點蝕作用下變位行星齒輪系統動態特性研究

徐向陽1，刁 鵬 1，楊 望1，宋朝省2

（1.重慶交通大學 機電學院，重慶 400074；2.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030）

摘 要：以某行星齒輪系統為研究對象，考慮實際工況下的齒輪安裝變位特徵，建立點蝕作用下故障齒面的嚙合剛度有限元分析模型。分析不同點蝕位置、點蝕尺寸對行星變位齒輪嚙合剛度影響，並以時變嚙合剛度和傳動誤差作為綜合輸入激勵，對行星齒輪系統進行動力學響應求解，研究點蝕特徵對變位行星齒輪系統振動特性的影響。研究結果表明：點蝕顯著降低嚙合剛度，在嚙合周期內，點蝕在齒根位置的嚙合剛度變化最顯著，且點蝕坑尺寸越大，嚙合剛度減小越多；各點蝕區尺寸下的平均嚙合剛度，都隨正變位增大而減小，負變位增大而增大；點蝕對系統振動響應的影響主要表現為頻譜上的故障頻率及其倍頻成分，且故障頻率及其倍頻的幅值隨點蝕坑尺寸增加而增大，隨正變位增大而增大，負變位增大而減小。此外，隨著點蝕坑尺寸增大，Kurtosis值和RMS值均增大，但Kurtosis值對點蝕故障更靈敏。

關鍵詞：點蝕；變位；行星輪系；嚙合剛度；有限元模型；振動特性

行星齒輪傳動具有質量小、體積小、傳動比大及效率高等優點，廣泛應用於工程、礦山、輕工、石油化工、儀器儀錶機械等各種機械產品中。齒面點蝕作為行星齒輪系統的主要早期故障之一，會造成齒輪的精度和效率降低，使設備的整體性能下降，誘發整體雜訊，嚴重時導致機械事故，甚至造成重大的經濟損失。

國內外對於齒輪點蝕進行了許多相關研究。文獻[1]提出了基於物理模型的一種用於預測點蝕在齒面上進一步發展的新模型。文獻[2]建立了點蝕齒面的有限元模型，並模擬出點蝕裂紋的擴展行為。文獻[3]採用振動頻譜分析的方法，確定了蝸桿齒輪箱中存在點蝕問題。文獻[4-5]用有限元法計算了齒面有點蝕坑存在時的嚙合剛度，Ma還將有限元結果與數值結果進行了對比，驗證了有限元模擬點蝕的可行性，但目前考慮點蝕坑尺寸和點蝕位置變化對嚙合剛度影響的研究還很少。文獻[6]建立了一種新的考慮點蝕在內的剛度計算模型，並求解了齒輪系統的響應。目前針對行星輪系的點蝕進行系統動態響應的研究也比較少。另一方面，在真實情況下，行星齒輪傳動經常需要利用齒輪變位得到合適的中心距[7]。因此，考慮行星系統變位情況下的點蝕研究，具有更真實的工程意義。

擬通過有限元法，分析齒面點蝕和變位對嚙合剛度的影響，然後用嚙合剛度引起的參數激勵去分析系統的動態響應，研究點蝕與變位耦合作用下的行星齒輪系統振動特徵。

有限元模型採用一典型的四行星輪2K-H型行星齒輪系統，其中系統各符號定義如下：s—太陽輪；p—行星輪；r—內齒圈；c—行星架；pn（n=1，2，3，4）—第n個行星輪。其中太陽輪與行星輪的嚙合副稱s-p嚙合副，行星輪與內齒圈的嚙合副稱r-p嚙合副。太陽輪輸入轉速為350r/min，行星架輸出，齒輪材料選用20CrMnMo，其各參數，如表1所示。

表1 行星齒輪系統結構參數Tab.1 Structure Parameters of Planetary Gear System

構件 行星輪pn 太陽輪s 內齒圈r齒數 37 21 95模數/mm 15 15 15齒寬/mm 110 120 120壓力角/° 25 25 25

根據以上參數建立其三維模型[8-9]。採用八節點的六面體實體單元對各齒輪行有限元網格劃分，並對各零件重要部位網格進行加密，將各部件裝配成有限元模型，如圖1所示。由於太陽輪齒數與行星輪個數相除餘數為1，故其為連續相位安裝，各齒輪將連續進入嚙合。

