弦論簡評

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摘　要

超弦理論避免了試圖將引力量子化時產生的紫外發散， 同時它也比傳統量子場論更具預言能力， 比如它曾對粒子相互作用中超對稱概念的提出有所助益。 在粒子相互作用的超對稱統一理論所獲得的成功中有跡象表明， 超對稱在接近當前加速器的能量上就可能對基本粒子產生影響。 若果真如此， 則超對稱將被實驗證實， 並有可能具有宇宙學上的重要性， 與暗物質、 元素合成及宇宙暴脹相關。 磁單極在超弦理論的結構中起著重要作用， 因此如果超弦理論成立， 它們就必須存在， 雖然其密度也許已被宇宙暴脹稀釋到無法觀測的程度。 磁單極的質量在許多令人感興趣的模型中都接近 Planck 質量， 但假如粒子相互作用與引力的統一 - 如最近某些模型所提出的 - 通過大的或彎曲的額外維度 (large or warped extra dimensions) 在接近 TeV 的能量上實現， 那麼磁單極的質量就會小於 100 TeV。 在天體物理背景下這樣的磁單極將是極端相對論性的。 在這類模型中， 超對稱將毫無疑問出現在 TeV 能區。

在弦論的最基本層次上， 基本粒子被視為振動的弦而非點粒子。 一段弦可以有許多諧振模式， 不同的基本粒子就被詮釋為這些不同的諧振模式。

在普通量子場論的 Feynman 圖中， 粒子在相互作用頂點處分裂或複合 [圖一(a)]。 這些是發生在確定時空點上的過程， 所有 Lorentz 觀測者對這些過程都有一致的看法。 相反， 在弦的分裂或複合 [圖一(b)] 中並不存在一個相互作用發生的確定時刻。 如果我們將相互作用的歷史作為一個整體看待， 可以很明顯地看到弦的一分為二， 但是任何一個歷史小片段看起來都是一樣的。 這暗示著弦論中一個最重要的事實： 一旦弦確定了， 它的相互作用也就確定了； 相互作用不必象在量子場論中那樣額外引進。

將一個相對論性弦理論量子化被證明是十分微妙的。 二十世紀七十年代當人們試圖對弦論量子化時， 一些異乎尋常的東西出現了。 其中最戲劇性的或許是閉弦的基態被證明是自旋為 2 的無質量場， 即引力子。 它們的相互作用與長波下的廣義相對論一致， 因此弦論被認為是量子化的廣義相對論。 這正是我們所期望的 - 因為量子力學與引力都是自然界的存在 - 而且是我們用別的方法無法得到的， 因為量子廣義相對論的傳統方法受到紫外發散的困擾。

用弦取代粒子可以消除量子廣義相對論中的紫外發散。 粗略地講， 這是由於用弦取代粒子起到了將 Feynman 圖中的相互作用頂點塗抹開的作用， 就如 [圖一] 所顯示的那樣。

弦論還可以象導出引力那樣導出規範對稱性。 比如開弦的基態恰好就是規範場。

超對稱

除規範理論和引力外， 弦論還可以導出超對稱， 這是一種玻色子與費米子之間的對稱性。 事實上， 二十世紀七十年代出現於弦論 Raymond 模型中的世界面超對稱 (worldsheet supersymmetry) 是超對稱概念歷史發源的一部分。 自然界並不具有嚴格的超對稱， 但它可能具有內在的、 自發破缺的超對稱， 就象粒子物理標準模型中的 SU(2)×U(1) 規範對稱性那樣。 事實上， 有跡象表明超對稱在當前或擬議中的加速器實驗所及的能區中就可能被檢測到。

