讀維特根斯坦（羅素悖論）

讀維特根斯坦（羅素悖論）

維特根斯坦在《邏輯哲學論》中說：

3.332 何命題都不可能述及自身，因為命題指號不可能包含於自身（這就是全部的類型論）。

當我們說「太陽」或者「張三」到底是什麼意思呢？按照維特根斯坦的解釋，那不過是一個指號，指向那個我們能夠有經驗的東西。太陽在英語里是「sun」，張三也許有另一個稱呼，比如張教授，沒有關係，因為那個詞有意思不是其本身，而是它們代表了某個東西，我們不能從語言中得到這個指號意義，太陽並不是一個在語言中存在的東西，雖然我們能有這個指號。

既然這樣，必然是詞只有在句子中才有確定的意義。比如說要是在生活遠離太陽系的另一個星球，我們就可能不知道什麼是太陽，根本看不到。

類型論是由於羅素悖論而產生的，因為這個悖論反應了語言邏輯中關鍵問題，所以可以輕易找到例子。我來舉一個自己認為容易理解的例子：某某部的人從來就不說實話，有一回「境外勢力」策反了某某部的一個官員，讓他說出了「我們永遠都是在撒謊」。

但是，「境外勢力「不要高興得太早了，此人懂類型論，知道這一句話沒有意思，因為「我永遠都是在撒謊」是不能包括這一句話本身的，不然的話，悖論就來了。如果這一回是在撒謊，那意味著他說了實話；如果他說了實話，那麼他就不是永遠在撒謊。

如果是假話，此人就說了實話；如果是實話，那就是在撒謊，怎麼都不能對。

因此，此人必須說：「我以前都是在撒謊，但從今天走上台起，我決定說實話。」這就對了，可以給身份了。嚴格邏輯分析是這樣的：我以前說的話構成了一個集，特徵就是假話，但從現在就是另一個集了。我不能在一個集裡面敘及自身，而在另一個集裡面就怎麼都可以說了。

當然，這只是一個笑話，而且沒有人會認為自己是一個騙子。實際上人們最喜歡說的是：我不像別人那樣騙人，你永遠相信我好了。但是，談過戀愛都會知道這一句話是多麼地靠不住。

不管怎麼說，這個笑話反映的邏輯問題卻是再真實不過了，其重要就是指出了：任何一個語言系統（指很強的，像我們所說的自然語言，英語，漢語）在邏輯上不可能是完備的，都必須依賴於這個系統之外的東西。或者說：我們用某個語言描述世界，那麼這個語言就無法再來描述自身。這個觀點非常，非常之重要。我試圖用簡單一點話來闡明，恰不恰當我沒有把握。

比如用錢可以買到所有的商品，那麼當然，錢本身就不能是買來的，必須得用勞動來換取，或者像伯南克一樣乾脆印。

聖經中有一句話很有意思，當你裁判別人的時候，你自己也會被別人裁判。問題就在於這裡，人人都在裁判別人，那麼，你自己應該由誰來裁判呢？

如果還是由你來裁判，那還了得，絕對是自大狂，這個世界就變得只有你一個人了；如果你必須得由別人來裁判，那麼你的裁判的意義就是一個大問題。

這實際上是一個非常淺顯的道理。

所以說，學一學邏輯對談戀愛還是會有幫助的，人不是在談戀愛時道德水準下降，而是有其邏輯上的苦衷，評價自己的同時又評價別人在邏輯上總有點怪怪的。當然，我根本不指望對談戀愛的同鞋會有什麼幫助，因為愛情不是建立在邏輯之上的，而是建立在「我永遠相信你」這一類語言上的。我希望的是，在你認為上當受騙的時候，想一想這是一種邏輯必然，以前，現在，將來這個故事都在一成不變的上演，這樣心裡要好受得多。

我們來進一步討論，有一種外星智慧生物，有強大的計算機，能夠閱讀地球上所有的網頁，但是不能看到圖像，那麼結果極為明顯，他們什麼都不能知道。

他們能知道human 等於人，或者法語，德語等等等的一個單詞，轉來轉去不能有任何實際意義的東西。當然，他們知道人一定有個腦袋，但什麼腦袋，又轉來轉去得到了另一大堆單詞，但永遠還是不能知道人是一個什麼東西。

