代數幾何和代數拓撲和偏微分方程有什麼聯繫？

07-02

大三學生，學的比較少，對於目前數學工作者的工作不太了解，想知道這些領域有哪些具體的聯繫和關係？

有一個叫幾何分析的分支，主要是將微分幾何的問題轉化為一個PDE的問題，然後用PDE的工具解決。然後微分幾何跟代數幾何關心的問題有很多交集，這就給出了代數幾何與PDE之間的關係。然後至少在代數幾何這塊有不少強迫症患者都希望對所有用微分幾何方法得到的結果用代數幾何的方法證一遍，所以發展了不少代數工具用來模擬微分幾何中的一些套路。至於這些套路能不能反過來作用於PDE的研究我完全不了解，不過樓上的代數分析應該是給出了肯定的答案。

最後，代數拓撲確實是基礎，一個原因是（至少對我來說）同調代數最好的入門就是從代數拓撲開始，因為有活生生的例子解釋了那一大堆algebraic nonsense到底在幹嘛。而同調代數是學代數幾何怎麼也繞不過的，從最開始的sheaf cohomology到一些分支比如derived category，hodge module之類的都是要用的。然後第二個原因就是幾乎任何幾何的方向都是要從拓撲開始的，所以正如問題評論中所說，代數拓撲是基礎。

題主可以去了解一下D模理論或「代數分析」 (algebraic analysis)，是用層論和同調代數來研究PDE，由Mikio Sato、Masaki Kashiwara等人創立。

另外有個有意思的MO鏈接：http://mathoverflow.net/questions/66046/which-nonlinear-pdes-are-of-interest-to-algebraic-geometers-and-why