圖1 行星輪系網格布置圖Fig.1 Planetary Gear Mesh Layout

3.1 齒輪副剛度的有限元計算方法

在2K-H行星輪系中，太陽輪與多個行星輪同時嚙合，是最易出現點蝕損傷的零部件，故這裡主要針對太陽輪發生點蝕時引起的嚙合剛度和系統動態特性進行研究。

假設齒面點蝕存在於s-p嚙合副中太陽輪的一個齒上。實際點蝕坑多為類似矩形的不規則形狀，目前國內外的點蝕研究也多以矩形坑模擬齒面點蝕[4-5]，其示意圖，如2所示。圖中：a—點蝕坑長度；b—寬度；h—深度。

圖2 齒面點蝕Fig.2 Tooth Surface Pitting

分別建立齒根、齒中和齒頂位置點蝕下的齒面點蝕有限元模型。選取點蝕坑初始尺寸為寬度b=3mm，深度h=2mm，長度a=10mm。

根據齒輪的嚙合剛度定義，提取某一時刻下一對或幾對同時嚙合的輪齒在1mm齒寬上產生1μm變形所需的載荷，得到齒輪在這一時刻下的嚙合剛度。假設同時嚙合的齒對數為n，此處根據齒輪單雙齒嚙合狀態取n值為1或2。行星輪和太陽輪中參與嚙合的各輪齒的綜合變形（取接觸力大於0的節點變形位移均值）分別為δpi（i=1，2）和δsi（i=1，2），各嚙合齒對的接觸力（接觸節點的法向接觸力之合）為Fi（i=1，2），由此得到齒輪的嚙合剛度k為：

為得到整個嚙合周期的嚙合剛度，選擇太陽輪單齒從齒根到齒頂嚙入嚙出的一個周期，按傳動比關係分別提取太陽輪和行星輪各角度下的接觸力和位移，計算嚙合剛度曲線。

3.2 點蝕作用下的嚙合剛度

以點蝕作用下s-p嚙合副為觀察對象，計算各點蝕位置下點蝕區長度發生變化時嚙合剛度的變化情況。取點蝕坑長度a=10mm，15mm和20mm，得到嚙合剛度曲線，如圖3所示。

圖3 不同位置下點蝕長度對s-p嚙合剛度的影響Fig.3 Effects of Pitting Length to the s-p Mesh Stiffness on Different Pitting Locations

由圖3可得，點蝕均使嚙合剛度明顯降低。但不同的點蝕位置影響不同，點蝕發生在齒根時，嚙合剛度的變化最為明顯，對整個嚙合周期內的剛度均有影響。點蝕發生在齒中或齒頂時，點蝕對嚙合剛度的影響僅表現為通過點蝕區及其之後參與嚙合的時間區域。三種點蝕位置情況下，在點蝕故障進入嚙合時，嚙合剛度均出現明顯的跳躍現象，點蝕齒根位置嚙合剛度下降最明顯，且隨嚙合進行不同點蝕尺寸下的嚙合剛度值有接近趨勢，齒頂位置嚙合剛度下降最弱。此外，點蝕長度變化不會影響嚙合剛度在一個嚙合周期內降低的起始時刻，但會影響嚙合剛度變化量。點蝕尺寸分別為10mm，15mm，20mm時，齒根位置發生點蝕時平均嚙合剛度降低2.4%，4.5%，7.1%；齒中時平均嚙合剛度降低2.1%，3.8%，6.0%，齒頂時則為1.4%，2.7%，4.2%。點蝕區長度越大，嚙合剛度降低得越多，且對齒根位置的剛度的影響程度最大。當取點蝕坑深度變化時，可以得到和長度變化相似的結果。限於篇幅原因不作贅述。

3.3 不同變位係數耦合作用下的點蝕嚙合剛度

以s-p嚙合副為觀察對象，計算變位係數x分別為-4mm、-2mm、0mm、2mm、4mm時，齒中位置發生點蝕時一個嚙合周期內的平均嚙合剛度變化情況，如圖4所示。

圖4 變位係數對點蝕區平均嚙合剛度影響Fig.4 Effects of Modification Coefficient to Average Mesh Stiffness

點蝕和安裝變位都對嚙合副的平均嚙合剛度有影響。當x=0mm時，對應無變位時點蝕區尺寸對平均嚙合剛度的影響，x為其它值時，則反應點蝕尺寸對變位齒輪平均嚙合剛度的影響。無變位時，點蝕長度分別為5mm、10mm、15mm、20mm對應的平均剛度變化為（-1.1）%、（-2.1）%、（-3.8）%、（-6.0）%。當正變位 x=2mm時，對應的平均剛度變化（-3.6）%、（-4.5）%、（-6.3）%、（-8.5）%。負變位x=（-2）mm時，平均剛度變化1.4%、0.5%、（-1.28）%、（-3.5）%。可知，在不同的變位係數下，點蝕尺寸增大都使平均嚙合剛度減小。從圖4也可知，點蝕和變位兩種因素耦合共同作用影響嚙合副的平均剛度。各點蝕尺寸下的平均嚙合剛度，都隨正變位增大而減小，負變位增大而增大。並且可以觀察到平均剛度隨正變位係數的增大和負變位係數的減小，變位引起的平均嚙合剛度變化得越快。點蝕發生在其它位置，亦有相似結結果，不再贅述。