跡象之一是 「等級問題」 (hierarchy problem)， 它是 Dirac 「大數問題」 的現代版。 Dirac 的問題是： 為什麼兩個質子間的引力比電力弱 10^-38 倍？ 在物理定律中出現如此微小的無量綱常數似乎是需要解釋的。 這一問題的現代版則是： 為什麼 W 與 Z 粒子 (這些規範粒子的質量與其它粒子的質量標度密切相關) 的質量比 Planck 質量小 10^-17 倍？ 超對稱為這一問題提供了一種可能的答案， 因為它消除了影響 Higgs 質量的平方發散。

超對稱的一個更加定量的跡象來自於強、 弱及電磁相互作用耦合常數的測量值。 它們與基本相互作用的大統一理論及超對稱所導出的關係式在 1% 的精度內相符。

如果超對稱 - 比如通過費米實驗室或正在歐洲核子中心建造的新加速器 LHC - 被發現， 人們將從中得到許多有關超對稱粒子質量及相互作用的信息。 現在描述超對稱世界細節的理論模型比比皆是， 其中即使有一個的方向是正確的， 我們也無從知曉。

發現超對稱無疑會給弦論帶來極大的促進， 它將表明由弦論以大致相同的方式導出的三種基本結構 - 引力、 規範理論及超對稱 - 都是對自然描述的組成部分。 現在還很難說弦論從發現和探索超對稱中可能得到的促進會有多大， 因為我們不知道超對稱質量譜會是什麼樣的， 以及從中能得到有關更高能物理學的什麼樣的線索。

超對稱的發現還可能通過多種方式對宇宙學產生影響：

1. 某些超對稱粒子將是暗物質的可能候選者， 計算表明它們有可能恰好具有與觀測相符的質量和丰度。 (不過， 超對稱粒子並不是暗物質的唯一候選者， 而且有些超對稱模型不具有這種候選者。)
2. 如果超對稱存在， 那它必須被納入計算宇宙早期元素合成的理論中去。 事實上， 超對稱理論所包含的帶重子數的標量粒子很可能會起重要作用 [1]。
3. 超對稱標量粒子也許與暴脹有關 (這在 L. Randall 的報告中已經討論過了)， 儘管超對稱及弦論尚未對此給出清晰的圖景。

1984 年， 隨著 Green-Schwarz 反常消除及 Gross、 Harvey、 Martinec 和 Rohm 的雜化弦 (heterotic string) 理論使得構築優美及半現實的粒子物理與量子引力模型成為可能， 弦論變得越來越讓人感興趣。 這裡 「半現實」 指的是可以乾淨利落地得到正確的粒子與規範相互作用， 但卻無法對粒子質量給出合理描述， 因為後者依賴於超對稱破缺， 而我們對此還沒有合適的模型。

一個好的超對稱破缺模型應該會為解決宇宙學常數極小 (或為零？) 的問題帶來曙光， 因為在我們的半現實模型中， 超對稱未破缺時宇宙學常數為零。 因此宇宙學常數極小不僅本身是一個很大的謎 - 不為零的觀測值使之更為尖銳 - 而且缺乏對它的理解還會妨礙我們改進粒子物理模型。

我們現在所知的超對稱破缺模型會導致 quintessence 類型的行為 (它們具有變化的標量場， 沒有穩定的真空態)， 但其參數和耦合卻高度非現實。 總體上講， 帶標量場的 quintessence 看來是有問題的， 因為它們的相干耦合按說應該已經在對等效原理的檢驗中被檢測到了。 有鑒於此， 帶贗標量場 [即具有 V(a)=Λ⁴(1-cos(a/F)) 型相互作用勢的軸子型 (axion-like) 場， 其中 Λ 和 F 為常數] 的 quintessence 也許更具吸引力， 因為這類模型沒有相干耦合 (或者 - 考慮到宇稱並不嚴格守恆 - 相干耦合被高度抑制)。 目前還只有少數文章討論以贗標量場為基礎的 quintessence 型模型 [2][3]。

