何小亞：數學核心素養指標之反思

編者按　　學科核心素養的提法從誕生之日起就引發了廣泛而持久的討論，見仁見智，飽受爭議，至今遠未平息。今天推送全國著名數學教育專家華南師範大學何小亞教授的近作，該文觀點可謂振聾發聵，在天涯論壇等國內知名論壇上引發了熱烈的討論。其見解之新銳，思想之深邃，邏輯之嚴謹，視野之寬宏均令情懷君驚嘆不已！您馬上會體驗和品味到一場別樣的頭腦風暴和精神盛宴！平凡的周末由此變得激動人心……

　　數學課程改革是一項比經濟改革更複雜的系統工程，它關係著中國數學教育未來的成敗，需要決策者、專業研究者和廣大一線教師等各方人士通力合作，出謀劃策，明辨是非，達成共識，不能成為少數人「拍腦袋」的產品，否則會禍害無窮。　　摘要：對六條數學核心素養的內容進行反思，給出反思結論，提出三個反思問題和四個反思方向，最後給出修訂的數學核心素養框架。　　關鍵詞：數學核心素養；反思；數學化；數學推理；數學思想　　高中課程標準修訂組，按照內涵、價值和表現的框架，給出的高中數學核心素養是：數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想像、數據分析。[1]（以下簡稱「六核」）。下面，首先對「六核」的具體內容（斜體文字部分）逐條進行分析反思，然後提出三個反思問題，最後給出四個反思方向和數學核心素養框架。　　1　　對「六核」的逐條反思　　1.1 數學抽象　　數學抽象是指捨去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。主要包括：從數量與數量關係、圖形與圖形關係中抽象出數學概念及概念之間的關係，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，並且用數學符號或者數學術語予以表徵。　　數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特徵，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。……　　反思1：只捨去「物理屬性」，不捨去「社會屬性」「形式屬性」？應該是「具體屬性」.　　反思2：「表徵」應改為「表示」，如此更通俗易懂，也更準確。表徵（representation）是教育心理學的術語，是認知者在腦中重新表示反映——再表示的意思。　　反思3：數量與數量關係、圖形與圖形關係已經屬於純數學世界的內容，由兩者抽象出數學概念及關係就是Freudenthal所說的垂直數學化，即數學世界內部由低級向高級的發展。「從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構」指的是從真實世界得出數學原理結構，是由真實世界到數學世界的水平數學化之一，但卻少了另一種更基礎的水平數學化：由真實世界抽象出數量、圖形、概念等數學模式。例如：實際問題→莖葉圖；力→向量；力的分解合成→向量的分解合成。　　反思4：抽象是數學的特點之一，但不是數學所特有的。邏輯學、哲學、文學、藝術中的「抽象」俯拾皆是。浙江大學120周年校慶通告你讀懂了多少？「庠序」「緝熙」「黽勉」不抽象嗎？畢加索的畫不抽象嗎？　　概括性才是數學更本質的特點。抽象是過程手段，是概括的基礎，而概括才是最終的目的.理解數學概念、原理的本質不是理解抽象性，而是理解數學概念、原理的概括性或者說「通殺性」！　　反思5：「數學抽象」是一種提煉抽取數學對象的手段，把它作為一種數學思想恰當嗎？請問國際上有哪一本專著、論文把數學抽象作為數學思想之一？從定義所闡述的內容看，「數學抽象」實際上就是數學家、數學教育家Freudenthal早已提出的「數學化」的部分內容。　　數學化（mathematization）是整理現實性的過程，它包括數學家的全部組織活動，比如公理化（axiomatization）、形式化（formalization）、圖式化（schematization）、建模（modeling），以及數學內部由低級向高級的推動過程[2]p42-50.這裡的「現實性（reality）」是指真實世界（real-world）和數學世界(math-word)的總和，不能望文生義地理解為真實世界、現實世界.　　公理化（axiomatization）是指從少數不加定義的原始概念和不加證明的公理出發，運用邏輯推理規則把一門學科建立成為演繹系統的過程.　　形式化（formalization）是指「用日益有效的符號對語言的整理、修正和轉化的過程.」 