中國人的思維課29：誰說華夏文明沒有數學？

誰說華夏文明沒有數學？

中國人的思維課29

序言

行文到這裡，中國人的思維課已經寫了接近16萬字了。我們需要停下來，總結一下，說說數學那點事。這主要是因為前面課程出現了太多的數字，幾何，模型，數理活動，不寫寫怪可惜的。畢竟有沒有科學，數學是具有基礎和決定作用的。

作為思維活動的重要載體，文字，數學都是必不可少的，這是思維脫離實踐，而能夠獨立成為一項人類活動的先決條件。而這恰恰是我們先民的優勢，農耕養育了大腦，定居促進了思考，火能點燃痛點，而不是像西皮以及一批應聲蟲所批判的那樣，我們缺乏數理知識和邏輯素養。

看點

01

數 字

從伏羲開始，我們講了天文曆法、陰陽五行、八卦曆法等。陸續出現了三組數字，一是陰陽，二是十以內數，三是八卦64爻。這些數學雖略顯簡單，卻是非常重要的創造。1、二進位

陰陽，經過抽象以後，可以視為最原始的二進位，可以用0,1表示，也可以用-（陽），--（陰）表示。

後世的計算機所使用的數組原理，就是二進位。這裡需要提到東學西漸，從而開創西方現代數學及各類科學的重要人物之一，萊布尼茨。1701年秋末，正當五十四歲的萊布尼茲為創造乘法機冥思苦索、無路可走的時候，突然間收到了他的法國傳教士朋友從北京寄給他的「伏羲六十四卦次序圖」和「伏羲六十四卦方點陣圖」。這其中，利馬竇和徐光啟等居功至偉啊。

萊布尼茲從這兩張圖中，受到了很大啟發。他通過仔細研究，發現八卦是象形文字的雛形，由坤卦經艮、坎、巽、震、離、兌到乾卦，正是由零數到七，這樣八個自然數所組成的完整的二進位制層數形。八卦中的「一」叫做陽爻，相當於二進位中的「1」，而八卦中的「--」叫做陰爻，相當於二進位中的「0」。據此，萊布尼茨觸類旁通，發明了後來我們所使用的二進位，並被後世以電子方式實現，從而完全改變了人類知識的面貌。

這裡，我們不懷疑萊布尼茨先生的天才能力以及刻苦鑽研的精神，也不否定中學西漸的歷史意義，筆者唯一想說的是，那些慕洋犬是不是該自行打臉呢？不過，遺憾的是，萊布尼茨先生還是堅持靜態思維，剩下的交給上帝，而沒有看到其中的五和十，要不然，十進位說不定也可以成為西方的發明，就不用心不甘情不願的承認數字來源於阿拉伯世界了。真懸啊！

算了，我們還是來看他怎麼說的吧。在德國圖靈根著名的郭塔王宮圖書館（Schlossbiliothke zu Gotha）保存著珍貴手稿，標題為：「1與0，一切數字的神奇淵源。這是造物的秘密美妙的典範，因為，一切無非都來自上帝。」 看吧，果然交給上帝了，就是不能承認這些知識來自於東方，可憐的伏羲此時不得不升騰起一萬個草泥馬。

更搞笑的是，他在寫給當時在中國傳教的法國耶穌士會牧師布維的信中說：「第一天的伊始是1，也就是上帝。第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。所以，這最後的一天也是最完美的。因為，此時世間的一切都已經被創造出來了。因此它被寫作『7』，也就是『111』（二進位中的111等於十進位的7），而且不包含0。」

2、十進位

在用八卦圖推演天文曆法的過程中，伏羲發明了三組數字，即點值一三二四，域值六七八九，動值五、十等十個數，每個數均含有陰陽兩個屬性。

有了這些數，慢慢就演化出了十進位來。十進的意思，即滿十進一，數位不同，則數值各異。如123+89，1代表100,8代表80，9 為9，9+3得12，1進到十位數，一次類推得數212.

1）文獻：

另一位大師就靠譜多了，李約瑟在研究了商朝數學後，深情的說："總的說來，商代的數字系統比同一時代的古巴比倫和古埃及更為先進更為科學。"這裡指的是《卜辭》里的記載，商代的人們已經學會用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這13個單字記十萬以內的任何數字，甲骨卜辭中還有奇數、偶數和倍數的概念。

2)考古：

大地灣仰韶晚期房F901中曾出土一組陶質量具，主要有泥質槽狀條形盤、夾細砂長柄麻花耳鏟形抄、泥質單環耳箕形抄、泥質帶蓋四把深腹罐等。其中條形盤的容積約為264.3立方厘米；鏟形抄的自然盛穀物容積約為2650.7立方厘米；箕形抄的自然盛穀物容積約為5288.4立方厘米；四把深腹罐的容積約為26082.1立方厘米。

