改善課堂教學有效性的若干對策

改善課堂教學有效性的若干對策

國家基礎教育實驗中心（長春 130024） 孔凡哲 王威威

南京市游府西街小學 （南京 210000） 李瑩[*]

《湖南教育.數學教師》2008年第1期

摘 要：有效的課堂教學具有很多個衡量指標。其中，師生的積極互動、高質量的課堂參與，有效的課堂提問，有效的課堂活動時間，合理的課堂結構，是其核心要素。本文認為，尋找師生互動的契合點及師生積极參与的方式方法，提高師生參與的質量和效果，強化提問的有效性和高效性，優化課堂活動時間和課堂教學結構，可以有效推動數學課堂教學走向高質量、高效率，促進學生真正獲得可持續發展的數學能力和素養。

關鍵詞：數學，課堂教學，有效性，參與，提問，時間，結構

眾所周知，課堂教學是深化課程改革、落實素質教育的主渠道。理想的課程只有經過課程實施變成學生習得的課程，才能真正有效。

就數學來說，課堂教學的有效性涉及很多因素，什麼是有效教學、如何做到有效教學，眾說紛紜。一方面，這是由於課堂教學的複雜性所致——課堂教學是一個非常複雜的系統，受制於多個因素，而不是某一兩個因素能左右的；另一方面，數學課堂教學具有典型的數學特性，不僅具有課堂教學的一般特性，更有數學課堂教學的特殊規律。

本文立足數學課堂教學的特殊性，在文[①]的基礎上，擬從師生的課堂互動、參與，課堂提問、課堂活動時間、課堂結構四個方面入手，分析改善數學課堂教學有效性的若干對策。

一、課堂教學有效性的含義

課堂教學的有效性，一般是指，在實現基本教學目標的基礎上，追求更大的教學效率與教學效益。其核心在於教學有效果、有效益、有效率。在這裡，所謂「最大的教學效率與教學效益」，通常是指教學的實際效果至少不低於同類的一般水平。

在筆者看來，當前倡導的「關注課堂教學的有效、高效」，實際上在於倡導教學要有價值、有效果、有效率、有魅力。

在這裡，有價值是回答了教學是否做了值得去做的事情，而教學的價值體現在是否滿足了學習者的學習需要；有效果回答了教學是否做對了應該做的事情，教學的效果體現在達成了學習者所要實現的目標；有效率回答了教學是否做到了儘可能的好，教學的效率體現在學習者用最少的投入（時間、精力和金錢）達成最佳的效果（至少達到預期的目標，如果能有所增值，效果更佳）；有魅力回答了教學是否有長久深遠的感染力、穿透力與親和力，教學的魅力體現在實際的教學能吸引學習者繼續學習。

之所以倡導課堂教學的有效性，其根本原因在於基礎教育的改革發展對教師的課堂教學職責提出的新要求。在深化課程改革、實施素質教育的今天，教師的課堂教學職責在於：幫助學生檢視和反思自我，明了自己想要學習什麼和獲得什麼，喚起學生成長的渴望；幫助學生尋找、搜集和利用學習資源；幫助學生設計恰當的學習活動；幫助學生髮現他們所學東西的個人意義；幫助學生營造和維持學習過程中積極的心理氛圍；幫助學生對學習過程和結果進行評價，並促進評價的內在化；發現學生的潛能和性向。

二、提高課堂教學有效性的若干對策

正如前文所分析的，課堂教學是一個複雜的系統，僅僅從某個單一的視角改善課堂教學的實效性往往很難見效。

當然，這也不是不可以進行研究。基於筆者多年的課堂教學實證研究，我們認為，尋找師生互動的契合點及師生積极參与的方式方法，提高師生參與的質量和效果，強化提問的有效性和高效性，優化課堂活動時間和課堂教學結構，可以有效地推動數學課堂教學走向高質量、高效率。

（一）改善課堂提問體系，提高教學效率，促進師生的交流和互動，誘發學生數學學習的原動力。

課堂提問是師生交往、互動、理解對話的重要手段。課堂上教師與學生之間的交流，很多種情況下往往藉助課堂提問來完成的。

在這裡，有效的問題是指，能誘發學生深入思考、積極回答，並由此而主動參與教學活動的那些問題。這些問題在絕大多數情況下常常是一種手段而不是目的，即通過它們來影響學生動手操作，或者誘發學生深入思考，開展深層次的數學思考和交流。而有效的課堂提問，主要是指通過教師在課堂中的提問，引發學生主動思考，積极參与課堂教學活動，促進學生個體的全面、健康、可持續發展。