我們可以想一想孩子是怎麼學到語言，毫無疑問，決不是通過語言學到的，因為他們還根本沒有語言呢。媽媽指著他的鼻子，告訴這是鼻子；他在走，媽媽告訴這就是走；等等等。

這就是維特根斯坦所說，人不可能通過語言來學習語言的，不是說你不可能通過中文來學英文，而是說，你必須得有一種（幾種）母語，母語就不是能通過別的語言學到。

所以維特根斯坦《邏輯哲學論》中說，語言之所以能夠有意義，就在於其是這個世界的圖像（這個圖像是在非常廣泛是意義上說的），語言自身並不涉及意義，只有這個世界才有所謂的意義，說語言有意義只是說其企圖表達這個世界的某種圖像。

羅素在哲學上最大的貢獻就是以他命名的悖論，其反映了我們用集合來建立概念，進而討論哲學面對著的根本的局限性，無法繞開。這裡有一個概念我認為有說的必要，羅素悖論是不可以被解決的，就是說你能證明其不是一個悖論。無論誰能做到這一點，那無疑將成為當代最偉大的人物，因為整個現代數學，哲學都要改寫。

類型論只是在這個悖論的基礎之上，來想辦法處理數學和哲學問題。有點像因為重力我們不能飛，於是我們發明了飛機。當然，飛機並不能讓重力消失。

我想可以這樣說，如果發現萬有引力是找到了一個物理世界的規律的話，那麼羅素悖論就相當於奠定了我們思維的一個根本原則。

所以它非常重要，值得再進一步舉例。

有人說：民主就是什麼都可以說，所以我能說民主不對。這個彎彎繞不知在多少地方出現過，攪得人頭大，我嘗試著用類型論來把它弄清楚。

這樣來看：把所有的人分為二個集，相信民主（任何都可以說）的是一個；另外的人是另一個。說話的人如果屬於前一個，那麼根據類型論，他不能敘及自身，不能說民主不對，那就屬於另外的一個集；如果他屬於後一個集，就不能用前一個集特徵，因為那就是說他屬於前一個集。

這裡要千萬當心，這裡不是所謂的矛盾，所謂矛盾是只有一個是對的。但是這裡的真正含義是不能判斷，不能說對，也不能說錯。傳統哲學由於都與那個「一」有密切關聯，所以什麼東西不是對的，就是錯的。而羅素悖論卻清楚地告訴我們，無關對錯，有的話純粹不能有意義，這一點絕對重要，傳統哲學與語言哲學的區分可以說就在這一點上。

再來說一個經常可以在網上看到標題，證明了上帝不存在，讀一點數理邏輯就知道是一個笑話。虔誠的教徒認為上帝創造了一切，上帝恆為真，這個意思在數理邏輯中稱為重言式。所謂重言式就是不要條件的，空集都蘊含重言式，所以否認不了。

具體一點講吧，如果認為上帝創造了一切，當然也包括了邏輯，這樣一來你就不能用上帝創造的邏輯再來證明上帝不存在，這裡就撞上了羅素悖論，那是你的邏輯有問題，因為何命題都不可能述及自身，上帝根本就一點事都沒有。

我不知道大家讀懂了這一點沒有，這裡和前一段例子是類似的。你不能說他的邏輯自身有矛盾，因為所謂的矛盾就是邏輯矛盾。你不能又接受他的邏輯，又來說他的邏輯不對，那麼到底你是在哪一個集裡面呢？

所以當你要否定上帝的時候，首先得打破那個重言式，也就是說，你得相.信.邏輯不是上帝創造的，然後才能說上帝不合乎邏輯。就是說你要在邏輯上否認上帝，必須得說明說你的邏輯和經院哲學的三段論不同，這恰好是我在前面已經說過了，羅素就是這樣做的。

注意這裡我說的相信，不是證明，因為所謂證明就是邏輯，你不能用邏輯來證明或者否認邏輯，那就正是羅素悖論所指明的限制。你當然可以用邏輯討論其它任何東西，但不能討論邏輯本身，因為「何命題都不可能述及自身」。