由此可以看出，除箕形抄是鏟形抄的二倍外，其餘三件的關係都是以十倍的遞增之數。這些度量衡具的發現也為研究我國古代十進位的起源等，提供了珍貴的實物資料。

3、64位數。

單卦為八，兩個單卦上下組合，即為六十四卦中的一卦，稱重卦，這就涉及到1到64共64個數。也有用這64個數，表示64進位的，不過作者暫時沒有研究，搞不透，呵呵。

看點

02

幾 何

在伏羲八卦中，我們可以看到，點、線、角、弦、弧、圓等幾何基本要素。另外，方，圓，矩等均已出現。

如周髀算經里商高所言「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。」筆者此前解釋過這句話，意思是在用圭表觀測天文現象時，發現了星象及太陽的周期性運動規律，這個規律符號化以後就是圓周，方的勾股之間連線為弦，可以開方乘積，反過來，也可以說方構成了矩，矩里有方。

另外，十進位矩陣的最大數為81，這就引出了九九乘法表了。這個對我們很輕鬆的表，剛剛被英國人學了去，那些嬌貴少爺能不能學會就不知道了，呵呵。不過目前出土的最早的九九表，是春秋中期的。

媽蛋，本意說方圓的，結果說了九九乘法表。商高說過，數之源，在大禹時代就有了。另外，古人在天文觀測及幾何應用上，已經熟練的使用規、矩、准、繩等作圖和測量工具，如《史記．夏本記》中說大禹治水就有記載使用過這些工具。但是，筆者不認為是大禹發明了這些工具、數字及幾何等。

原因就是筆者在關於伏羲的成就一文中，曾經推測過，這些的源頭都在伏羲這裡。因為大禹粗人，堯舜賢人，黃帝除了做夢就是打仗，沒時間過多的思考，呵呵。開個玩笑啦，各位大神不要怪罪則個。

說個遺憾的事情，筆者的初中平面幾何一直就沒考及格過，完全理解不了其中的含義，不過這不能怪筆者，是數學老師太機械，照本宣科。如果能給筆者講解下這些圖形，符號的來歷，讓筆者能夠知道這些都是上古知識，偉光正什麼的，筆者肯定發奮學習，以與先賢看齊。因為筆者其他課程基本都是滿分，就算舶來品的英語，也長期名列前茅。可惜了！

看點

03

數理思維

伏羲在長期的天文觀測和製作推演八卦中，逐漸發明了以下思維方法，差不多都成了數理思維的源頭。我們簡單講解即可，不作展開。1、取象法

在華夏思維里，對道德的掌握，對物形的觀察之後，就是取象了。

取象，也可以理解為抽象，就是把物形的實際特徵提煉出來，進而採用符號表示，就可以開展思考和運算了。」「象」字有三重涵義：一指事物可以感知的現象的特徵；二指摹擬的象徵性符號，如卦象、爻象；三指取象、象徵，為動詞意。當然，含義是不同的。

取象思維，是指在思維過程中離不開物象，以想像為媒介，直接比附推論出一個抽象事理的思維方法。其本質是一種比附推論的邏輯方法，與整體思維互補並具有模糊性等特點。取象法是使得思維活動得以獨立的關鍵步驟。四時象數模型就是最簡單的應用。

上文提到過易經之乾龍六卦，通過對「龍」等具體事物的描述，意在闡釋與之有一定相關的抽象事理，即不是為了說明「龍」等具體事物本身，而是通過對這些具體事物的描述，啟發人們想像，去悟知出一個抽象的事理這種思維方式。可以試著取理解「得意忘象」、「得意忘形」、「得魚忘筌」、「物我兩忘」等這些妙詞的含義，呵呵。

2、類比法

類比法，實則為比類法，《周易》中有「比類取象」的記載，比類離不開取象。即按類別取象後，加以分類，分別歸入金木水火土這五行之中。當然，嚴格意義上來說，金木水火土為具象，是個框，呵呵。這是華夏思維里的歸納方法，通過對萬事萬物的整理，取象，分類，最終琢磨參透出道理來。

3、等分法

古人基於認識上的不足以及現實生活的簡單化，大量使用等分法來區分事物，如陰陽二分，天地人三分，周年四分，季節八分，節氣的24分。在筆者看的三國時期吳國人趙爽記載的《周髀算經》的演算法里，在驗證勾股定理時，也是採用的以等分法為基礎的切分合成法。

等分法對於古人認識事物，形成知識體系，有極大的幫助，可以更加充分的劃分事物，認識事物規律。當然，弊端也不少，容易陷入程式化和思維固化，以及忽略微小但重要的變數，呵呵。

4、建模法

在八卦，太極里，伏羲大量使用了建模法，如觀察到年曆的周期運動現象，畫出圓周來。天地陰陽交互，用十字交叉表示。四時象數模型，正弦分布曲線，渾象等，都是數學建模法。尤其在四分年曆中，甚至使用了省略和近似法，取整數360天建立模型。

5、演算（勾股，積距，重差法）

勾三股四弦五就不用說了，太經典了，然後開方乘積等演算法，甚至地隔千里影差一寸，並利用三個不同地點的日影的重差法來計算日地距離等。

6、涵攝法。

這個其實也容易理解，即把觀天察地總結出來的規律，尤其是陰陽變化，正玄分布，周期運動等規律，統攝於萬事萬物，以一套真理走天下，呵呵。如古人認為陰陽，即代表了事物的普遍規則，凡是有正負，有生克，有互反，大到宇宙，小到微塵，莫不如此。這一點，其實被現代物理學所充分證明了。

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