數學概念、方法、題型、易誤點技巧總結——集合與簡易邏輯

湖南省常德市安鄉縣第五中學　龔光勇收集整理基本概念、公式及方法是數學解題的基礎工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學生，務必首先要掌握高中數學中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點，還應了解一些常用結論，最後還要掌握一些的應試技巧。本資料對高中數學所涉及到的概念、公式、常見題型、常用方法和結論及解題中的易誤點，按章節進行了系統的整理，最後闡述了考試中的一些常用技巧，相信通過對本資料的認真研讀，一定能大幅度地提升高考數學成績。1.集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關集合問題時，尤其要注意元素的互異性。舉例如下：（1）設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合P+Q=

，若

，

，則P+Q中元素的有________個。（答：8）（2）設

，

，

，那麼點

的充要條件是________（答：

）；（3）非空集合

，且滿足「若

，則

」，這樣的

共有_____個（答：7）2.遇到

時，你是否注意到「極端」情況：

或

；同樣當

時，你是否忘記

的情形？要注意到

是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。舉例如下：集合

，

，且

，則實數

＝______.（答：

）3.對於含有

個元素的有限集合

，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為

。舉例如下：滿足

集合M有______個。　（答：7）4.集合的運算性質：　⑴

；　⑵

；⑶

； ⑷

； ⑸

； ⑹

；⑺

。舉例如下：如設全集

，若

，

，

，則A＝_____，B＝___.（答：

，

）5. 研究集合問題，一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。如：

—函數的定義域；

—函數的值域；

—函數圖象上的點集。舉例如下：（1）設集合

，集合N＝

，則

___（答：

）；（2）設集合

，

，

，則

_____（答：

）6. 數軸和韋恩圖是進行交、並、補運算的有力工具，在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用於解決否定型或正面較複雜的有關問題。舉例如下：已知函數

在區間

上至少存在一個實數

，使

，求實數

的取值範圍。　（答：

）7.複合命題真假的判斷。「或命題」的真假特點是「一真即真，要假全假」；「且命題」的真假特點是「一假即假，要真全真」；「非命題」的真假特點是「真假相反」。舉例如下：在下列說法中：⑴「

且

」為真是「

或

」為真的充分不必要條件；⑵「

且

」為假是「

或

」為真的充分不必要條件；⑶「

或

」為真是「非

」為假的必要不充分條件；⑷「非

」為真是「

且

」為假的必要不充分條件。其中正確的是__________（答：⑴⑶）8.四種命題及其相互關係。若原命題是「若p則q」，則逆命題為「若q則p」；否命題為「若﹁p 則﹁q」 ；逆否命題為「若﹁q 則﹁p」。提醒：（1）互為逆否關係的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；（2）在寫出一個含有「或」、「且」命題的否命題時，要注意「非或即且，非且即或」；（3）要注意區別「否命題」與「命題的否定」：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定；（4）對於條件或結論是不等關係或否定式的命題，一般利用等價關係「

」判斷其真假，這也是反證法的理論依據。（5）哪些命題宜用反證法？如（1）「在△ABC中，若∠C=900，則∠A、∠B都是銳角」的否命題為 （答：在

中，若

，則

不都是銳角）；（2）已知函數

，證明方程

沒有負數根。9.充要條件。關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。從集合角度解釋，若

，則A是B的充分條件；若

，則A是B的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。比如：（1）給出下列命題：①實數

是直線

與

平行的充要條件；②若

是

成立的充要條件；③已知

，「若

，則

或

」的逆否命題是「若

或

則

」；④「若

和

都是偶數，則

是偶數」的否命題是假命題 。其中正確命題的序號是_______（答：①④）；（2）設命題p：

；命題q:

。若┐p是┐q的必要而不充分的條件，則實數a的取值範圍是 （答：

）10. 一元一次不等式的解法：通過去分母、去括弧、移項、合併同類項等步驟化為

的形式，若

,則

；若

,則

；若

,則當

時，

；當

時，

。如已知關於

的不等式

的解集為

，則關於

的不等式

的解集為_______（答：

）11. 一元二次不等式的解集（聯繫圖象）。尤其當

和

時的解集你會正確表示嗎？設

,

是方程

的兩實根，且

，則其解集如下表：

或

或

R

RR

如解關於

的不等式：

。（答：當

時，

；當

時，

或

；當

時，

；當

時，

；當

時，

）12. 對於方程

有實數解的問題。首先要討論最高次項係數

是否為0，其次若

，則一定有

。對於多項式方程、不等式、函數的最高次項中含有參數時，你是否注意到同樣的情形？比如：（1）

對一切

恆成立，則

的取值範圍是_______（答：

）；（2）關於

的方程

有解的條件是什麼？(答：

，其中

為

的值域)，特別地，若在

內有兩個不等的實根滿足等式

，則實數

的範圍是_______.（答：

）13.一元二次方程根的分布理論。方程

在

上有兩根、在

上有兩根、在

和

上各有一根的充要條件分別是什麼？（

、

、

）。根的分布理論成立的前提是開區間，若在閉區間

討論方程

有實數解的情況，可先利用在開區間

上實根分布的情況，得出結果，再令

和

檢查端點的情況．如實係數方程

的一根大於0且小於1，另一根大於1且小於2，則

的取值範圍是_________（答：（

，1））14.二次方程、二次不等式、二次函數間的聯繫你了解了嗎？二次方程

的兩個根即為二次不等式

的解集的端點值，也是二次函數

的圖象與

軸的交點的橫坐標。比如：（1）不等式

的解集是

，則

=__________（答：

）；（2）若關於

的不等式

的解集為

，其中

，則關於

的不等式

的解集為________（答：

）；（3）不等式

對

恆成立，則實數

的取值範圍是_______（答：

）。
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