流變學講義 I.緒論

來自專欄物理討論組

I.1 流變學的研究範圍

流變學是研究物質的形變與流動的科學。

Rheology is the study of the flow and deformation of matter.

以上是最常見到的一種定義，也是本章乃至本講義的討論起點。我建議，不管是在學習後面的章節的過程中、在學完整個流變學之後、還是在今後的繼續學習和研究工作當中，都要不斷去重新思考學科定義問題，刷新自己的對自己所從事的相關學科的理解。

這個描述當然是太泛的。例如，「物質」一詞包括的範疇太廣；電磁場也是物質。「形變和流動」範圍也太廣，從一般角度去考慮這種現象的學科早有流體力學、空氣動力學等。因此也常常會讓剛聽說這個學科的人誤解：什麼流變學？就是流體力學嗎？因此在本章中我們要為流變學進行更窄的界定：

1. 流變學不是研究所有流動，而是專門研究低雷諾數/粘性流（viscous flow）/層流。
2. 流變學不是研究所有物質，而是專門研究複雜流體（complex fluids）。
3. 流變學不僅研究物質的形變與流動，還要關心其原因。

I.2 複雜流體

雷諾數的概念，讀者應該已經了解。本節專門介紹流變學研究的物質——複雜流體的概念。下一節則會解釋流變學「還要關心原因」是什麼意思。這三節就完成了關於「流變學的研究範圍」的討論。

複雜流體是既表現粘性流體行為又表現彈性固體行為的一類流體。複雜流體主要有兩大類複雜性：粘彈性（viscoelasticity）和非線性（nonlinearity）。

1. 粘彈性——時間依賴性

粘彈性是指流體的時間尺度依賴性，或稱記憶性。有趣的是，這種依賴性或記憶性，是靠彈性和粘性的混合實現的，所以才又叫做「粘彈性」。「彈性」和「粘性」雖有其自己的定義（將在相關章節詳述），但在這裡，彈性是對形變歷史的完全記憶，所以能完全回復；而粘性是對形變歷史的零記憶，所以是完全耗散的。「時間尺度依賴性」是比「粘彈性」更本質的描述，因為前者在微觀分子動力學層面仍然適用的。

例如圖1-1所示，一團橡皮泥，將它揉成球狀往地上一摔，它能像皮球一樣彈上來，大致仍保持球狀。這說明它發生接近彈性的碰撞，形變接近完全回復，這是接近彈性的行為。這一碰撞的受力時間大約小於0.1 s。但是，如果我們把它放在桌子上，時間長了，由於重力，它會像液體一樣攤成一片。或者充滿所處容品的形狀。這是流體的行為。這一受力的時間大約在1 hr。

所以，這一材料的行為是接近固體還是流體，取決於觀測時間的長短。這就是所謂的時間尺度依賴性。對於橡皮泥來說，1 hr時間是足夠長到其表現為流體了。但對其他材料，1 hr還遠遠不夠。例如，著名的瀝青滴落實驗，從1930年到2014年一共滴落了9滴。

Pitch Drop experiment

這說明，材料自己有個特徵的時間尺度或者「記性」，記為 。所謂「材料的行為是接近固體還是流體，取決於觀察（測量）時間的長短」，是要跟材料自己的時間尺度相比。如果觀測時間記為表徵材料物理量變化的時間間隔 ，則可定義一個無量綱數來表徵材料表現為固體還是流體：

(1.1)

上式定義的無量綱數De叫Deborah數。 時樣品表現為粘性流體； 時樣品表現為彈性固體。Deborah數是M. Reiner提出和命名的（The Deborah Number）。Deborah是聖經里的先知，有詩云「群山在上帝面前流動」。Reiner解釋，上帝是永生的，因此在他的觀察時間尺度（ ）內，任何物質的特徵時間或「記性」都是有限的，所以世間萬物包括群山在上帝眼中都是流體（）。

2. 非線性（nonlinearity）——強度依賴性

非線性描述的是材料表現為固體還是流體對外界作用強度的依賴性。例如圖1-2，一種屈服應力流體裝在a圖中的漏斗中，靠自身重力，在十分長的時間內不發生流動。即使壓上1000 g的砝碼，在十分長的時間內仍不發生流動（b圖）。但壓上4500 g的砝碼後，就突然獲得了流動性，從漏鬥口流出來（c圖）。撤去砝碼後，流動性立刻消失（未在圖2顯示）。

