代數拓撲抄書筆記 Vol. 1

來自專欄陸葳蕤的小站

之前我們談過：對於比較好的空間（連通、局部道路連通、半局部單連通），有 和 之間的範疇等價，這當然是很好的，但是證明看上去多少有些冗長繁雜（懶惰又愚蠢的我已經完全忘掉了它）。

但這痛苦並不是無法克服的！如果我們做一些適當的限制（比如說，要求覆疊都是連通的），並且容忍一定程度的抽象，證明就變得十分容易，我們來做這件事情。在以下的敘述中，我們假定所有拓撲空間都是道路連通、局部道理連通的；我們假設所有範疇都是連通的。

Def 設 是局部小範疇，對 定義 為 ，即所有從 出發的態射的集合

Def 設 是小群胚， 的覆疊是指某個群胚間共變函子 ，使得它關於對象是滿射，並且給出 和 間雙射，其中 是 中對象，稱這個雙射下 的原象為它在 點的提升。

對於 是拓撲空間覆疊，很容易驗證基本群胚函子保持覆疊： 也是覆疊。事實上，它關於對象是滿射也就是說 滿，而 也就是從 出發的道路同倫類到 提升的存在及唯一性，這都是熟知的。

現在我們來看群胚間覆疊（重申一遍，我們討論的群胚都是連通的），對群胚 ，定義 為 ，群胚間函子 自然導出 ，而定義保證了對覆疊 ， 總是單射。

進一步，對覆疊 ，我們記 為 ，有 的共變函子 ，在對象上，這個函子把 打到 ，在態射上，它把 打到一個 的映射 ， 等於 在 提升的 target。這首先給出群胚覆疊的纖維有常基數，其次，這給出一個 在 上群作用，容易驗證它可遷，且對於 ，這群作用的穩定化子就是 ，從而我們得到 間的同構 。

對群胚 ，我們定義其覆疊範疇 ，這範疇中元素就是某個 的覆疊 ， 到 態射就是指一個 是共變函子，使得 。

• 這樣的 被它在某一個對象的值唯一確定： 對某個 是對象，就推出 ，這是因為對任何 是對象，任取 ， 都是 在 的提升的 target，與 的選取無關。利用這公式，還容易得到：
• 這樣的 一定是覆疊
• 這樣的 存在，且把 送到 當且僅當 （提升引理）我們定義帶基點覆疊範疇 ，這範疇中元素就是某個 的覆疊 ， 到 態射就是指一個 是共變函子，使得 。

上述論證立刻給出 （在覆疊範疇意義下），當且僅當 共軛對任意一對 是相同點纖維成立。

以上內容都只是一些幽靈——一些拓撲學中熟知的幽靈在抽象廢話上空徘徊而已。但是，我們立刻會看到點金石：

第一個觀察：對 是群胚，取點 ，對每個子群 ，我們取（如果存在）一個覆疊 ， 對某個 。注意到：所有這些覆疊構成的 滿子範疇，記為 ，取骨架就得到本身的骨架，而範疇和自身的骨架是等價的，從而我們得到： 和 範疇等價！

第二個觀察：對 是連通、局部道路連通、半局部單連通拓撲空間，取點 b，記 是其拓撲覆疊的範疇，在基本群胚函子下，它成為 範疇（其基本群胚覆疊範疇）的子範疇，利用局部同胚性，不難驗證它事實上是個滿子範疇。既然 足夠好以至於有萬有覆疊 ，對於每個子群 ，就有 H-principal covering ，對某個 有 （因為這是群作用的穩定化子）。注意這論證對於每個 成立，從而基本群胚函子，作為一個到 滿子範疇的同構（！），它同構到的滿子範疇的骨架就是 本身的骨架，而範疇和自身的骨架是等價的，從而我們得到：基本群胚函子是到範疇等價，結合第一個觀察，也即到 範疇等價！

第三個觀察：對 是連通、局部道路連通、半局部單連通拓撲空間， 構造中每個 事實上都能取到對應的覆疊，並且 中兩個覆疊間態射事實上被它們在 上的限制完全決定，而 間映射說到底都是 -map。如果我們把 上子群 對應的覆疊對應到 這左陪集，覆疊間態射對應到 -map，定出一 到 的左陪集範疇的函子；我們還有把每個 對應到 中與 對應覆疊，把 -map 對應到覆疊間態射這一函子。它們給出 到 的左陪集範疇的同構！

綜合三個觀察，我們可以說： 的拓撲覆疊範疇 ，等價於 的左陪集範疇.

推薦閱讀：