基於筆者已有的研究（如，①[②]等），我們認為，促進課堂有效提問的策略有如下幾個：

1.調控課堂提問的難度

著名的俄羅斯心理學家維果茨基認為，人的認知結構可劃分為3個層次：「已知區」、「最近發展區」和「未知區」[③]。人的認知水平就是在這3個層次之間循環往複，不斷轉化，螺旋式上升。

我們認為，課堂提問不宜停留在「已知區」與「未知區」，即不能太易或太難。問題太容易，則不能激起學生的學習興趣，浪費有限的課堂時間；問題太難則會使學生喪失信心，無法保持持久的探索心理，使提問失去應有的價值。因而，富有經驗的教師提問總能在不知不覺中喚起學生學習的熱情，而後逐漸適度提高問題的難度。這些教師常常善於尋找學生的「已知區」與「最近發展區」的結合點，即在知識的「增長點」處布設懸念，在學生可能形成的思想、觀念等原始生長點處設置問題。這樣才能促進學生認知結構的形成、鞏固和發展，使學生的認知能力得到迅速提高，並最終使認知結構的「最近發展區」轉變為「已知區」。

對於有效提問的問題難度的刻畫，我們可以借鑒教育測量學刻畫試題難度的方法，用 刻畫問題的難度，其中w表示班級學生總人數，p表示這個班級正確回答相關問題的人數。顯然, n在0～1 之間取值。當n的值為0或接近0時，表明幾乎所有的學生都能正確回答，此時問題太容易；當n為1或接近1時，表明幾乎所有的學生都不能正確回答相關問題，說明問題太難。一般地，在中小學課堂教學中，比較適宜的n值應在0.3～0.8之間，這樣大多數學生經過思考都能對相關問題做出正確的回答。

2.調控課堂提問的頻度

當前，中小學課堂教學中出現一些新變化，「滿堂灌」演變為「滿堂問」，發展為「滿堂跑」。其實，無論是「滿堂問」還是「滿堂跑」，都是以「啟發」「互動」的名義，其癥結在於片面理解教學方式的變革，對於切實提高教學質量和效率毫無幫助，著實是低效教學甚至是無效教學。

事實上，「滿堂問」下師生的「互動」似乎多，其實，許多問題是不必要問題（可有可無），問題誘發學生深入思考有關數學內容的目的和效果其實並不佳，而問題與問題之間的關聯不強，不能形成「問題串」，不能形成與課堂教學目標密切相關的應有的問題系統。而「滿堂跑」似乎學生「動起來了」，但這種「動」僅僅體現在活動上而未必是數學思維上，真正有效的課堂「動」在於積累學生的數學活動經驗，強化學生對數學事實的理解和建構過程，豐富數學學習的情感體驗和過程體驗，這種「動」不僅體現在學生的動手操作上，更體現在手腦合一的協調發展。

再如，筆者長期進行課堂觀察，下表就是筆者在一次課堂觀察中的真實記錄：

表1 《周長》一節課的各種提問行為類別頻次表

在這節課上，從課堂提問的頻度來看，教師提問76次，課堂教學的時間為40.88分鐘，平均每分鐘要提問1.89次，表明教師提問的頻率略高一些。如果頻率保持在平均每分鐘提問1～1.5次，也許更有利於教師和學生之間的對話和交流，給學生創設比較寬鬆的學習環境。

事實上，有效的課堂提問，主張根據教學的重點、難點精心設計問題串，注重問題的數量和質量的統一，著重培養學生髮展問題、提出問題的能力，以及分析問題、解決問題的能力。

例如，在小學梯形面積公式的教學中，兩位教師分別設計了如下問題：

①兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，那麼，拼成的平行四邊形的高和原梯形的高有什麼關係呢? 拼成的平行四邊形的底和原梯形的哪兩條線段有關？拼成的平行四邊形的面積和原梯形的面積有什麼關係？怎樣求這個梯形的面積？

