第一章 熱學中的能量 1.5 壓縮做功

來自專欄 Schroeder：從熱力學到統計力學

1.5 壓縮做功

By @Hey'u @Charge

在本書中，我們將會見到多種類型的功，但最重要的一類是通過壓縮系統（通常是氣體）所做的功，例如推活塞。你可能會回想起在經典力學中，你所做的功等於你施加的力與位移的內積：

當系統比一個粒子更複雜時，這個公式其實有些模糊：是指質心的位移還是接觸點（如果存在的話）的位移？或者是什麼別的位移？在熱力學中，這個問題的答案永遠是接觸點，我們不會考慮諸如重力等遠程力所做的功。在這種情況下（也即壓縮系統時），我們根據功能原理知道系統的總能量增加了。*

但是對於氣體，用壓力和體積表達所做的功就十分簡便。為了明確這個說法，請考慮圖1-8所示的典型汽缸活塞裝置。力與位移平行，所以我們可以忽略點積寫把功寫為

我們規定活塞向里移動時為正。

接下來要做的是用——氣體壓強乘以活塞面積——來代替 。為了進行這種替換，需要假設氣體被壓縮的過程中，它的內部總是處於平衡狀態，所以它的壓力在任何地方都是均勻的（因此是明確的）。因此，活塞的運動必須相當緩慢，以便氣體有時間恢復平衡；我們稱這種體積變化非常緩慢的過程為準靜態（quasistatic）過程。雖然完全的准靜態壓縮是理想化的，但它在實踐中通常是一個很好的近似。為了壓縮非准靜態的氣體，你必須非常努力地猛擊活塞，使得它的運動速度比氣體可以「響應」的速度快（速度必須至少與氣體中的聲速相當）。

對於准靜態壓縮，施加在活塞上的外力就等於氣體壓強與活塞面積的乘積，**因此

（本節中剩餘所有公式都是在准靜態壓縮假設下）

剛好是體積變化的相反數，所以，

舉個例子，如果你有一箱在大氣壓下的空氣，並且你試圖將它的體積減小一升，你就需要做 的功；很簡單地就可以證明這個公式對於氣體膨脹來說也適用。

然而，這個公式有一個瑕疵：通常在壓縮過程中，氣體的壓強會變化，那麼我們該用哪一個壓強呢——是初始值、結束值、平均值還是什麼別的？對於非常小（「無窮小量」）的體積變化來說，壓強的變化可以忽略，因此沒有什麼問題；但是我們可以把一個較大的體積變化分為一系列的微小變化。所以，壓強在壓縮過程中確實有顯著的變化，我們就需要把這個過程分為許多微小的步驟，在每個步驟中應用公式(1.28)並把這些功加起來得到做的總功。

用圖形理解這個手段可能會比較簡單：如果壓強恆定，那麼所做的功就是負的直線下的面積；如果壓強不恆定，我們就分成很多小步，計算每一步的面積並把它們加起來再乘以負一，就是所做的功了。

如果你恰巧知道壓強關於體積的方程，你就可以用積分來計算所做的功了：

這個公式十分有用，因為它既可以在壓強不變又可以在壓強變化時使用。然而，這個積分不一定能輕易地計算出來。

重要的是要記住，壓縮/膨脹做功並不是熱力學系統唯一可以做的功。例如，電池中的化學反應會導致在其連接的電路上產生電場來做功。在本書中，我們將會看到許多例子，其中壓縮膨脹做功是唯一一種；我們也會看到很多例子並非如此。

*：對於功的多種定義的詳細討論，請見A. John Mallinckrodt and Harvey S. Leff, "All About Work," American Journal of Physics 60, 356-365 (1992).

**：即使對於准靜態壓縮來說，活塞和外壁之間的摩擦有可能使施加的外力和氣體對活塞的壓力不相等。如果W代表活塞對氣體做的功，那麼並沒有什麼問題；但是如果W代表你在推活塞時對氣體所做的功，你就需要在下文中都假設摩擦可以忽略了。

總結

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• 從最簡單的活塞模型出發，推導出了在准靜態假設下，壓縮一個系統所做的功的公式

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Content Created: 2018年7月3日

Last updated：2018年7月3日

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