上述這種屈服應力流體，它表現為流體還是固體（在一定的觀察時間內）對觀察時間的依賴性不明顯，但明顯依賴於外力大小。外力小的時候表現為固體，外力大的時候表現為流體。同粘彈性的討論類似，4500 g也不是對任何材料都足夠大到使其流動。所以材料自身有一個特徵極限應力，叫屈服應力（yield stress）。但是，人們沒有定義相應的無量綱數來表示這種依賴性，原因之一是因為有完全相反的情況，即外力小的時候是流體、外力大的時候是固體的情況；原因之二是這種都是極端的行為——極端的剪切變稀或剪切增稠，更一般的增稠或變稀是材料對外力大小的一種比較圓滑的依賴性，且有各種不同的函數形式，不是單單一個參數所能描述的。而且增稠和變稀可能發生在同一材料。也舉點例子吧。仍然可以將真實材料和彈性固體與粘性液體比較來簡單理解。例如，虎克彈性體的應力與應變成正比，但是天然橡膠的拉伸會先後表現為應變軟化和應變硬化；牛頓流體的應力與應變速率成正比，但高分子流體和粒子懸浮液會表現剪切變稀或剪切增稠（如圖1-3）。（在這個解釋里，「線性」的意義僅為「線性函數」。而事實上，在流變學中「線性」指的是「線性系統」，這就只能在後面的相關章節詳述了。）（應力、應變、粘度、屈服應力、剪切變稀、剪切增稠等概念，在《高分子物理》里已經介紹過了。）（本講義不特別處理中、英術語問題，隨時出現無中文的英文或無英文的中文。）

3. 關於線性粘彈性與非線性粘彈性

在粘彈性那段里，我們順利地引入了一個無量綱數：De數。但是在非線性那段里，這件事情進行得不太順利。為此，需要先作以下這一段的解釋。

真實複雜流體總是同時表現粘彈性和非線性這兩方面複雜性的，所以「非線性粘彈性」就是一般真實流體的性質。但是我們既然作了這樣的區分，就是希望能夠分開獨立地研究複雜流體的這兩種性質。在此要指出的是，粘彈性是可以獨立於非線性被研究的。我們可以用非常小的激勵使系統的響應性質趨近於線性系統（即線性粘彈性，會在相關章節詳述），從而達到只研究粘彈性的目的。但是，非線性是很少可以獨立於粘彈性研究的。粘彈性沒有單一的反面，或者說其反面是一個bipolarity：「完全非彈」或「完全非粘」（即De數的兩個極限）。實際中，很多非粘或非彈材料也沒有非線性，即完全不屬於複雜流體。只有一些特定類別的材料，既恰好在人類方便的觀測條件下屬於De數的極限範圍，又有明顯的非線性。例如，橡膠彈性理論的研究中常常面臨的就是接近純彈性（）的非線性，因為大部分理想彈性體材料的損耗是很小的，但又有很明顯的應變硬化。儘管如此，工業應用的彈性體往往添加了填料，這會引入了較大的損耗。而且彈性體的工業應用中充滿的是對粘彈性的關注而非忽略，例如輪胎的生熱、密封圈的蠕變等。對於更多的複雜流體，我們甚至難以在其非粘或非彈極限測量其非線性。總之，在有意義的觀測時間範圍內，複雜流體的非線性總是伴隨著粘彈性一起表現的。當我們想研究一種複雜流體的粘彈性時，我們可以也應該在線性範圍內研究，從而可以獨立於非線性來研究；而當我們想研究它的非線性的時候，由於其總是要與粘彈性一起體現，我們也不得不先去研究線性粘彈性，獨立的了解材料的粘彈性部分，然後再從得到的非線性粘彈性中扣除掉粘彈性部分（或至少形成某種比較），才能獲得對材料非線性的獨立的認識。簡單地說就是不能不先研究材料的粘彈性就去研究材料的非線性。

通過這一段闡述，我們終於可以為複雜流體的第二種複雜性也定義一個無量綱數了，那就是Weissenberg數（式(1.2)）。它的定義是含有De數的，即僅僅是在De數前再乘上一個應變，以表示在時間依賴（粘彈性）基礎上增加對外界作用強弱的依賴性（非線性）。所以它是一個非線性x粘彈性的無量綱數，它的定義和大量應用，體現了上一段中所解釋的「非線性總是要伴隨著粘彈性表現」這一思想觀點，即我們只能為非線性定義一個即有非線性又有粘彈性內蘊的無量綱數。

由於粘彈性本身概念中的bipolarity，「非線性」概念是既包括對應變的依賴的意義，也包括對應變速率依賴的意義的（例如在圖2中是分別與虎克彈性和牛頓粘性比較，得出應變硬/軟化和剪切增稠/變稀兩種非線性）。Weissenber數的定義，通過結合Deborah數，又恰好能同時描述應變和應變速率依賴性。可見Wi數是很體現非線性粘彈性概念本質的一個無量綱數，它與De數同樣「美」，而不是僅為De數的附庸。總之見下式：

(1.2)

4. Pipkin圖

通過上述討論，複雜流體的兩大性質——粘彈性和非線性——都有了相應的無量綱數了。因此我們就可以建立一個以這兩個無量綱數為坐標的二維地圖來「定位」某個具體的複雜流體的性質（圖1-4）。這個圖叫Pipkin diagram，因首次出現在Pipkin的講義Lectures on Viscoelasticity Theory中而被命名。

（未完待續）