綜合運用等價轉化、分類討論、數形結合等思想解決函數綜合問題

專題：綜合運用等價轉化、分類討論、數形結合等思想解決函數綜合問題

高考要求:

函數綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣本節課主要幫助考生在掌握有關函數知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，並培養考生的思維和創新能力

重難點歸納:

在解決函數綜合問題時，要認真分析、處理好各種關係，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉化、分類討論、數形結合等思想的綜合運用綜合問題的求解往往需要應用多種知識和技能因此，必須全面掌握有關的函數知識，並且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件

學法指導: 怎樣學好函數

學習函數要重點解決好四個問題準確深刻地理解函數的有關概念；揭示並認識函數與其他數學知識的內在聯繫；把握數形結合的特徵和方法；認識函數思想的實質，強化應用意識

(一)準確、深刻理解函數的有關概念

概念是數學的基礎，而函數是數學中最主要的概念之一，函數概念貫穿在中學代數的始終數、式、方程、函數、排列組合、數列極限等是以函數為中心的代數近十年來，高考試題中始終貫穿著函數及其性質這條主線

(二)揭示並認識函數與其他數學知識的內在聯繫函數是研究變數及相互聯繫的數學概念，是變數數學的基礎，利用函數觀點可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數列、曲線與方程等內容在利用函數和方程的思想進行思維中，動與靜、變數與常量如此生動的辯證統一，函數思維實際上是辯證思維的一種特殊表現形式

所謂函數觀點，實質是將問題放到動態背景上去加以考慮 高考試題涉及5個方面(1)原始意義上的函數問題；(2)方程、不等式作為函數性質解決；(3)數列作為特殊的函數成為高考熱點；(4)輔助函數法；(5)集合與映射，作為基本語言和工具出現在試題中

(三)把握數形結合的特徵和方法

函數圖像的幾何特徵與函數性質的數量特徵緊密結合，有效地揭示了各類函數和定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現了數形結合的特徵與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪製圖形，又要熟練地掌握函數圖像的平移變換、對稱變換

(四)認識函數思想的實質，強化應用意識

函數思想的實質就是用聯繫與變化的觀點提出數學對象，抽象數量特徵，建立函數關係，求得問題的解決縱觀近幾年高考題，考查函數思想方法尤其是應用題力度加大，因此一定要認識函數思想實質，強化應用意識

典型題例示範講解

例1設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖像關於直線x=1對稱，對任意x1、x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0

(1)求f( )、f( );

(2)證明f(x)是周期函數；

(3)記an=f(2n+ ),求

命題意圖本題主要考查函數概念，圖像函數的奇偶性和周期性以及數列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力

知識依託認真分析處理好各知識的相互聯繫，抓住條件f(x1+x2)＝

f(x1)·f(x2)找到問題的突破口

錯解分析不會利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)進行合理變形

技巧與方法由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為 是解決問題的關鍵

解因為對x1,x2∈［0, ］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)= ,　　x∈［0,1］

又因為f(1)=f( + )=f( )·f( )=［f( )］2

f( )=f( + )=f( )·f( )=［f（ ）］2

又f(1)=a>0

∴f( )=a ,　f( )=a

(2)證明依題意設y=f(x)關於直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1－x),

即　f(x)=f(2－x),x∈R

又由f(x)是偶函數知　f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R

將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數，且2是它的一個周期

(3)解由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f( )=f(n· )=f( +(n－1) )=f( )·f((n－1)· )=……

=f( )·f( )·……·f( )=［f( )］n=a

∴f( )=a

又∵f(x)的一個周期是2∴f(2n+ )=f( ),　∴an=f(2n+ )=f( )=a

因此an=a ∴

例2甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例係數為b,固定部分為a元

(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數，並指出這個函數的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

命題意圖本題考查建立函數的模型、不等式性質、最值等知識，還考查學生綜合運用所學數學知識解決實際問題的能力

知識依託運用建模、函數、數形結合、分類討論等思想方法

錯解分析不會將實際問題抽象轉化為具體的函數問題，易忽略對參變數的限制條件

技巧與方法四步法(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評價

解法一(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為 ,全程運輸成本為y=a· +bv2· =S( +bv)

∴所求函數及其定義域為y=S( +bv),v∈(0,c

(2)依題意知，S、a、b、v均為正數

∴S( +bv)≥2S①

當且僅當 =bv,即v= 時，①式中等號成立

若 ≤c則當v= 時，有ymin＝2S ；

若 >c,則當v∈(0,c 時，有S( +bv)－S( +bc)

=S［( － )+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc2,　∴a－bcv≥a－bc2>0

∴S( +bv)≥S( +bc),當且僅當v=c時等號成立，

也即當v=c時，有ymin ＝S( +bc)；

綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當 ≤c時，行駛速度應為v= ,　當>c時行駛速度應為v=c

解法二(1)同解法一

(2)∵函數y=S( +bv),　v∈(0,+∞),當x∈(0, )時，y單調減小，

當x∈( ,+∞)時y單調增加，

當x= 時y取得最小值，而全程運輸成本函數為y=Sb(v+ ),v∈(0,c

∴當 ≤c時，則當v= 時，y最小，若 >c時，則當v=c時，y最小 結論同上

例3　設函數f(x)的定義域為R，對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時f(x)<0且f(3)=－4

(1)求證f(x)為奇函數；

(2)在區間［－9，9］上，求f(x)的最值

(1）證明令x=y=0,得f(0)=0

令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)

∴f(x)是奇函數

(2）解1°,任取實數x1、x2∈［－9,9］且x1＜x2,這時，x2－x1>0,

f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)

因為x>0時f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0

∴f(x)在［－9，9］上是減函數

故f(x)的最大值為f(－9),最小值為f(9)

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12

∴f(x)在區間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12

學生鞏固練習

1函數y=x+a與y=logax的圖像可能是()

2定義在區間(－∞,+∞)的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間［0，+∞)的圖像與f(x)的圖像重合，設a>b>0,給出下列不等式

①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)　　②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)

③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)　　④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)

其中成立的是()

A①與④B②與③C①與③D ②與④

3若關於x的方程22x+2xa+a+1=0有實根，則實數a的取值範圍是____

4設a為實數，函數f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R

(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值

5 設f(x)=

(1)證明f(x)在其定義域上的單調性；

(2)證明方程f-1(x)=0有惟一解；

(3)解不等式f［x(x－ )］<

6定義在(－1，1)上的函數f(x)滿足①對任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f();②當x∈(－1,0)時，有f(x)>0

求證

7某工廠擬建一座平面圖(如下圖)為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池，由於地形限制，長、寬都不能超過16米，如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔牆建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元(池壁厚度忽略不計，且池無蓋)

(1)寫出總造價y(元)與污水處理池長x(米)的函數關係式，並指出其定義域

(2)求污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？並求最低總造價

8已知函數f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定義，且在(0,+∞)上是增函數，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－mcosθ－2m,θ∈［0,］,設M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N