五種超弦理論

1984 年， 人們依據弦的普遍性質的差異區分出了五種不同的超弦理論：

1. IIA 與 IIB 型理論中的弦是閉合、 有向， 並且是絕緣的。
2. I 型理論中的弦是絕緣的， 可以是開弦也可以是閉弦； 開 I 型弦的端點帶有電荷。 (這類理論與強相互作用理論有一定的類比性， 其中開弦和閉弦分別對應於介子和膠球； 這種類比性在弦論的發現中起過作用， 並且仍在啟發著新的研究方向。)
3. 最後， 雜化 SO(32) 和 E₈×E₈ 弦是閉合、 有向， 並且是超導電性的。

五種超弦理論， 每一種都包含引力， 顯然多了四種。 但這比弦論之前的物理學還是強多了， 那時我們有無窮多種可能的量子場論， 其中卻沒有一種包含引力。

超弦理論與以前的物理學還有一個本質的差別。 在量子場論中通常有一些無量綱的可調參數， 比如精細結構常數 e²/4πhc ~ 1/137， 或者電子與 μ 子的質量比 m_e/m_μ ~ 1/200。 這些可調參數大都出現在如 [圖一] 所示的相互作用頂點中， 它們在過渡到超弦理論時會消失。 在超弦理論中不存在無量綱的可調參數， 取而代之的是標量場 φ_i， 它們的期待值確定了 e²/4πhc、 m_e/m_μ 等。

這表明原則上 e²/4πhc、 m_e/m_μ， 以及其它參數也許可以從作為 φ_i 函數的能量的極小值中計算出。 不過在實際上， 為了做到這一點我們必須理解超對稱破缺及宇宙學常數， 因為如果超對稱不破缺， V(φ) 將恆等於零。 這是發現超對稱從而有機會對超對稱破缺進行實驗研究有益於超弦理論的又一個原因。

強耦合

要想回答超弦理論中的任何重大問題， 都會遇到一個困難， 那就是我們其實並不真正理解超弦理論到底是什麼？ 與其它理論 - 比如廣義相對論 - 不同的是， 廣義相對論是先有整體構思， 而超弦理論在二十世紀七十年代早期的出現通過的卻是一系列修修補補的過程， 沒有人知道整體圖象。 一開始， 人們只能看到雲層之上一片小小的山巔。 三十年後的今天， 我們已經撥開雲霧見到了一些底層的結構， 但許多東西依然朦朦朧朧。

二十世紀九十年代的一個重大進展是發現如何將諸如 e²/4πhc=e^φ 那樣的參數外推到大數值上， 前提是超對稱破缺可以忽略。 我們以前可以計算 e²/4πhc << 1 的情形， 現在可以對 e²/4πhc >> 1 的情形也有所了解了。

進行這種計算的基本技巧是研究磁單極及其它非微擾激發態。 當 e²/4πhc 很小時， 磁單極遠比其它粒子重， 這使得它們不如其它粒子重要。 但是當 e²/4πhc 很大時， 磁單極就會變得很輕， 我們有可能用磁單極來描述理論。

我將以過度簡化為代價來對此作一個定性地解釋。 按照 Dirac， 磁單極所帶的磁荷為 g=2πhc/e。 這表明當 e 很小時 g 遠比 e 大， 而當 e 很大時 g 遠比 e 小。 假如我們認為電子和磁單極的質量是電磁起源的話， 就可以預期在 e→∞ 時磁單極是輕粒子。

因此在 e²/4πhc→∞ 時我們需要一種以磁單極而非電子為基礎的描述， 這種描述不是別的， 恰好就是另一種超弦理論， 或是原先理論的變種。 沿著這種思路人們最終明白了超弦理論其實只有一種， 以前以為不同的五種超弦理論只是一個更加完備的理論的不同極限， 這一理論有時被稱為 M 理論。 M 理論是超統一的候選者， 儘管我們對它的了解還很少。