②兩個完全一樣的梯形可以拼成一個什麼樣的圖形？拼成的平行四邊形的高和原梯形的高相等嗎?拼成的平行四邊形的底和原梯形的上底與下底的和相等嗎？拼成的平行四邊形的面積等於原梯形面積的幾倍？平行四邊形的面積怎樣計算?梯形的面積又怎樣計算？梯形的面積為什麼是上底加下底的和乘以高, 還要除以2？

不難發現，前者設計的問題給學生留下的思考空間較大，有助於培養學生獨立思考、自主學習的習慣; 而後者的提問不僅問題域過大，而且問題數量過多，問題過於直白、瑣碎，這將直接抑制學生的學習興趣以及參與回答的熱情。

3、調整課堂提問的等候時間

我們在課堂上常常看到一種情況，教師提出問題之後，立即請學生作答，學生因為沒有時間多加思考，因倉促導致緊張，無法回答或錯誤的回答教師提出的問題，長此以往，造成了學生沉重的心理負擔和自信心不足，教師也沒有達到預期的目標，如此提問往往是低效的甚至是無效的。例如，在前文的表1中，對於這節課而言，從教師理答的方式來看，教師比較注重鼓勵學生，對培養學生的自信心起到了舉足輕重的作用。同時，教師重複學生的回答所佔的比例也很大，過多的重複學生的回答浪費了課堂教學時間，教師應該適當的控制自己的理答方式。從課堂提問的等候時間來看：教師在提出問題後應該給學生留有一定的思考時間，以提高學生回答的準確性，提高課堂教學效率。在這節課中提問後沒有停頓或不足3秒的提問佔63.2%，說明提問的等候時間較短，導致學生思考時間不足，做出的回答比較倉促。

一般情況下，教師在提問之後，要預留足夠的準備時間，讓學生思考之後有條理的作答。教師還可以在一位學生答題之後追加問題，延長等候時間，同時引起其他學生的思考，把班級其他學生的注意力引向學生的回答，這樣，又可以做到師生互動，全面參與教學。那麼，在學生回答之前究竟需要多久的等候時間？這個問題與教師提出什麼樣的問題同等重要。等候時間過長或過短都是無益的。一般來說，在問下一個問題、重複前一個問題，或叫另一個學生回答問題之前，應至少等待3秒鐘，如果是開放性問題，需要全面考慮並對各種可能的回答權衡時，15秒的等待時間是恰當的。

4、利用鑒別課堂提問有效性的重要指標—— 沉默率

衡量課堂提問有效性最簡單的辦法之一，就是通過課堂提問的沉默率作出判斷。這也是教師實施課堂教學調控的重要「抓手」之一。

沉默是指教師在課堂上發出問題信息以後，學生由於信息接收不暢、信息理解出現困難、偏差或者根據現有信息無法做出判斷等原因而出現長時間的「無語狀態」。所謂課堂提問的沉默率,是指在一節課中,針對課堂提問的問題, 學生沉默的次數與提問的總次數之間的比率。在一節45分鐘的數學課上, 某教師提問60 次，而學生沉默了48 次，課堂提問引起的沉默率達到了80%，多數問題(包括不少「是不是」、「對不對」之類的「假問題」或稱之為無關問題、不必要的問題) 缺乏針對性, 無法真啟發學生的思維。或者是提問引起長時間的沉默，或者是回應人數寥寥，或者是答非所問，因此，這種提問往往是低效的。特別要指出的是，「無語狀態」的沉默不同於啟發式的「憤悱」狀態，這裡特指所提問題未能達到激發學生開展積極思維、並用適當語言予以表達的目的。一般情況下,課堂提問的沉默率不宜超過20%。課堂有些問題的提出只是引發學生深思而不是直接回答，就不是「無語狀態」的沉默；沉思型(內向型)的課堂教學風格相比活潑型(外向型)，其課堂提問的沉默率要高一些。

在設計問題之前, 教師應該充分考慮學生的思維水平、認知結構特點。提出問題後如果學生沉默不語, 教師可以考慮轉換自己提問的角度，轉換問題的類型，改變問題的開放程度、問題的層次(如將綜合性的問題轉化為應用性的問題、理解性的問題或者事實性的問題)，或者用簡明的語言重新表述自己的問題，進而提高提問的有效性。

