十二生肖趣味數學問題
我國古代人民用干支紀年，其中十二地支對應十二種動物，稱為十二生肖。十二生肖涉及到人民生活的方方面面，形成了源遠流長的生肖文化。在許多趣味數學問題中，也有不少是與十二生肖相聯繫的，輯錄起來，也是一件趣事。
一、老鼠穿牆問題
我國古代最重要的數學著作《九章算術》中有一個有趣的老鼠穿牆問題。大意如下：
現有牆厚5尺，兩隻老鼠分別在牆兩邊正對著打洞，第一天大小老鼠各打洞1尺，以後大鼠每天的進度比前一天增加一倍，小鼠每天的進度只有前一天的一半。問幾天兩鼠相遇？ 這是《九章算術》第七章中的第12題。該章專門討論「盈不足「問題，盈不足術是我國古代一種獨特的演算法，在數學的發展史上佔有重要的地位，對後世數學的發展也產生過重要影響。從方法論的角度看，盈不足方法蘊含著模型化方法、化歸方法、以及近似、逼近等方法。本題就是通過盈不足術給出模型，再用逼近的方法求得解答的近似值的。如果要用現代數學的方法，可以利用等比級數列列出方程，再求根的近似值。
二、牛吃草問題
例如著名數學家阿基米德和牛頓都編製過與牛有關的趣味數學問題，牛頓提出了一個「牛吃草」的問題：
有三個牧場，場里的草長的一樣密，也長的一樣快。它們的面積分別是10/3英畝，10英畝和24英畝。第一個牧場飼養12頭牛可以維持4個星期，第二個牧場飼養21頭牛可以維持9個星期，如果第三個牧場要為持18個星期，這個牧場應該飼養多少頭牛？
這個問題有多種解法，可是牛頓卻特別喜歡他的算術解法。
至於阿基米德的牛群問題，是由22組對偶句組成的長詩，它於1773年在一本希臘手抄本中發現。
三、老虎與狐狸
人們都很熟悉狐假虎威的寓言，但是老虎畢竟不是吃素的，一旦識破狐狸的詭計，必將毫不容情地捕殺狐狸。於是，便有了下面這道數學趣題：
一隻老虎發現離它10米遠的地方有一隻狐狸，馬上撲了過去。老虎跑7步的距離，狐狸要跑11步，但狐狸的頻率快，老虎跑3步的時間，狐狸能跑4步。問老虎能不能追上狐狸？如果能追上，老虎要跑多少米？
老虎跑66米就能追上狐狸。有趣之處在於：我們不知道老虎和狐狸的速度，卻能得到問題的答案。
四、餓狼撲兔
斐波那契數列最初就是用兔子的繁殖問題為背景編成的趣味數學問題，後來發展成了重要的數學分支。
歐洲文藝復興時期，著名的藝術大師達芬奇提出了一個有趣的「餓狼撲兔」問題：
如圖2，C點是一個兔子洞，一隻兔子正在洞口南面60米的地方O點處覓食。一隻餓狼正在兔子正東方向100米處的A點遊盪。兔子猛然回首，碰見了餓狼那貪婪而兇殘的目光，預感大禍臨頭，於是急忙掉頭向自己的洞穴逃去。說時遲，那時快，餓狼眼看即將到口的美食將要逃掉，豈肯罷休。馬上以兩倍於兔子的速度緊盯著兔子追去。請問這隻餓狼能逮住兔子嗎？
五、分形與龍
在自然界中，有許多物體的形狀和現象十分複雜，崎嶇的山嶽走勢，縱橫交錯的江河流向，蜿蜒曲折的海岸線，奇形怪狀的雲層等等，都是一種混沌現象，這些事物的形狀稱為分形，分形是前沿科學混沌科學的重要分支。分形有兩種類型，一是幾何分形，二是隨機分形。我們知道，直線是一維的，正方形是二維的，圓柱體是三維的，而分形的維數卻是一個分數。下面這個稱為「龍」的圖形就是一個分形，它是一位名叫J·E·亥威的物理學家首先發現的。
這條曲線的作法是：如圖所示，從一個等腰直角三角形開始，以該等腰直角三角形的直角邊為斜邊作另外的等腰直角三角形，並把原來直角三角形的斜邊去掉。再以新的等腰直角三角形的直角邊為斜邊，作另一些等腰直角三角形，並把原來的斜邊去掉。如此繼續，便會得到一條龍。
六、黑蛇進洞
在任何一本趣味數學讀物中都不難找到印度古代（公元9世紀）數學家摩訶毗羅的「黑蛇進洞」問題：
一條長80安古拉（古印度長度單位）的大黑蛇，以十四分之五天爬七又二分之一安古拉的速度爬進一個洞，而蛇尾每四分之一天卻要長四分之十一安古拉。請問黑蛇需要幾天才能完全爬進洞？
列出一元一次方程不難算出，大黑蛇需要8天才能完全進洞。
《美國遊戲數學雜誌》曾經提出過一個有趣的「兩頭蛇數」問題：
有一個正整數N的首尾分別加上一個1，得到一個新數，如果新數是原數的99倍，則稱N為「兩頭蛇數」，試求出N.