磁單極

磁單極在上述圖景的發展中起著重要的作用， 因此假如超弦理論是正確的， 它們就應該存在。 但它們到底在哪裡呢？ 宇宙暴脹也許已經使磁單極的密度小到了難以觀測的程度。 但這在二十多年前磁單極剛剛被提出時就是一種可能性， 如果到今天居然還只是一種可能性， 不免令人汗顏， 因此讓我們期望有一定數量的磁單極倖存了下來。

磁單極的質量有多大呢？ 以大統一類型的理論為基礎的標準描述給出的質量在大統一能標以上， 比如 10¹⁷-10²⁰ GeV (上限為帶磁荷的 Reissner-Nordstrom 黑洞的質量， 最輕的磁單極不太可能比這更重)。

這麼重的磁單極將不受有關磁單極通量的 Parker 上限 (Parker bound) 的影響， 因為這種磁單極所受的星系引力場作用遠大於磁場作用。 據我所知， 若不是 MACRO 及其它實驗排除了這種磁單極 - 哪怕是其中具有最大可能質量的那種 - 成為星系暈 (galactic halo) 主導成分的可能性， 它們是有可能成為暗物質候選者的。

除了大統一類型的理論外， 我們還應該考慮一些通過大的或彎曲的額外維度， 在低能下統一引力的模型 [5][6]。 假如這樣的統一發生在 TeV 能量上， 那麼磁單極的預期質量也許會在 10-100 TeV 左右。 這麼輕的磁單極會被星系磁場加速到極端相對論性， 因此對它們的實驗檢測將完全不同於大統一標度上的磁單極 (最近的評估可參閱 [7])。 而且這種磁單極有可能沒有被宇宙暴脹所稀釋。 不過我們很難對最後這點做細緻的描述， 因為目前有關低能統一的想法還只是構想而非具體模型。

有關超弦理論中的磁單極的另一個有趣的特點是在許多模型中 [8]， 最小磁荷並不是 Dirac 量子 2πhc/e， 而要比它大 n 倍， 其中 n 是與模型有關的整數。 相對應的， 這些模型中存在電荷為 e/n 的非禁閉有質量粒子。 這些粒子的質量在大統一類型的理論中處在大統一能標上， 而在低能統一模型中則在 TeV 能標上。 宇宙線中電荷大於等於 e/5 並且 β>1/4 的粒子通量已經受到 MACRO 的明顯限制 [9]。

具有諷刺意味的是， 儘管人們有時認為在 TeV 能量上統一引力使得該能量上的超對稱不再有必要， 但假如超弦理論是正確的話， 它們反而會使 TeV 能量上的超對稱變得不可避免。 為了說明這一點， 讓我們來做一個簡單的理想實驗 (其實在前面考慮磁單極時就可以做)。 假如加速器實驗果真發現了 TeV 能量上與量子引力的統一以及高維有效 Planck 標度為 TeV 量級， 那麼， 如果量子引力要求在 Planck 能標上具有超對稱 (超弦理論看來正是如此)， 則我們就應該預期在 TeV 甚至更低的能量上發現超對稱！

最近 Giddings 和 DeWolfe 的一篇文章對上面最後一點做了精彩的論述 [10] (也可以參閱 [11] 中的相關討論)。 他們考慮了一種帶有彎曲額外維度的情形， 對大多數狀態來說理論的十維 Planck 質量處在或高於普通的大統一能標， 而且超對稱在該能量上破缺。 但是由於度規的彎曲， 部分粒子態可以向下延伸到 TeV 或更低的能量。 在這一模型中， TeV 能標上的粒子包括一些引力子的激發態， 通過在 TeV 上包括這一低能粒子區 (該區域應該包含了我們熟悉的普通粒子) 的實驗， 人們可以觀測到基本粒子與引力的統一。 毫無疑問， 正如我們的簡單分析所預示的， Giddings 和 DeWolfe 發現儘管大統一標度上的粒子具有大統一標度上的超對稱質量分裂， TeV 能量上的粒子卻具有 TeV 能量上的超對稱質量分裂。 因此， 能夠發現基本粒子與引力統一的實驗也將能夠發現超對稱。