4.1 行星齒輪動力學方程

依據文獻[10]，建立（9+3n）自由度的行星輪系系統動力學模型，如式2所示。

式中：X—系統位移矢量；

M—系統質量矩陣；

C—阻尼係數矩陣；

Kb—系統支撐剛度矩陣；

Km（t）—系統嚙合剛度矩陣；

T—系統外部扭矩；

F（t）—系統外部激勵。

當點蝕假定發生在太陽輪某一齒面上，其故障齒參與嚙合的故障頻率fds為：

式中：fs—太陽輪轉頻；fc—行星架轉頻。在行星輪系統中，假設內圈固定，太陽輪輸入轉速n為350r/min。計算得各特徵頻率，如表2所示。

表2 行星齒輪系統特徵頻率Tab.2 Characteristic Frequency of Planetary Gear System

特徵頻率 fs fm fc fds頻率值/Hz 5.83 17.20fs 0.18fs 0.82fs

4.2 點蝕作用下變位行星系統的振動分析

為分析點蝕長度變化對系統響應影響，取齒根點蝕情況下，變位係數x=2mm時，點蝕長度分別為a為0mm、5mm、10mm、15mm和20mm，用4-5階Runge-Kutta法進行方程求解得到系統的振動響應。a=10mm時的行星輪1扭轉振動位移圖和頻譜圖，如圖5所示。

圖5 x=2mm，a=10mm時行星輪1振動響應Fig.5 Vibration Response of Planet Gear 1 at x=2mm，a=10mm

從圖5可知，當太陽輪發生點蝕時，圖中頻率成分除嚙合頻率fm=100Hz及其倍頻外，低頻部分出現了明顯的頻率分布，其頻率大小為（4.78×N）Hz，與式（3）中計算得到的故障頻率相吻合。當點蝕發生在齒輪中部和頂部時，頻譜分布位置與根部點蝕時一致。計算各點蝕位置處不同點蝕區長度對應的故障頻率振幅最大值，如表3所示。結果表明故障頻率振動幅值隨點蝕長度的增大而增大。研究也表明點蝕深度變化有相似結果。

表3 點蝕坑長度對最大故障頻幅的影響Tab.3 Effects of Pitting Length to the Maximal Fault Frequency Amplitude

點蝕區長度/mm 5 10 15 20齒根位置/10-3mm 2.12 2.85 3.74 4.66齒中位置/10-3mm 1.61 2.29 3.14 4.14齒頂位置/10-3mm 1.35 2.03 2.91 3.80

分析不同變位係數下系統的響應。在太陽輪齒根點蝕坑長度為 10mm 時，取變位係數為（-4）mm、（-2）mm、0mm、2mm、4mm，分別求解系統的動態響應。結果表明，故障頻率均為4.78Hz及其倍頻。各位置發生點蝕時不同變位係數對應的最大故障頻幅值影響，如表4所示。結果表明故障頻幅都隨正變位增大而增大，負變位增大而減小。點蝕區長度為其它值時，亦可得相同的結論。

表4 變位係數對最大故障頻幅的影響Tab.4 Effects of Modification Coefficient to the Maximal Fault Frequency Amplitude

變位係數/mm -4 -2 0 2 4齒根位置/10-3mm 1.79 2.12 2.50 2.85 3.17齒中位置/10-3mm 1.58 1.58 1.94 2.29 2.61齒頂位置/10-3mm 0.96 1.28 1.64 2.03 2.39

當太陽輪變位安裝時，計算結果表明也點蝕發生在各位置處的故障頻幅也均隨點蝕尺寸的增大而增大。在齒輪系統中點蝕故障發生時，由於周期性衝擊振動信號的存在，會改變原有的周期信號幅值，這裡用Kurtosis值和RMS值來評價故障的程度。其Kurtosis值和RMS值分為式（4）和式（5）所示。