而關於圖式化，Freudenthal在介紹完公理化、形式化後，是這樣形容的：「人們早已習慣於把經歷和行為示範性地推廣，從中抽象出定律和規則.形成與現實的體系相吻合的圖式.最後一步就是圖式化，它和公理化、形式化相對應，尤其是當考慮的是內容而不是抽象的形式或語言的時候.」 [2] P43.因此，可以認為，圖式化就是形式內容的內化過程，其結果是一種心理意義，即心理結構.　　建模（modeling）是數學化的一個方面，在Freudenthal的術語觀中，模型是不可缺少的一種中介，建模就是用模型把複雜的現實或理論來理想化或簡單化，從而更易於進行形式的數學處理[3] P47.　　數學化被分成兩種：一是水平數學化(horizontal mathematization)，即從生活世界中抽象概括出數學概念、數學原理等數學模式的過程，是從「生活世界」到「數學世界」的轉化過程.二是垂直數學化(vertical mathematization):即從現有的數學世界中抽象概括出更高級的數學模式的過程，是從低層數學到高層數學的過程.　　國內外同行早已認同了Freudenthal的觀點：學數學就是學習數學化，教數學就是教數學化。數學化的學習就是學習數學化的過程，即學習如何進行公理化、形式化、圖式化、模型化，以及學習在數學內部由低級向高級的發展過程.　　結論：基於尊重知識產權以及與國際接軌的要求，「數學化」應作為數學核心素養之一，而不是「數學抽象」。　　1.2 邏輯推理　　邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。 ……　　反思1： 邏輯推理是演繹推理的另一種說法，怎麼能把從特殊到一般的合情推理當成演繹推理呢？歸納有兩種，一是完全歸納，屬於演繹推理；二是不完全歸納，屬於合情推理。為什麼把數學創造中最重要的直覺、想像這兩大合情推理的形式丟掉了，邏輯依據是什麼？　　反思2：為什麼不和九年義務教育階段數學課程標準對「推理」的劃分標準統一？為什麼要另立標準？George Polya已經為我們清清楚楚界定區分了演繹推理(deductive reasoning)、合情推理(plausible reasoning)，為什麼不與國際接軌，反而錯誤地界定邏輯推理？　　邏輯推理不是數學所特有的。不用說邏輯學和哲學，就說文學，中文系的學生誰不知道形式邏輯的基本規律，數學系有幾個學生知道呢？在舊課程之下，中國學生為什麼創造性不行，根本原因是我們的課程、教學重視演繹推理忽視合情推理。「數學創新能力的培養靠的不是邏輯推理，而是合情推理，邏輯推理則只是真理在手後的論證．」[3]　　結論：數學推理才是數學的核心素養之一。　　何小亞（2015）：數學推理是指，由一個或幾個已知判斷得出一個新的數學判斷的思維形式。它包括：①演繹推理；②合情推理：從已有的事實出發，憑藉經驗和直覺，通過不完全歸納、類比和想像等方式來推斷某些結果的推理。[4]　　1.3 數學建模　　數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果並改進模型，最終解決實際問題。……　　反思1：什麼是數學模型？這是我國數學課程大綱中一個長期沒有明確的概念，為什麼至今不予以明確？　　反思2：從「數學抽象」與」數學建模」的定義看出，這兩個核心素養的內容明顯重複了，不滿足分類的子項必須互斥的邏輯要求。　　結論1：數學模型就是用數學語言符號來描述客觀事物的特徵及其內在聯繫的一種結構模式。數學建模(Mathematical Modelling)：就是運用形式化和理想化的手段從實際問題中抽象概括出一個數學模型，求出模型的解，檢驗模型的合理性，從而使這一實際問題得以解決的過程。　　結論2：數學建模是數學化的一種，應該歸入「數學化」中，不要把數學建模當作高中數學區別於小學和初中數學的內容，數學建模這一數學化的手段，要從小學和初中抓起。　　1.4 直觀想像　　直觀想像是指藉助幾何直觀和空間想像感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：藉助空間認識事物的位置關係、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯繫；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。　　直觀想像是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。　　