因此簡而言之， 低能磁單極與低能超對稱破缺應該是低能引力統一模型的普遍結果。

除此之外還有哪些地方可以看到超弦理論的效應？ 如果我們可以通過 (由標量場真空期待值的變化所導致的) 自然常數的變化， 或等效原理的偏離， 或 Newton 引力定律在小尺度上的偏離， 檢測到超弦理論中為數眾多的標量場， 那將是不錯的結果。 不過就自然常數的變化而言， 我個人對此比較悲觀， 因為我覺得足以導致可檢測的自然常數變化的標量場變化應當已經在對等效原理的檢驗中被發現了。 但我還是抱著一線希望。

在其它種種想像得到的可能性中， 我只提其中一種， 那就是 「弦論」 這一名稱本身就暗示著如果理論是正確的， 弦有可能存在於天空中 (當然， 宇宙弦 - 尤其是重的宇宙弦 - 也可能已被宇宙暴脹極大地稀釋了)。 人們可以想像弦在天空中的伸展， 還有其它帶有大統一尺度張力的客體， 它們也許會出現在宇宙微波背景圖象中。 不僅如此， 其它較輕的， 也許一直向下延伸到 TeV 能標上 (對應的張力約為 10^-4 gm/cm) 的客體也同樣有可能被觀測到。 這些較輕的客體也許可以從， 比方說， 某種我們還不知道的規範群的額外 U(1) 因子的破缺中被產生出來。 它們將無法通過引力效應被觀測到， 但如果它們在銀河系 (或太陽系？[12]) 中大量存在的話， 也許可以通過其它方法檢測到。 在那種情形下， 如果它們是超導電性的 (這對於從額外 U(1) 破缺中產生出的弦來說並不罕見 [13])， 也許可以通過它們對磁場的擾動以及它們與磁場相互作用時產生出的反物質雲而被檢測到。

參考文獻

1. I. Affleck and M. Dine, "A New Mechanism For Baryogenesis," Nucl. Phys. B256 (1985) 557; M. Dine, L. Randall, and S. Thomas, "Baryogenesis From Flat Directions Of The Supersymmetric Standard Model," Nucl. Phys. B458 (1995) 291, hep-ph/9507453.
2. S. Carroll, "Quintessence And The Rest Of The World," Phys.Rev.Lett. 81 (1998) 3067 astro-ph/9806099.
3. K. Choi, "Quintessence, Flat Potential, And String/$M$ Theory Axion," hep-ph/9912218.
4. M. Ambrosio et. al., "Final Results Of Magnetic Monopole Searches With the MACRO Experiment," Eur. Phys. J. C25 (2002) 511, hep-ex/0207020.
5. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, and G. R. Dvali, "The Hierarchy Problem And New Dimensions At A Millimeter," Phys. Lett. B429 (1998) 263, hep-ph/9803315.
6. L. Randall and R. Sundrum, "A Large Mass Hierarchy From A Small Extra Dimension," Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 3370, hep-ph/9905221.
7. S. D. Wick, T. W. Kephart, T. J. Weiler, and P. L. Biermann, "Signatures For A Cosmic Flux Of Magnetic Monopoles," astro-ph/0001233.
8. X.-G. Wen and E. Witten, "Electric And Magnetic Charges In Superstring Models," Nucl. Phys. B261 (1985) 651.
9. M. Ambrosio et. al., "A Search For Lightly Ionizing Particles With The MACRO Detector," hep-ex/0002029.
10. S. Giddings and O. DeWolfe, "Scales And Hierarchies In Warped Compactifications And Brane Worlds," hep-th/0208123.
11. M. A. Luty, "Weak Scale Supersymmetry Without Weak Scale Supergravity," hep-th/0205077.
12. A. Vilenkin, "String-Dominated Universe," Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 1016.
13. E. Witten, "Superconducting Strings," Nucl. Phys. B249 (1985) 557.

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