式中：xi—信號值；

x—信號平均值；

N—採樣長度；

δt—標準差。

計算上節變位係數為2mm時，各點蝕尺寸下時域信號對應的Kurtosis值與RMS值，取各點蝕尺寸下兩個時域特徵值相對無故障時的增量百分比進行對比，如圖6所示。

圖6 點蝕區長度對Kurtosis值和RMS值的影響Fig.6 Effects of Pitting Length to Kurtosis Value and RMS Value

從圖6可以看到，隨著點蝕坑長度的增加Kurtosis和RMS值均變大，表徵系統的故障程度增加。齒根點蝕時的Kurtosis和RMS值均最大，說明齒根點蝕對系統響應影響最為明顯。點蝕區長度增大時，Kurtosis值增量百分比最大超過100%，並且能夠清晰看出不同位置點蝕故障時Kurtosis值存在明顯差異，RMS值增量最大百分比不超過5%，且不同位置發生點蝕時RMS的增量百分比都很接近。且相同點蝕長度時，Kurtosis值增量比RMS值增量大得多，故Kurtosis值對點蝕故障更為敏感。點蝕坑深度變化時結果相似。在其他變位係數下，也有此結果。

考慮齒輪變位特徵，建立點蝕作下故障齒面的嚙合剛度有限元分析模型，分析不同點蝕位置、點蝕坑尺寸對齒輪嚙合剛度變化的影響；並以時變嚙合剛度和誤差作為輸入激勵，對行星齒輪系統進行動力學響應求解並分析其振動特性，得到如下結果：

（1）嚙合剛度在點蝕故障位置進入嚙合時出現明顯的跳躍現象，齒根點蝕時對嚙合剛度的影響最為顯著，影響範圍遍布整個周期。點蝕在齒中或齒頂位置時，剛度影響範圍在點蝕區域及之後的區域。點蝕坑尺寸越大，嚙合剛度減小得越多。

（2）行星齒輪變位安裝時，各點蝕尺寸下的平均嚙合剛度，都隨正變位增大而減小，負變位增大而增大。且隨正變位的增大和負變位的減小，平均嚙合剛度變化得越快。

（3）在振動響應上，點蝕主要表現為頻域上的故障頻率及其倍頻，故障頻率及其倍頻的幅值均隨點蝕尺寸增大而增大，隨正變位增大而增大負變位增大而減小。同時，時域上Kurtosis值和RMS值隨點蝕尺寸增大而增大，且Kurtosis指標對點蝕故障更敏感，對點蝕的預測較為靈敏。

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Research on the Dynamical Characteristics of Planetary System with Gear Shift Under Gear Pitting

XU Xiang-yang1，2，DIAO Peng1，YANG Wang1，SONG Chao-sheng2（1.School of Mechatronics and Vehicle Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China；2.The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400030，China）

Abstract：In this research，a planetary gear system is employed as the research objective.Considering gear installation shift in the actual conditions of the planetary system，and a mesh stiffness finite element analysis model is established with tooth surface pitting fault.The influence of different pitting locations and the change of pitting sizes on the mesh stiffness under gear shift are analyzed.Then，the dynamic response of the system is solved by the mesh stiffness and error excitation，and the effect of pitting on the system vibration characteristics is analyzed.The results show that the pitting fault can significantly reduce the mesh stiffness.In a mesh period，the effect is the most significant when the pitting is on the tooth root position，and pitting size is greater，the mesh stiffness decreases more.The average mesh stiffness under different pitting sizes decrease with the increase of the positive modification coefficient，increase with the increase of the negative modification coefficient.Pitting fault also has obviously influence on the system vibration response.Pitting fault frequency and its frequencies multiplication are mainly characteristic frequencies in the spectrum，and the amplitudes of the fault frequency and their frequenciesmultiplication will increase with the increase of the pitting size and the positive modification coefficient，and will decrease with the increase of the negative modification coefficient.In addition，as the pitting size increase，the value of Kurtosis and RMS become larger，but the Kurtosis value is more sensitive to the fault response.

Key Words：Pitting；Gear Shift；Planetary Gear System；Mesh Stiffness；FEM Model；Vibration Characteristic

中圖分類號：TH16；TH212

文獻標識碼：A

文章編號：1001-3997（2017）11-0161-04

來稿日期：2017-05-20

基金項目：國家自然科學基金（51405048，51405043）；中國博士後科學基金（2016M590861）；長安大學公路養護裝備國家工程實驗室開放基金項目（310825161104）

作者簡介：徐向陽，（1981-），男，河南人，博士研究生，副教授，主要研究方向：機械傳動、齒輪系統動力學；刁 鵬，（1992-），男，重慶人，碩士研究生，主要研究方向：行星齒輪動力學

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