5、調整問題類型比率及問題水平

在有效的課堂提問中，所提問題的開放程度是影響提問有效性的重要因素。

以前文所述的《周長》一節課為例，如表1所示，在這節課中，從提問的類別來看：記憶性問題所佔的比例為43.4%，在整節課的課堂提問中比例較大，類似於「可不可以？」「同意嗎？」「你贊同嗎？」這樣的問題出現的頻率比較高，說明教師提問的水平比較低，這樣不利於培養學生深入思考的學習習慣。

顯然，表1反映出這節課的問題的類型不合理。而合理的問題系統需要搭配各類問題。其中，各類問題可以劃分為兩大類：封閉型問題與開放型問題。封閉型問題是將回答限定在一個或少數幾個答案之內的問題，是為了讓學生獲得既定的、有確切答案的知識而設置的問題。而開放型問題是指問題沒有固定的答案，是為了讓學生獨立思考，不循常規，尋找適當的解題方法。設置封閉型問題和開放型問題的主要依據是課堂教學內容的複雜程度。正如美國教育學家加里.D.鮑里奇認為，當課堂教學內容的複雜性較低時，封閉型問題和開放型問題的最佳比例是7: 3；而當課堂教學內容的複雜程度較高時，二者的最佳比例以6:4 為宜。另外，教師提問時根據學生不同的認知複雜水平提出複雜層次不同的問題。在一些群體差異加大的班級中一種涉及問題的方式是，應該使得各個認知層次上的不同回答都是正確的，雖然有的學生的回答並不完整，但你在評價的時候應該一問題所要求的行為複雜程度及學生對這種問題的反應能力為依據。例如，在初中數學教學中：

對於認知水平較高的學生可以這樣問：「你能解出方程10= 中的x嗎？」而認知水平較低的學生則可用：「什麼樣的數x滿足等式10= ？如何想知道x的具體值，是乘還是除呢？」

（二）強化師生積極互動的層次與參與的質量，提高學的質量和效率，促進學生數學認知結構的完善和情感、意志、人格的發展。

當前，中小學課堂教學強調以學生的全面發展為本，倡導學生合作、自主、探究學習，學生應充分參與到教師教學過程中來，課堂教學不再是教師的「獨角戲」。在教學過程中師生積極交流、溝通、理解和互動，教師與學生之間交流感情思想及觀念，以促進師生雙方共同發展。而師生互動不僅僅是雙方特徵或交往的簡單總和，還受以往互動經歷的影響，是雙方互動經歷、期望、觀念、情感等綜合反映，其互動主體是教師和學生，並且師生雙方在互動中同等重要，互為主體的。

孔企平博士在其書[④]中將學生「在數學教學過程中的參與」定義為：學生在課堂數學學習過程中的心理活動方式和行為努力程度。它包括了三個基本方面：行為參與、認知參與和情感參與。行為參與指學生在數學教學中的行為努力程度，它包括了課堂表現（努力和鑽研兩個變數）和時間參與（每天完成作業時間和每周補充學習時間）兩個方面；認知參與是指學生在數學教學過程中反映其思維水平的學習策略，它分為深層次、淺層次和依賴策略的三種變數；情感參與是學生在數學教學中的情感體驗，它分為樂趣感、成功感、焦慮感和厭倦感四個變數。這種研究深化了數學課堂教學的師生參與的研究。

從師生互動、共同參與角度，如何做到有效教學？我們認為，首先，教師應該注重和學生的情感交流。以往的教學強調教師是活動的領導者、控制者、權威，教師首先以一種高姿態投入教學，往往給學生以壓迫感，教師忽視學生的情感體驗，只強調知識傳授。數學課不能只是機械的複製公式、定理給學生。要使學生參與到課堂中來，教師首先要表現出自己豐富、具有感染力的情緒。學生在上課時對教師的情緒表現非常敏感。如果教師對所教學的數學課富有激情，通過面部表情、聲調的抑揚頓挫、手勢及整體的動作來展示這種興奮，那麼，此時此地此景，常常會「煽情」，教師的手勢、目光、語調等等都會以一種信號傳遞給學生，這些都是教師與學生無聲的情感交流，這些都影響學生的自我效能與自我成就感，特別是低年級學生更容易被教師的情緒所影響。因而，教師時刻注意與學生的情感交流是提高教學效率，使教學行為有效的「催化劑」。