所以說，上帝是一個相不相信的問題，而根本不是一個邏輯問題。按照維特根斯坦的意見，上帝不是一個哲學命題，在哲學裡，我們無話可說。

如果你讀了我的前一篇，就會知道民主也不是對不對的的問題，同樣是一個信不信事情。換言之，你是願意生活在所謂民主制度之下，還是相反；由於幾乎所有的國家都說自己是民主的，更精確得說，你願意生活在那一種民主之中。

這不過是各人自己的選擇。

再來繼續一些不那麼嚴格的「笑話」。有個男孩對一個女孩說：因為你長得太漂亮了，導致任何人都在對你動歪腦筋，所以你只能相信我。

看了前面，我想應該能夠看出問題來，任何人也應該包括男孩，這樣他就不能相信。只要沒有被愛情弄得昏頭的人都大概可以明白，其他人不知道，恐怕這個是男孩正在「動歪腦筋」，他應該加一句「除了我以外」。但是，他的前提太強了，後面就難以讓人信服。

傳統哲學都有點像這個男孩說話，你只能相信我，別人都不對，難免讓人生疑。而維特根斯坦的說法是：關於漂亮是一個不能確定的東西，人人看法並不一致，說了沒有意義；而應該說：只有我才能欣賞你的美，所以你還是從了吧。

看來哲學對談戀愛也許能有些幫助。與此類似，維特根斯坦認為：「一個人的哲學是氣質問題。」

你相信那一種哲學，只是你從了那種哲學。

這個說法可絕不是偶然的，因為由於羅素悖論，我們可以得到一個極重要的結論：

真理不但不能自證其身，而且連討論自己資格都沒有。

自己證明自己在邏輯上就是把結論那個集的命題拿到前提的集裡面去了，而羅素悖論講地卻是在前提的集裡面，根本不能出現有關於這個集的命題，兩者並不一樣。前者很容易看到錯誤早就知道，除了某些精英人物，人們都不是這樣說話的；後者就要隱蔽得多，所以一直到上個世紀人們才知道。

而在傳統哲學裡面，真理是有一種絕對意義的，不管什麼情況下都是真理，局部真理只是一個笑話。但是羅素悖論告訴我們，不能定義一個包羅萬象的集合，特別地，集合不能包含自己，或集合不能以自己為元素，否則將犯邏輯錯誤。

如果我們不能把真理看成一個神規定的理念，其只能是一個集合。定義一個集合有二種方式，第一，給出一些性質，凡是有這些性質的就是真理，第二，列舉，一一地說出來。

先看第一，給出性質怎麼看都有些不可能，你不能說真理的性質就是真理，在邏輯上那叫做同義反覆，什麼都沒有，等價於我說真理就是真理；由此你也不能說真理就是永遠是正確的東西，因為永遠正確和真理等價，仍然是同義反覆。如果真理能用性質來定義，那就是在說有比真理更基本的東西，顯然有問題。

列舉更是馬上就遇到問題，比如說絕對真理是一個集，其中包括數學真理，科學真理，社會真理，等等等，這些真理仍然是一個集合，我們再把每一個學科的命題放進去不就是可以了。

但是，哥德爾告訴我們：「我們永遠不能發現一個萬能的公理系統能夠證明一切數學真理，而不能證明任何謬誤。」「如果一個（強度足以證明基本算術公理的）公理系統可以用來證明它自身的相容性，那麼它是不相容的。」《維基百科》我認為哥德爾不完備定律可以簡單地理解為：數學公理系統不能是完備並且相容的（完備指包含了所有需要的東西，相容指自身無矛盾）。比如說，平面幾何是相容的，但它對整個數學來說並不是完備的，因為在它的基礎之上，不可能建立整個數學。任何數學系統只要強到某個程度（足以證明基本算術公理），那麼其相容性就有問題。

不存在所謂絕對真理可以說是哥德爾不完備定律的哲學解釋，因為那不合邏輯，其與羅素悖論有著緊密聯繫。用羅素悖論還可以說，如果就算你不管用什麼辦法作出了真理的集，但是這個集本身不能屬於真理，這個問題就更大了。

所以說，如果你相信邏輯，那麼那種原來人們所追求的絕對意義上的真理就不能存在，原因是語言根本不可能表達。換一句話可能好懂一點，就算一個人在夢裡知道了那種真理，是不可能說出來，也是不可以被理解的。這樣一看，絕對真理，永遠都正確，只能建立在宗教的基礎之上，不信宗教或者類似宗教的主義，就不能有那個東西。

