【每日一題】求過兩點的直線的斜率

已知拋物線C：x2=2py(p＞0)的焦點為F，A，B是拋物線C上異於坐標原點0的不同兩點，拋物線C在點A，B處的切線分別為l1，l2，且l1⊥l2，l1與l2相交於點D。(Ⅰ)求點D的縱坐標；(Ⅱ)證明：A，B，F三點共線；(Ⅲ)假設點D的坐標為（，-1），問是否存在經過A，B兩點且與l1，l2都相切的圓，若存在，求出該圓的方程；若不存在，清說明理由。重要的事說三遍：做完題再看答案做完題再看答案做完題再看答案

答案(Ⅰ)解：設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，l1，l2分別是拋物線C在點A，B處的切線，∴直線l1的斜率為

，直線l2的斜率為

，∵

，∴

，得

， ①∵A，B是拋物線C上的點，∴

，∴直線l1的方程為

，直線l2的方程為

，由

，解得：

，∴點D的縱坐標為

。(Ⅱ)證法一：∵F為拋物線C的焦點，∴

，∴直線AF的斜率為

，直線BF的斜率為

，∵

，∴

，∴A，B，F三點共線。證法二：證法∵F為拋物線C的焦點，∴

，∴

，

，∵

，∴

，∴A，B，F三點共線。(Ⅲ)解：證明如下：假設存在符合題意的圓，設該圓的圓心為M，依題意，得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，由l1⊥l2，得AD⊥BD，∴四邊形MADB是正方形，∴|AD|=|BD|，∵點D的坐標為（，-1），∴

，即p=2，把點

代入直線l1，得

，解得：

或

，∴點A的坐標為（4，4）或

，同理可求得點B的坐標為（4，4）或

，由於A，B是拋物線C上的不同兩點，不妨令

，∴

，

，∴|AD|≠|BD|，這與|AD|= |BD|矛盾，∴經過A，B兩點且與l1，l2都相切的圓不存在。

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