任務，從而促進積極的、高水平的數學學習動機的形成，反之，積極的數學學習動機也促進了數學能力的高水平發展；性格，作為個性的核心，是人對客觀現實的穩定的態度以及與之相適應的習慣化行為方式，良好的性格特徵表現為正直誠實、實事求是、尊重理性、追求真理、堅定自信、刻苦勤奮、責任心強、勇於創新、百折不撓、持之以恆、嚴謹細緻、獨立思考等等，性格的養成與學生數學水平的發展密切相關。
由上所述可知，「四個基礎」是緊密聯繫的有機整體。數學基礎知識基本技能的掌握和累積是形成數學基本能力基本態度的前提，能力和態度又反作用於知識和技能的掌握，制約著知識掌握和技能形成的速度、深度、難易程度和鞏固程度。因此，數學知識的習得、數學技能的形成和數學基本能力、基本態度的培養同時存在於數學學習活動中，相互聯繫、相互制約，統一在同一個數學活動過程中，它們之間有同一性、同步性，從根本上說必須協調發展。「四個基礎」是數學學力的基本構成要素。我們可以借用鍾啟泉先生提出的學生學力的「冰山模型」來對「四個基礎」之間的關係進行解釋。冰山有浮在海面上的「冰山一角」和隱藏在海面以下的「冰山基座」，浮在水面上的看得見摸得著的部分就是數學的基礎知識、基本技能；隱藏於水面下的看不見的部分則是基本能力和基本態度，它是支撐著浮出水面部分的基礎。正如冰山由顯出水面和隱於水面兩部分組成一樣，數學學力也可以分為顯性學力和隱性學力兩部分。顯然，顯性學力是由隱性學力支撐的，隱性學力是顯性學力發展的動力；而顯性學力的獲得和不斷加強，又使得隱性學力更加鞏固，並得到不斷升華。數學學力是在數學學習過程中，通過掌握基礎知識和基本技能而形成顯性部分，同時，在教師的啟發引導下，通過對數學知識中蘊含的觀念、思想和方法的領悟，獲得數學學習方法、科學研究方法、探究能力以及數學觀念態度等作為數學學習潛力的隱性學力。這裡特別要指出的是，隱性學力的形成，有一個從模仿到認同再到內化的過程，這個過程是長期的、內隱的、潛移默化的。隱性學力的獲得，教師有意識的指導是關鍵。過去的數學教學比較多地關注了學力的顯性部分，而對隱性部分有些忽視，「四個基礎」協調發展的數學學力觀則追求顯性學力與隱性學力的和諧統一，是一種發展性學力觀。
有效的數學活動是落實「四個基礎」以及培養學生的創新精神和實踐能力的根本保證。數學活動的本質是學生的數學思維活動，數學思維是對人類思維實踐的理性總結，也是對思維過程的形式概括，包括概念與判斷、辨別與比較、分析與綜合、歸納與演繹等，它們既是數學思維活動的一般規律，又是獲得新的數學知識的有效手段。教學中讓學生開展數學思維活動的主要目的是對學生進行思維訓練，在思維訓練過程中使學生掌握知識、形成技能、培養能力（包括數學應用能力）、發展智力，並培養學生的科學態度、形成正確的世界觀。因此，數學教學中，學生的任何發展最終都要落實在對學生的思維訓練上。那麼，數學思維訓練的實質到底是什麼呢？筆者認為，數學思維訓練的實質是數學思維過程的訓練：以數學思想方法為載體，以數學思維技能、技巧和數學思維策略為手段，達到訓練數學思維過程這一目的。從現代認知心理學對知識的分類來看，數學思想方法是一種程序性知識，因此，數學教學中強調基礎知識（特別是數學思想方法）和基本技能（特別是數學思維技能技巧）是非常重要的，它是數學教學中培養能力、發展智力的落腳點。這裡我們要特彆強調對邏輯思維的訓練。邏輯思維是主要的數學思維形式，是高效率的思維，它在數學中是必不可少的工具，有意識地使用邏輯思維，數學思維活動將更加富有成效。所以，數學教學中進行切實有效的邏輯思維訓練，既是數學學科本身的內在要求，也是提高學生數學思維水平的最有效的手段。另外，在數學思維過程中，觀察、分析、比較、類比、歸納、綜合、抽象、概括等時刻都在發揮著作用，這些正是數學教學培養學生創造性思維的最好素材，因此，創新意識和實踐能力的培養完全可以融合於數學基礎知識和基本技能的教學、數學思維訓練的過程之中。當然，數學基礎知識基本技能的教學應當有高觀點，也即要以培養數學能力、養成數學基本態度、發展創新精神和實踐能力為目標取向。
中國數學教育需要改革，這是共識。但改革必須從中國的實際出發，堅持中國特色。只有從我國的社會現實出發，堅持繼承與發展相結合的改革方針，才能使我國數學教育改革事業走向成功。
推薦閱讀：