其次，在數學課堂教學中，教師應多樣化的呈現教學內容，變換多種教學方式引發學生學習興趣，促使學生積極鑽研、探索，參與到學習過程中來。加里·鮑里奇在其著作《有效教學方法》一書[⑤]中提到的多樣化教學的幾個特徵含有參考借鑒價值，即：使用吸引注意的技巧（比如用挑戰性問題、視覺刺激或舉例來開始一節課），通過變化目光接觸、語音和手勢來展示熱情和活力（比如改變高音或音量，在轉向新活動時四處走動），變化呈現方式（比如演講、提問、提供獨立練習的時間等[每天的]），混合使用獎勵和強化物（比如額外的學分，口頭表揚，獨立練習等[每周的、每月的]），把學生的想法和參與納入教學的某些方面（比如使用間接指導或發散性問題等[每周的、每月的]），變化提問類型（比如發散性、聚合性的問題[每周的]和試探性的問題[比如澄清、探詢、調整[每天的]）。

（三）提高課堂教學的有效活動時間，減少無效、低效活動，提高課堂教學效率，提升學生數學化的層次和水平。

例如，前文的「周長」這節課中，課堂教學時間與課堂教學行為時間分配如下表：

從總的教學時間來看，本節課共用了45′03″，比正常的小學數學課堂時間多用了5分鐘3秒，從課堂教學效率的角度來看，這節課是低效的。從教師教學設計的層面來看，本節課的教學重點是讓學生通過活動體驗並感受周長的含義，從教學時間的分配來看，教師在認識周長這個教學環節來看用了6′45″，占整個課堂的14.96%，時間分配比較合理，從後來的學習效果來看學生基本理解了周長的含義，為後來測量圖形的周長和計算長方形的周長奠定了基礎；而本節課的教學難點是通過實際操作活動探究不同圖形的周長測量策略，在本節課中學生活動的時間佔38.6%，突出了教學難點，同時也給學生留出了比較充分的時間去探索和發現，說明教師比較重視學生對知識的探索和動手操作能力的培養。在本節課中師生問答所用時間占整節課的53.7%，說明學生是在和教師的對話和交流中學習的，師生問答的大部分時間是在交流周長的測量方法，教師給與及時的反饋，課堂氣氛比較寬鬆。從整個教學環節來看，本節課內容含量很大，沒有給學生鞏固練習的時間。課程內容過多，學生沒有消化理解的時機，教師也無法了解學生是否真的掌握了本節課的教學內容。

事實上，每節課的時間都是有限的，教師如何利用這有限的時間，是提高課堂教學效率的重要環節，是教學過程最優化的指標之一，教師數學課堂教學應該花費最少的必要時間和精力使學生獲得最大的發展，在時間分配上根據不同學生的數學層次水平進行調整，力求提升每一位學生數學學習的層次和水平。

當前，在教學過程中，許多教師常常把握不好時間利用的尺度，一是表現為老師課上講得太多,留給學生獨立思考、討論練習的時間太少、甚至沒有，學生沒有自主學習的時間和機會，使學生容易出現倦怠、厭煩等不穩定情緒，因此嚴重影響了教學效果，影響了課堂教學質量的提高。第二種現象表現為教師課上講得太少，講課內容太粗、欠透，學生自由活動時間太多，課堂結構鬆散, 至使學生吃夾生飯，久而久之造成鬆懈、渙散，課堂教學效率極低，這樣的課堂看似課堂氣氛好，實際上學生的學習效果並不好，因此，也不能稱得上是高質量的課堂教學。第三種現象是教師對數學知識本身的傳授和對德育知識的灌輸時間分配不合理。有的教師不能利用學生在課堂教學中的表現生成一些相應的德育教育的課程資源，將數學教育與德育完全割裂開來。第四種表現是教師在課堂教學過程中不能合理的掌握時間，教學各個環節的時間分配不合理，以至於教學重點和難點沒有能夠很好的體現。

在實踐運用上，教師首先要考慮學生學習活動的興奮時間，在學生的興奮時間內，學生注意力集中，精神飽滿，思維活躍，教師在這一短時間集中講授課程的重點、難點，使學生對知識有最好的吸收和理解。對於7-10歲兒童來說，注意力只能保持20分鐘左右，一般教學效果較好的課堂時間分配較合理，以一堂新授課為例，一般整節課的各環節時間分配如下：鋪墊3＇、導入2＇、新授15＇、反饋10＇、檢測10＇，這樣的時間分配保證了學生在注意力最集中的時間內學習新授內容。[⑥]