你能找到這種數嗎？N=112 359 550 561 797 752 809就是一個「兩頭蛇數」。
七、千里馬
韓愈說：「世有伯樂，而後有千里馬；千里馬常有，而伯樂不常有。」在《九章算術》的盈不足章的第19題中，我們就可以發現一匹「千里馬」：
今有良馬與駑馬髮長安至齊，齊去長安三千里。良馬處日行一百九十里，日增十三里。駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復還迎駑馬。問幾何日相逢及各行幾何？
《九章算術》用盈不足術來解此題，得到的是近似值。如果用方程解，要列一元二次方程取正根式解。 如圖所示，一個馬從P點出發，能否跳13步到達對方九宮中的Q點？
在棋盤上建立直角坐標系，,設馬的位置在點P(x0，y0)處，因為馬走「日」字，如圖3所示，馬從O（0,0）出發，每跳一步之後，只能到達A、B、C、D、E、F、G、H這8個點，在每一個點兩個坐標的和要麼增加了+3或－3，例如A(+3)、E(－3)，要麼增加了＋1或－1，如C（+1）、G（－1），總之是增加或減少了一個奇數。連跳13步，仍然是增加或減少了一個奇數。P點兩個坐標之和為2+1=3，Q點兩個坐標之和是4+8=12，兩個坐標之和增加了9，9是奇數，只要能想辦法把它分成13個絕對值小於等於3的奇數之和，就找到了一種跳法。例如9=3－3+3－3+3－3+3－3+3+3+3－3，就對應一種跳法。請你試一試，一共能找到幾種跳法。
至如連跳14步，兩坐標之和將增加一個偶數，是無法從P跳到Q的。
八、百羊問題
明代數學家程大位（1533-1606）的《演算法統宗》第十二卷載有「百羊問題」，在國際上流傳頗廣，這道題是用詩歌的形式寫成的：
甲趕群羊逐草茂，乙拽肥羊一隻隨其後。戲問甲及一百否？甲雲所說無差謬。
若得這般一群羊，再添半群小半群，得你一隻來方湊，玄機奧妙誰猜透？
大意是：甲全部的羊，加上一半（半群），再加上四分之一（小半群），再加上乙的一隻羊，恰好湊成一百隻羊。你知道甲有多少只羊嗎？
九、五猴分桃
用猴子為對象的趣味數學問題很多，特別有名的是下面的「五猴分桃」問題：
有5隻猴子在一個小島上發現了一堆桃子，它們想平均分配，但無論如何也分不開。天色已晚，於是大家相約去睡覺，明天再分。夜裡，第一隻猴子趁大家熟睡之際，偷偷爬到桃子邊，先取一個吃了，剩下的恰好可以平均分作5份，這個猴子將其中一份蕆了起來，然後重新去睡覺。過了一會，第二隻猴子又爬起來，在剩下的桃子中取一個吃了，剩下的也恰好可以平均分成5份，它也將其中的一份蕆起來然後去睡覺。接著第三隻、第四隻猴子都先後偷偷起來，照此辦理：先吃掉一個，然後把剩下的五份中的一份蕆起來。最後第五個猴子起來，拿一個桃子吃了，剩下的桃子仍然可以平均分成5份。請問這堆桃子最少有多少只？ 這真可算得上一道名題。美國作家本·艾姆斯·威廉曽經把它寫成一篇小說，發表在1926年的《周末晚報》上。美國著名數學科普作家馬丁·伽德納不僅把它寫進自己的著作里，並稱它「不是一個簡單的題目」。英國數理邏輯學家懷德海精心研究了這個問題，並且提出了一種很簡單的解法。1979年春，李政道博士訪問中國科大，又把這道題給少年班的大學生們做，並鼓勵大家尋求最簡便的解法。當年《中國青年報》詳細地報道了這次訪問，並刊登了這道題目。散見於書刊雜誌的各種不同解法至少有十餘種之多。
與猴子有關的還有另一個「猴子分花生」問題：
將1600顆花生分給100個猴子，證明：不管怎樣分，至少有4隻猴子分得的花生一樣多（有的猴子分不到花生也算是一種分法）。並設計一種分法，使得沒有5隻猴子分得的花生顆數一樣多。
這是五十年代北京市的一道數學競賽試題，以後流傳很廣。
十、百錢買百雞
對於雞，有一個幾乎是一個家喻戶曉的趣味數學問題。我國古代數學著作《張邱建算經》中有一道著名的「百雞問題」：
今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、雛各幾何？
這是一道關於不定方程的問題，在國內外流傳極廣。例如德國人約翰涅斯·列曼寫的一本《趣味數學》書中，就有一個古代越南的數學問題：
用100捆草喂100頭牛。站著的壯牛吃5捆，躺著的牛吃3捆，老牛三條合吃一捆。問站著幾條壯牛，躺著幾條牛，幾條老牛？
這個問題顯然是將「百雞問題」移植過來的。
十一、來回奔跑的狗
甲、乙兩人從相距100公里的兩地相對而行。甲、乙的速度分別為6公里和4公里。甲帶了一條狗，與甲同時出發，碰到乙時即回頭向甲這邊跑；碰到甲時又回頭往乙這邊跑。這樣不停地往返，直到甲、乙二人相遇為止。狗的速度為每小時10公里，問狗一共跑了多少公里？
這是在數學界廣泛流傳的一段數學家的趣聞逸事。據說我國著名數學家蘇步青有一次在德國的電車上碰到德國一位有名的數學家，那位數學家請蘇步青做這道題。由於蘇步青教授的名氣，題以人傳，這道題便廣泛流傳開了。這道題其實並不難。因為「路程=速度×時間」，狗的速度每小時10公里是已知的，狗奔跑的時間就是甲、乙兩人相遇的時間，很容易算出來（兩人相對而行的行程問題），速度和時間知道了，路程也就知道了。
十二、買豬問題
《九章算術》中有一個「買豬問題」：
今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數、豕價各幾何。
這個問題太簡單，我想把它改造一下：
某人去買豬，若買一批每頭價450元的小豬，還剩100元；若買一批每頭價530元的小豬，還差110元。問此人最少帶了多少錢去買豬？
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