進一步還可以說，任何標以絕對的東西自身就不能是絕對的，因為那個絕對的集不能包含自身。如果沒有絕對，問題要好解決一些，類型論說我們可以在另一個集裡面來解決；一有絕對，意思是自己已經完備而且相容，但是，用語言不可能表達一個絕對東西的集。

比如馬克思認為自己找到了人類發展的規律，這絕對是一句絕對的話，我估計沒有多少人今天還相信。然而，語言哲學家卻是從根本上指出了這句話沒有意思，因為沒有人能講清楚這個「規律」的含義，不信你就試一試，為這個「規律」找一個精確，大家都同意的集。我認為這絕無可能，遇到的困境和上面所說的真理會一模一樣。

類似於不存在絕對真理的話並不是沒有前人說過，莊子就認為我們不能認識自身（夢蝶），但那只是一種了不起的直覺。但語言哲學家卻是由語言入手，從邏輯上說明了我們對自身，對這個世界的理解所具有的局限性，我們無法超越。

科學從來不斷言自己的意義，它的意義是靠實驗，現象，應用來確定的。更進一步說，科學家根本就不承認所謂絕對真理，而總是認為今天的理論並不完善。比如說，相對論和量子力學是現代物理的兩大支柱，但兩者並不相容，一個是決定論，另一個是建立在概率之上的，這個問題從一開始就困擾著物理學家，愛因斯坦因此想建立統一場論，但到現在仍然不能完成。科學家看起來比較狡猾，不完善才會有錢，有工作。

但今天還有所謂哲學家說自己的東西都是絕對真理，是不是這樣就來錢，有工作？也許不是狡不狡猾，而是科學上不能大包大攬，可能馬上就出醜；而談哲學哄死人用不著陪命。

實際上，弗雷格和維特根斯坦都是不怎麼談真理的，羅素到是經常講，撇開那些嘲諷，他說的真理的意思和傳統哲學也是完全不一樣的。

由於前面講了弗雷格是怎麼構造自然數的，不講羅素悖論對數的影響就有點話沒有說完，但這一段對理解維特根斯坦的哲學關係不大，只是數學問題。

用弗雷格的方法有一個前提，就是要沒有任何限制地構造集，前面構造正整數時就是這樣做的，但是由於羅素悖論，構造集必須有所限制，這樣做就有了問題。於是就產生有一個意思的結果，前一半用一一對應來構造數還是沒有問題，所以只要我們能想到的，能寫出來，運算出來的正整數都沒有問題，但是無窮大卻沒有了。

但這是不可以接受的，比如沒有n能趨向無窮大這個概念，就沒有了極限，沒有了極限，整個微積分都不能存在。沒有了無限這個東西，數學還能剩下的東西沒有多少。

所以不得不加一個假設，正整數是一個無限集合，這個假設直接破壞了把正整數建立在純粹邏輯的基礎之上這個夢想中的目標。在數學中，應該從盡量少假設推出整個系統的所有結論，如果為了某個結果，不得不來一個假設，羅素認為這很讓人不舒服，但必須得這樣做，無限這個概念是萬萬不能沒有的。

由此羅素悖論被人稱為第三次數學危機，數學的整個基礎不得不作相應的改變。羅素悖論之前叫做樸素集合論，但在此基礎之上不能建立整個數學；於是人們就開始從另一個思路來解決問題，就是建立一系列公理來構造集合（實際上樸素集合論也是從某些假設出發，不過非常簡明。最基本的假設是不能證明的，如果能證明，那就不是最基本），以此來建立數學的基礎，避免羅素悖論，這叫做公理化集合論，雖然成果驚人，到現在仍然沒有完成。

我不知道是否有人會有這樣的疑問，你為什麼要一天到晚說集呢，答案就是非常簡單而直接：不用集合論的觀念，無法討論邏輯。或者說，無法在沒有宗教的情況下討論邏輯。

最後說明一點，在計算機科學裡，也有類型論，基本思想是一致的，可以看成是一種具體的應用。

通寶推：海底鼠撥土,
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