為了保證學生對知識反饋和檢測的效率，經驗豐富的教師通常運用多種教學方法和教學媒體吸引學生注意力。例如，運用具有學生感興趣的多媒體課件使學生集中注意力；運用合作教學和討論的形式，生生合作完成練習和反饋，讓學生在活動中重新進入活躍的思維狀態。在這裡，值得一提的是，在合作教學中，也要注意時間利用問題。教師在組織合作教學時，把握不好講解時間和學生合作研究時間的關係，常常出現這樣的概況：學生的討論正酣，教師卻予以阻止，強行開始自己的講解。事實上，在適當的時機，如果學生討論可以收到更好的教學效果，教師完全可以延長學生討論時間，縮短教師講解時間。

（四）優化課堂教學結構，促進學生數學思維的全面提高。

課堂結構是指在一定教育思想指導下，為完成教學任務所建立起來的比較穩定的教學程序及其實施方法的策略體系。

課堂結構是否緊湊、合理，直接關係到教學的實際效果。特別是在數學課堂教學中，如何在有限的課堂教學時間內合理地安排教學活動，使教學質量得到最大的提高，不僅涉及課堂教學的實效性，而且與數學思維的發展密切相關。

1.合理的數學課堂教學結構有助於全面發展學生的數學思維

事實上，學生數學思維的發展，不僅包括人們熟知的演繹思維，而且也包括常常被人們忽視的歸納思維。

歸納是由個別或特殊的具體知識出發推出一般結論得到普遍原理的方法。歸納的前提是通過對個別事物或個別事例觀察得到的經驗材料，而歸納的結論是一般性原理，因此歸納是由特殊上升到一般，由感性上升到理性的重要思維方法。演繹是從一般性原理出發，得出對某思維對象的個別結論的思維方法。由一般引申出個別，是我們用原理和規律指導行動的重要思維方法。

如眾所知，《數學課程標準》所倡導的「問題情景－建立模型－解釋應用－拓展反思」表面上看是體現數學的過程與方法的目標。在筆者看來，其實這也是將學生的歸納思維的發展與演繹思維的發展巧妙地融合在一起的合理模式之一。

事實上，「問題情景、建立模型」對於培養學生的歸納思維十分有幫助，而「解釋應用、拓展反思」對於培養學生的演繹思維十分有效。

正如弗賴登塔爾所言「與其說學習數學，倒不如說學習數學化」。筆者看來，數學化的過程包含「現實問題數學化」、「數學內部結構化、規律化」、「數學內容現實化」三個階段。而「問題情境——建立模型」階段更有利於培養學生的歸納思維。學生從現實生活出發，發現現實問題並轉化為數學問題，即「現實問題數學化」。問題源於情境，情境中的背景必須與數學問題現連，與學生的生活經驗和數學學習經驗相關，使學生可以從情境中抽象出數學問題，概括出內在的數學特徵和規律，形成概念、原理等。例如，小學二年級學習5的乘法口訣時以對奧運五環旗觀察的為問題情境，在計算環數的同時使學生自己列出5的乘法，從而使學生親身體驗從理解乘法的意義到自己總結出5的乘法口訣的各個階段。學生在具體的問題情境中，經歷構建數學模型分析解決問題進而得出結論的全過程。其中，從情境中抽象出數學問題的過程中，學生的歸納思維得到了很好的培養和鍛煉。

相比之下，學生運用歸納思維抽象出數學規律使「數學內部結構化」之後，通過「解釋應用——拓展反思」實現「數學內容現實化」，即將一般性數學公理應用到個別問題之中。這個過程確實能夠提升學生的演繹思維能力的發展。歸納思維與演繹思維的同步發展，才可能造就建有創新潛能和雄厚數學基礎的人才。