在直觀想像核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展幾何直觀和空間想像能力，增強運用圖形和空間想像思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養創新思維。　　反思1：高中對空間觀念的要求比初中的要求更高，為什麼反而不提空間觀念了？為什麼不與2011年修訂的義務教育數學課程標準接軌？　　（空間觀念主要是指：根據物體特徵抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想像出所描述的實際物體；想像出物體的方位和相互之間的位置關係；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。[5]）　　反思2：把「想像」去掉，這一指標的內容實際上就是「數形結合」，為什麼不把問題解決中更普遍、更重要的「化歸」（數形結合只是實現化歸的一種手段）作為數學的核心素養？請問這是不是「撿了芝麻丟了西瓜」？？　　結論：僅僅把數學思想的內容之一「數形結合」作為核心素養是不夠的。　　1.5 數學運算　　數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運演算法則解決數學問題的過程。主要包括：理解運算對象，掌握運演算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。　　數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段。數學運算是計算機解決問題的基礎。　　在數學運算核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展數學運算能力；能有效藉助運算方法解決實際問題；能夠通過運算促進數學思維發展，養成程序化思考問題的習慣；形成一絲不苟、嚴謹求實的科學精神。　　反思1：從定義和三種水平劃分的內容看，數學運算的內容變成了提出問題和解決問題，數學運算顯然不是提出問題和解決數學問題，它只是解決問題的一種手段、工具。問題可分成3類:實際問題、純數學問題、應用題。數學運算問題屬於純數學問題中的一種。　　反思2：把數學運算作為演繹推理的形式之一的必要性和科學性何在？為什麼如此隨意地將數學運算當成了演繹推理的重要形式？按照這種邏輯，為什麼不可以把運算當成是數學建模、數據分析的重要形式，沒有運算，數學建模、數據分析能進行嗎？　　結論：數學運算當然是高中數學核心素養之一，其內容解釋可以和義務教育課程標準不同，但定義不要亂來，要前後銜接統一，沒必要標新立異。　　1.6 數據分析　　數據分析是指針對研究對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論。　　數據分析是大數據時代數學應用的主要方法，已經深入到現代社會生活和科學研究的各個方面。　　在數據分析核心素養的形成過程中，學生能夠提升數據處理的能力，增強基於數據表達現實問題的意識，養成通過數據思考問題的習慣，積累依託數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗。　　反思1：「數據分析是……，形成知識的過程。」「結論」與「知識」是不同的，怎麼把「結論」與「知識」混為一談？應該把「知識」改為「結論」。　　反思2：「數據分析」內涵說的是形成知識的過程，而水平劃分的內容則講的是發現問題、提出問題，前後為什麼不一致，如此隨意下定義？　　反思3：「數據分析」為什麼不與初中的接軌，為什麼此處不談隨機思想、概率的內容？為什麼內涵描述與內容不相稱？　　結論：高中的「數據分析」應該與義務教育課程標準銜接，更要加強統計思想、隨機思想的教育。　　2　　反思問題ABC　　A. 國家的學生核心素養框架[7]已經明確：核心素養是知識、能力和態度等的綜合表現 ，為什麼不提數學情感態度價值觀？為什麼不選擇「四基」中的第三基——「數學思想」作為數學的核心素養？　　何小亞（2015）按照選擇數學素養構成要素的五個標準（反映數學的學科特色；在數學較多領域中共有；可以培養；容易分學段闡述；可以測量），確定數學素養的構成要素為：　　數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態度價值觀.