函數項級數連載篇之壹｜高等數學漫步（三）

07-06

來自專欄數學物理漫步

在我所學的高等數學下冊中，與級數有關的部分佔了不小的比重，其中函數項級數又是作者不惜筆墨大寫特寫的重要角色。在我自己看來，函數項級數理論優美，作用強大，應用廣泛，實在不能不提。

設 $u_n(x)(n=1,2,cdots)$ 是定義在集合 $D$ 上的函數，和式

$sum_{n=1}^{infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+cdots+ u_n(x)+cdots$

$D$ 上的函數項級數。在集 $D$ 合中取定一點 $x_0$ ，若數項級數 $sum_{n=1}^{infty}u_n(x_0)$ 收斂，則稱 $x_0$ 為該函數項級數的收斂點。相反，若數項級數發散，則稱 $x_0$ 為該函數項級數的發散點。由此可以看出，函數項級數的斂散性是以數項級數的斂散性為基礎的。

函數項級數的收斂點的全體稱為它的收斂域，發散點全體稱作發散域。級數收斂時，其和 $S(x)$ 是定義在收斂域 $X$ 上的一個函數，稱為級數的和函數。

例 1求級數

$x+(x^2-x)+(x^3-x^2)+cdots+(x^n-x^{n-1})+cdots$

的收斂域與和函數。

解對任意取定的 $xinmathbb{R}$ ，所給級數的部分和為

$S_n(x)=x^n.$

顯然，當 $|x|>1$ 時， $S_n(x)=x^n ightarrowinfty(n ightarrowinfty)$ ；當 $x=-1$ 時， $S_n(-1)=(-1)^n$ ，無極限，當 $xin(-1,1]$ 時 $S_n(x)$ 有極限：

$lim_{n ightarrowinfty}S_n(x)= egin{cases} 0,xin(-1,1),\ 1,x=1. end{cases}$

由此可見，級數的收斂域為 $(-1,1]$ ，和函數為

$S(x)= egin{cases} 0,-1<x<1,\ 1,x=1. end{cases}$

和函數的性質是函數項級數要研究的重點問題，這些性質包括連續性、可導性、可積性等等。為了搞清楚這些問題，需要函數項級數一致收斂的概念。為此，先從函數序列及其一致收斂性開始說起。

函數序列的一致收斂性定義

從邏輯上來講，函數序列的收斂性和極限函數這些內容應該出現在講一致收斂性之前。但是由於這些內容的簡明以及這篇文章的博客性質，就不在此啰嗦了。下面儘快講到一致收斂。

從數列過渡到函數序列，其最大的變化在於函數序列的收斂「速度」一般來說依賴於自變數。這種現象用 $varepsilon-N$ 的說法就是，對於任意給定的正數 $varepsilon$ ，找的 $N$ 依賴於 $x$ 。比如函數序列 $f_n(x)=x^n(0<x<1)$ ，這時收斂域為 $X=(0,1)$ ，極限函數為 $f(x)equiv0(0<x<1)$ 。為了保證

$r_n(x)=left| f_n(x)-f(x) ight|<varepsilon (0<x<1)$

也即 $x^n<varepsilon$ ，我們取 $Ngeqslantleft[ frac{lnvarepsilon}{ln x} ight]+1$ ，（這裡設 $varepsilon<1$ ）才能使當 $n>N$ 時有

$|f_n(x)-f(x)|<varepsilon.$

由此看出， $varepsilon$ 越靠近1，所取的 $N$ 需要越大。

對於一個給定的函數序列，有沒有一種辦法去選取 $N$ 使得使之只依賴於 $varepsilon$ 而與 $x$ 無關？這個問題的回答是，對於有些函數序列能做到。而這種函數序列就是一致收斂序列：

定義設函數序列 ${f_n(x)}$ 在集合 $X$ 上收斂於極限函數 $f(x)$ 。若對任意給定的正數 $varepsilon$ ，都存在一個只依賴於 $varepsilon$ 而不依賴於 $x$ 的自然數 $N$ ，使得當 $n>N$ 時不等式

$|f_n(x)-f(x)|<varepsilon$

對於 $X$ 中的一切 $x$ 都成立，則稱函數序列 ${f_n(x)}$ 在 $X$ 上一致收斂於 $f(x)$ 。

圖片來源：Wikipedia

一致收斂的集合意義
假定函數序列 ${f_n(x)}$ 在 $X=[a,b]$ 上一致收斂到 $f(x)$ ，那麼對於任意給定的 $varepsilon$ ，都可以找到自然 $N$ 數，使得只要 $n>N,xin[a,b]$ ，就有 $|f_n(x)-f(x)|<varepsilon$ 成立。

這個式子化成如下形式會把幾何意義表現得更明顯：

$f(x)-varepsilon<f_n(x)<f(x)+varepsilon$

畫出 $y=f(x)$ 的圖形，然後再畫出 $y=f(x)-varepsilon$ 以及 $y=f(x)+varepsilon$ 的圖形。兩曲線 $y=f(x)-varepsilon$ 及 $y=f(x)+varepsilon$ 圍成一個帶型區域。那個不等式的意思就是，當 $n$ 充分大的時候， $y=f_n(x)$ 的圖形就落在帶型區域之內。

技術支持：GeoGebra

函數項級數一致收斂性

級數的收斂性是用其部分和序列的收斂性來定義的。因此函數項級數的一直收斂性也可以用其部分和序列的一致收斂性來定義。

定義設函數項級數 $sum_{k=1}^{infty}u_k(x)$ 中的每一項在集合 $X$ 上有定義。如果部分和序列 $S_n(x)=sum_{k=1}^{n}u_k(x)$ 在 $X$ 上一致收斂，則稱級數 $sum_{k=1}^{infty}u_k(x)$ 在 $X$ 上一致收斂。

至此，函數項級數一致收斂的定義已經給出。一致收斂與普通的收斂有什麼不同？怎樣判別一個函數項級數是否是一致收斂的？我們能夠怎樣利用一致收斂性？欲知其中奧秘，請看下一章回：函數項級數連載篇之貳｜高等數學漫步（三）