當然，值得一提的是，當前數學課堂教學結構並非僅有「問題情景→建立模型→解釋應用→拓展反思」一種，而是因數學內容的不同、學生的不同、教學條件環境的不同而採用靈活多變的結構。特別地，探究發現式與有意義接受式互補並存，即「問題情景→建立模型→解釋應用→拓展反思」的探究式的課堂結構，與「能激發有意義學習的問題情景→概念→公理、定理、法則、公式→應用、強化→形成數學內容體系」的接受式的模式並存。

2.教學過程與結構的最優化有助於提高課堂教學效率

數學課堂教學結構本身是一個系統，教學的目標，內容和方法是相互聯繫、相互作用的。著名的教育學家巴班斯基把教學過程看成一個系統，他認為教學的過程包括：教學目的和任務、教學內容、教學方法、教學組織形式和教學結果，這些結構成分構成完整的系統，是有機聯繫的。巴班斯基明確指出：「要使教學最優化，就必須以辯證的系統方法看待教學過程，所謂辯論的系統觀點，就是必須把教學過程的所有成分，師生活動的內外條件都看成是相互聯繫的東西，並自覺從中選擇出在當前條件下，教學任務、內容、形式和方法的最好方案」。[⑦]

在日常教學中，不少教師無法科學合理地把握教學，在學生課堂學習的黃金時段大多精力放在導入、複習上，而新授課講解時由於時間不足或學生注意力分散無法收到良好的教學效果。而有些教師在教學時對於課堂教學結構的安排過於死板，單純遵循「組織教學-複習舊課-講授新課-複習鞏固-布置作業」的教學法，不能靈活的安排教學環節，突破教學難點，實現教學目標。

合理高效的教學結構安排應該各部分銜接自然、流暢，時間長短適當，教學重點、難點突出，並能恰當的組織材料，學習重點、難點。以小學統計課堂教學為例，有效的小學統計課，往往首先以學生感興趣的話題來提出問題，引導學生進一步思考，看到生活中的數學問題，使學生感覺到數學的意義和必要性。然後，在這一問題引導下，使同學們積極、自然的參與到統計活動中來，體現了教師課堂各個教學結構因素之間過渡自然的特點，使學生親曆數據收集、整理和分析判斷的統計過程，感受統計活動的各個環節，突出了教學的重點。而對小組合作結果的描述讓全體學生都參與到自己感興趣的統計活動中，通過對調查數據的描述過程，讓同學們對於統計圖的認識有了更深刻的理解。

在本文中，我們闡述了數學課堂教學有效性的一些主要因素，但並不是全部。要考察一節課的實效，還要從多方面全面加以考察。事實上，數學課堂教學的有效性，不僅體現在短期目標的實現，例如，具體的一堂課、一節課的教學目標的實現，而且也表現在長期目標的達成效果，特別是對學生終生可持續發展的那些目標的實現（諸如發現問題、提出問題能力的培養等等），不僅表現在全體學生的學習質量和效率，而且更包含著教學的受益面的廣泛性和學生的個性化發展的全面性。

由此看來，數學課堂教學的有效性問題是一個系統的、複雜的問題域，必須採用複合的多種手段、多種渠道才能逐步加以解決。同時，課堂教學的有效性又是一個動態發展的過程，一些既定目標的實現常常孕育著更高層次、更高效率的新目標的追求。也就說，數學課堂教學有效性的研究是一個持續不斷的動態過程，永無止境。

[*]作者簡介：孔凡哲，男，教育學（數學教育方向）博士，現任國家基礎教育實驗中心副主任，東北師範大學課程與教學論專業教授。王威威，女，東北師範大學課程與教學論專業2006級碩士生。李瑩，女，碩士，南京市琅琊路小學數學教師。

注釋：

[①]孔凡哲,李瑩.課堂教學中的有效提問[J].中國民族教育,2006(5).

[②]孔凡哲,李瑩.小學數學有效教學例說[J].小學數學教育，2006(5).

[③]于振球 選譯.維果茨基教育論著選[M].北京：人民教育出版社，2005年第2版：244.

[④]孔企平.數學教學過程中的學生參與[M].華東師範大學出版社，2003.

[⑤][美]加里·D·鮑里奇,易東平譯.有效教學方法[M].江蘇教育出版社，2002.

[⑥]林俊.數學課堂教學時間的運籌藝術[J].廣西教育，2005（7－8）.

[⑦]李定仁.巴班斯基教學最優化理論與我國教學改革[J].河西學院學報.2002（2）.