[4]　　張奠宙（2015）：數學核心素養包括「真、善、美」三個維度：　　(1)理解理性數學文明的文化價值，體會數學真理的嚴謹性、精確性；　　(2)具備用數學思想方法分析和解決實際問題的基本能力；　　(3)能夠欣賞數學智慧之美，喜歡數學，熱愛數學。[6]　　Ｂ.對於每一條核心素養，徵求意見稿用數學情境、現實情境或數學情境、科學情境這三個要素來依次區分高中畢業水平、高考水平和拓展水平，其邏輯依據、合理性、科學性何在？　　為什麼更基礎的高中畢業沒有現實情境，而高考水平卻有現實情境，短短的兩個小時的數學高考能考察多少數學現實情境的內容？　　難道在量一量，算一算一些圓形物體的周長和直徑的現實情境中概括出圓周率不是一個初中生應該具備的素養嗎？　　難道在擲骰子的現實情境中提煉出古典概型不是一個高中生應該具備的數學素養嗎？？　　Ｃ.「畢業水平」「高考水平」「拓展水平」的水平劃分導向很不好，實際上強化了高考水平，是應試教育的公開化！這是教育部的國家意志？　　世界上沒有一個國家的課程標準以高考水平來劃分的，高考是由考試機構，招生學校來制定的。這一導向與國家的素質教育方向以及「考教必須分離」的改革方向背道而馳！　　3　　反思的方向及數學核心素養框架　　教育改革比經濟改革更複雜，不能操之過急，應該循序漸進，看明白多少就說多少，不要把尚未研究清楚的東西和根本無法落實的內容寫進課程標準里。課程標準修訂更需要各方人士積极參与，希望各位讀者奉獻您的聰明才智，解決以下關於數學核心素養的反思性問題。　　（1）目的性反思　　為什麼要確定數學核心素養？到底想要解決什麼問題？它解決了「雙基」「三能」「四能」「三基」「四基」都沒有解決的什麼問題？它體現了「中國學生髮展核心素養」框架[6]的要求嗎？是如何體現的？其教育、課程、教學、測評的價值是什麼？　　（2）方法性反思　　用什麼方法得出這六個指標？是否存在方法性的問題？如果沒有方法性的問題，那為什麼會出現前述那麼多的問題？　　（3）科學性反思　　什麼是數學素養？不界定數學素養就來說數學核心素養能說清楚嗎？兩者之間是什麼關係？這個「六核」標準，滿足了分類的要求嗎？每個指標的界定科學合理嗎？　　（4）系統性反思　　「六核」是高中生的數學核心素養，那麼小學生的數學核心素養是什麼？初中生的數學核心素養又是什麼呢？它與義務教育課程標準的十個指標（數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析能力、運算能力、推理能力、應用意識、創新意識、模型思想）是什麼關係？教育部的國家意志是關注數學學科如何反映體現學生的9大核心素養，為什麼不統一考慮小學、初中、高中學生的數學核心素養？為什麼重蹈義務教育課程標準和高中課程標準研製各自為陣、內容脫節的覆轍？　　最後，通過對國內外數學素養的研究，根據上述反思的結論，作者現提出數學核心素養框架（表1）供大家反思批判。　　表1 數學核心素養框架[4]

　　參考文獻　　[1]教育部課程標準修訂組.普通高中各學科核心素養一覽表[EB/OL].　　http://learning.sohu.com/20160422/n445632409.shtml　　[2]弗賴登塔爾. 數學教育再探—在中國的講學[M].上海：上海教育出版社，1999.　　[3]何小亞.回應「姜伯駒：新課標讓數學課失去了什麼」.廣東教育，2006.6　　[4] 何小亞.學生數學素養指標的理論分析[J].數學教育學報,2015,24(1)：13-20　　[5] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師範大學出版社，2012:5-6　　[6]洪燕君，周九詩，王尚志，鮑建生.普通高中數學課程標準（修訂稿）的意見徵詢——訪談張奠宙先生[J].數學教育學報,2015,24(3):35-39　　[7]中華人民共和國教育部.中國學生髮展核心素養（徵求意見稿）[EB/OL].

　　作者簡介：何小亞，男，華南師範大學數學科學學院教授，教育部「國培計劃」專家庫首批20位數學專家，全國教育專業學位研究生教育指導委員會理科專家，全國數學教育研究會常務理事兼副秘書長，廣東省中小學教師繼續教育專家組成員，《數學教育學報》雜誌編委，《中學數學研究》雜誌副主編。主要從事數學教學和數學高考的研究。參與完成國家級、省級教育科研項目10項，在國內外刊物上發表學術論文70餘篇，出版或參與出版著作20餘部。
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