仙氣

07-06

仙氣

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在氣體這一章最最最重要的是理想氣體狀態方程 $pV=nRT$

燃鵝基礎化學中這個公式的出場是暴力的很啊。丟出波義耳定律 $pV=C$ 和蓋?呂薩克定律 $V/T=C$ 以及阿伏伽德羅定律，接著就搞了個大馨文，強行把那三個公式弄在了一起（沒有用微分，可以說是目測法了,開啟上帝視角），最後引入常數R，說這就是理想氣體狀態方程啦。

當初看得我是一臉懵逼，也是因為自己那時候太年輕太簡單。現在也還是天真，需要不斷學習一個，在學了物化後長了一點點姿勢，於是梳理一下學習過程。

基礎化學中的引入從數學上看是沒有任何問題的，但無法從根本上解釋清楚這個方程。

真理都是有條件的，要把氣體理想化。（稱之為模型擬合）

於是我們敲定①氣體分子都是質點②均勻分布③分子間的碰撞為彈性碰撞。

要確定氣體分子的狀態，那是不是要確定分子的運動狀態，於是我們想到了動量。在三維空間裡面要確定一群分子的動量有點難，這時你肯定又想到了分解。沒錯，我們先研究x方向,之後再推廣即可。

敲定容器中總的分子數為 $N$ ；某時刻速率相同的分子就是分子群，每一群分子的單位體積分子數為 $n_{1}$ 、 $n_{2}$ 、 $n_{3}$ ... $n_{i}$ ,有g群，則 $sum_{i=1}^{g}{n_{i} } =N$ ;分子某時刻的速率 $u_{i}$ ， $u_{i} ^{2} =u_{i,x} ^{2} +u_{i,y} ^{2} +u_{i,z} ^{2}$ 。

g群分子垂直打到 $dA$ （容器壁面積）上的總動量 $M_{1} =sum_{i=1}^{g}{} (n_{1} u_{i,x}dtdA )mu_{i,x} =msum_{i=1}^{g}n_{i} u_{i,x} ^{2} dtdA$

啪。。。撞一下後，這一群分子也許就散了，不再是g群。我們敲定為g群，表示為g+1、g+2、g+3...g+g。那麼這g群分子垂直於 $dA$ 面上的總動量 $M_{2} =-msum_{g+1=1}^{g+g}n_{i} u_{i,x} ^{2} dtdA$ ;啪啪啪過後在垂直於 $dA$ 面上的動量改變數 $M=M_{1} -M_{2} =msum_{i=1}^{g+g}{n_{i} } u_{i,x} ^{2} dtdA=msum_{i}^{}{n_{i} } u_{i,x} ^{2} dtdA$ ,

根據壓力的定義 $p=frac{F}{S} =frac{ma}{s} =frac{mv}{st}$ ,於是乎 $p_{x} =frac{msum_{i}^{}{n_{i} } u_{i,x} ^{2} dtdA}{dtdA} =msum_{i}^{}{n_{i} } u_{i,x} ^{2}$

再次敲定 $ar{u} _{x}^{2}$ 為各分子在x方向速率的平均值 $Rightarrow ar{u_{x}^{2} }=frac{sum_{i}^{}{n_{i} u_{i,x}^{2} } }{sum_{i}{n_{i} } }$ ,代入上式得 $p_{x} =nmar{u} _{x}^{2}$ ,到這裡我們就將x方向上的微觀壓強公式求出來了。

推而廣之，分子的運動是毫無規則的，那麼分子向每個方向運動的可能性應該是一樣的，這也不是憑空捏造的，當系統平衡時，系統各個方向的壓力是一樣的。所以 $p_{x} =p_{y} =p_{z} =p$ $Rightarrow ar{u} _{x}^{2} =ar{u} _{y}^{2} =ar{u} _{z}^{2}$ 。對於一個分子有 $u_{i} ^{2} =u_{i,x} ^{2} +u_{i,y} ^{2} +u_{i,z} ^{2}$ ，那麼對所有的分子則有 $frac{{sum_{i}^{}{n_{i} u_{i}^{2} } }}{n} =frac{{sum_{i}^{}{n_{i} u_{i,x}^{2} } }}{n} +frac{{sum_{i}^{}{n_{i} u_{i,y}^{2} } }}{n} +frac{{sum_{i}^{}{n_{i} u_{i,z}^{2} } }}{n}$ ,敲定容器內分子的平均速率為 $u=sqrt{frac{{sum_{i}^{}{n_{i} u_{i}^{2} } }}{n} }$ ，則 $u^{2} =frac{1}{3}ar u_{x}^{2}$ 。將其帶回x方向的微觀壓強公式得 $p=frac{1}{3} nmu^{2}$ ;兩邊乘以V $Rightarrow pV=frac{1}{3} Nmu^2$

接著導出波義耳定律 $pV=C$ 、蓋呂薩克定律 $frac{V}{T} =C$ 、阿伏伽德羅定律:同T同P同V下 $N_{1} =N_{2}$ 。到這裡這三個經驗定律就上升為理論了（其實應該叫定理的）

根據上面三定律可得 $V=fleft( p,N,T ight)$ 微分得 $dV=(frac{partial V}{partial p } )_{N,T}dp+(frac{partial V}{partial N } )_{p,T}dN+(frac{partial V}{partial T} )_{N,p}dT$ ,接著就可以積分得到 $pV=nRT$

以上

修點仙氣真不容易